Symbolverzeichnis erweitert; Bild hinzugefügt

documents/GeoTopo/GeoTopo.tex

@@ -21,7 +21,7 @@
 \usepackage{tikz}
 \usepackage{tikz-3dplot}
 \usepackage{tkz-fct}
-\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc}
+\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns}
 \usepackage{shortcuts}
 
 % Setze den richtigen Namen für das Glossar und das Stichwortverzeichnis

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -169,7 +169,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begin{definition} \xindex{Quotiententopologie}
     Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
-    $\overline{X} = X /  \sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
+    $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
     $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
     $U \subseteq \overline{X}$ heißt offen, wenn $\pi^{-1} (U) \subseteq X$
     offen ist. Dadurch wird eine Topologie auf $\overline{X}$ definiert.
@@ -282,6 +282,11 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
         \item Jeder Teilraum um $X$ ist Hausdorffsch.
         \item $X_1 \times X_2$ ist Hausdorffsch.
     \end{enumerate}
+    \begin{figure}[htp]
+        \centering
+        \input{figures/topology-metric-hausdorff}
+        \caption{Wenn $X_1, X_2$ hausdorffsch sind, dann auch $X_1 \times X_2$}
+    \end{figure}
 \end{bemerkung}
 
-\todo[inline]{TODO: Es fehlt eine \enquote{Beweisskizze}, die den $\mdr^2$ darstellt sowie zwei Punkte $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ sowie ihre (disjunkten) Umgebungen bzgl. der $X_1$-Achse.}
+

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -58,6 +58,13 @@
   sort=MengenoperationNSubsetneq
 }
 
+\newglossaryentry{setminus}
+{
+  name={\ensuremath{A \setminus B}},
+  description={$A$ ohne $B$},
+  sort=MengenoperationNSetminus
+}
+
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Zahlenmengen                                                      %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -113,6 +120,20 @@
   sort=ZZZSkalarprodukt
 }
 
+\newglossaryentry{Modulo}
+{
+  name={\ensuremath{X /_\sim}},
+  description={$X$ modulo $\sim$},
+  sort=ZZZAuequivalenzModulo
+}
+
+\newglossaryentry{Modulo-Aequivalenzklasse}
+{
+  name={\ensuremath{[x]_\sim}},
+  description={Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$},
+  sort=ZZZAuequivalenzKlassen
+}
+
 \newglossaryentry{Norm}
 {
   name={\ensuremath{\| x \|}},

documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex

@@ -0,0 +1,82 @@
+% defining the new dimensions and parameters
+\newlength{\hatchspread}
+\newlength{\hatchthickness}
+\newlength{\hatchshift}
+\newcommand{\hatchcolor}{}
+% declaring the keys in tikz
+\tikzset{hatchspread/.code={\setlength{\hatchspread}{#1}},
+         hatchthickness/.code={\setlength{\hatchthickness}{#1}},
+         hatchshift/.code={\setlength{\hatchshift}{#1}},% must be >= 0
+         hatchcolor/.code={\renewcommand{\hatchcolor}{#1}}}
+% setting the default values
+\tikzset{hatchspread=6pt,
+         hatchthickness=0.4pt,
+         hatchshift=0pt,% must be >= 0
+         hatchcolor=black}
+% declaring the pattern
+\pgfdeclarepatternformonly[\hatchspread,\hatchthickness,\hatchshift,\hatchcolor]% variables
+   {custom north west lines}% name
+   {\pgfqpoint{\dimexpr-2\hatchthickness}{\dimexpr-2\hatchthickness}}% lower left corner
+   {\pgfqpoint{\dimexpr\hatchspread+2\hatchthickness}{\dimexpr\hatchspread+2\hatchthickness}}% upper right corner
+   {\pgfqpoint{\dimexpr\hatchspread}{\dimexpr\hatchspread}}% tile size
+   {% shape description
+    \pgfsetlinewidth{\hatchthickness}
+    \pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{\dimexpr\hatchspread+\hatchshift}}
+    \pgfpathlineto{\pgfqpoint{\dimexpr\hatchspread+0.15pt+\hatchshift}{-0.15pt}}
+    \ifdim \hatchshift > 0pt
+      \pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0pt}{\hatchshift}}
+      \pgfpathlineto{\pgfqpoint{\dimexpr0.15pt+\hatchshift}{-0.15pt}}
+    \fi
+    \pgfsetstrokecolor{\hatchcolor}
+%    \pgfsetdash{{1pt}{1pt}}{0pt}% dashing cannot work correctly in all situation this way
+    \pgfusepath{stroke}
+   }
+
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        legend pos=south west,
+        axis x line=middle,
+        axis y line=middle,
+        %grid = major,
+        %width=9cm,
+        %height=4.5cm,
+        grid style={dashed, gray!30},
+        xmin=-1,     % start the diagram at this x-coordinate
+        xmax= 6,    % end   the diagram at this x-coordinate
+        ymin=-0.25,     % start the diagram at this y-coordinate
+        ymax= 5,   % end   the diagram at this y-coordinate
+        axis background/.style={fill=white},
+        xlabel=$X_1$,
+        ylabel=$X_2$,
+        %xticklabels={,,},
+        %yticklabels={,,},
+        %xtick={-1,0,1,2,3,4,5},
+        %ytick={-1,0,1,2,3,4,5},
+        ticks=none,
+        %tick align=outside,
+        enlargelimits=true,
+        tension=0.08]
+        \addplot[hatchcolor=red,mark=none, pattern=custom north west lines, draw=none] coordinates {(0.5, 0) (0.5,5) (1.5,5) (1.5,0) };
+        \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(0.5, 0) (0.5,5)};
+        \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(1.5, 0) (1.5,5)};
+
+        \addplot[hatchcolor=red,mark=none, pattern=custom north west lines, draw=none] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5) (5.5,5) (5.5,0) };
+        \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5)};
+        \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(5.5, 0) (5.5,5)};
+ 
+
+        \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(1, 0) (1,3)};
+        \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(5, 0) (5,3)};
+
+        \addplot[mark=x] coordinates {(1, 3)};
+        \addplot[mark=x] coordinates {(5, 3)};
+        \node at (axis cs:1,3) [anchor=north west] {$(x_1, y_1)$};
+        \node at (axis cs:5,3) [anchor=north west] {$(x_2, y_2)$};
+
+        \node at (axis cs:1,0) [anchor=north] {$x_1$};
+        \node at (axis cs:5,0) [anchor=north] {$x_2$};
+
+        \node[red] at (axis cs:1,-0.3) [anchor=north] {$U_1 \times X_2$};
+        \node[red] at (axis cs:5,-0.3) [anchor=north] {$U_2 \times X_2$};
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}