Klausur 6, Aufgabe 2 gelöst

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@@ -61,14 +61,9 @@ gilt:
     \Rightarrow \forall x, y \in [0,1]: |F(x) - F(y)| &< \frac{1}{2} |x-y|
 \end{align}
 
-$F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$:
-\begin{align}
-    \|- \ln (2x) + \ln(2y) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
-    \Leftrightarrow \| \ln(\frac{2y}{2x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
-    \Leftrightarrow \| \ln(\frac{y}{x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|
-\end{align}
-
-TODO: Beweis ist nicht mal wirklich angefangen
+Die Ableitung $F_2' = -\frac{1}{x}$. Da $F_2(1) \neq 1$ ist $x^* \neq 1$.
+Also ist $|F_2'(x^*)| > 1$. Deshalb konvergiert das Iterationsverfahren
+definiert durch $F_2$ nicht gegen $x^*$ für Startwerte ungleich $x^*$.
 
 Gegen $F_2$ spricht auch, dass $\log$ nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert
 ist. Das kann bei Rundungsfehlern eventuell zu einem Fehler führen.

documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py

@@ -1,22 +1,13 @@
-"""from math import exp, log
+from math import exp, log
 
-def iterate(x):
-    #return x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
-    #return 0.5*exp(-x) #F_1
-    return (-1)*log(2.0*x) #F_2
+def iterate(x, times=1):
+    #x = x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
+    x = 0.5*exp(-x) #F_1
+    #x = (-1)*log(2.0*x) #F_2
 
-x = 0.9
-for i in range(10):
-    print (i, x)
-    x = iterate(x)
-"""
-from math import log
-f = lambda x: -log(2*x)
+    if times > 0:
+        x = iterate(x, times-1)
+    
+    return x
 
-x = 0.35173371124919582602
-#x = 0.3517337112491958260249093009299510651715
-for i in range(200):
-    print("x 0.35173371124919582602")
-    print("x 0.3517337112491958260249093009299510651715")
-    print("%i %.30f" % (i, x))
-    x = f(x)
+print(iterate(0.5,6))