Folgerung -> Bemerkung

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -37,3 +37,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
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 |18.01.2014 | 14:15 - 14:30 | Neuer Korollar; Tippfehler verbessert
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+|21.01.2014 | 19:30 -       | Digitalisieren der Vorlesung von 21.01.2014

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -19,7 +19,7 @@
 Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
 Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
-\begin{folgerung}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
+\begin{bemerkung}[Mengen, die offen und abgeschlossen sind, existieren]
     Betrachte $\emptyset$ und $X$ mit der \enquote{trivialen Topologie}
     \xindex{Topologie!triviale}\index{Klumpentopologie|see{triviale Topologie}} $\fT_{\ts{triv}} = \Set{\emptyset, X}$.
 
@@ -27,7 +27,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     sind offen. Außerdem $X^C = X \setminus X = \emptyset \in \fT$
     und $X \setminus \emptyset = X \in \fT$, d.~h. $X$ und $\emptyset$
     sind als Komplement offener Mengen abgeschlossen.$\qed$
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
@@ -286,10 +286,10 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     sodass $x_n \in U$ für alle $n \geq n_0$.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Ist $X$ hausdorffsch, so hat jede Folge in $X$ höchstens einen
     Grenzwert.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge.
@@ -316,7 +316,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begingroup
 \renewcommand{\thmfoot}{\footnotemark}
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
   \footnotetext[\thefootnote]{Im Grunde wird die Äquivalenz
   von Stetigkeit im Sinne der Analysis und Topologie auf metrischen
   Räumen gezeigt.}
@@ -327,7 +327,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
   jedem $\varepsilon > 0$ gibt es $\delta(x, \varepsilon) > 0$, sodass
   für alle $y \in X$ mit $d(x,y) < \delta $ gilt $d_Y(f(x), f(y)) <
   \varepsilon$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 \endgroup
 
 \begin{beweis}
@@ -377,7 +377,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig]
+\begin{bemerkung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig]
     Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und 
     $g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen.
 
@@ -391,7 +391,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
           }
         \end{xy}
     }
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $U \subseteq Z$ offen $\Rightarrow (g \circ f)^{-1} (U) = f^{-1} (g^{-1}(U))$.
@@ -412,26 +412,26 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$
     und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen 
     \[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\]
     Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$
     und $\pi_Y$ stetig.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $U \subseteq X$ offen $\Rightarrow \pi_x^{-1} (U) = U \times Y$ 
     ist offen in $X \times Y$. $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf
     $X$, $\overline{X} = X /_\sim$ der Bahnenraum versehen mit der
     Quotiententopologie, $\pi:X \rightarrow \overline{X}$, $x \mapsto [x]_\sim$.
 
     Dann ist $\pi$ stetig.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Nach Definition ist 
@@ -529,10 +529,10 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}\label{zusammenhangAbschluss}
+\begin{bemerkung}\label{zusammenhangAbschluss}
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $A \subseteq X$ zusammenhängend.
     Dann ist auch $\overline{A}$ zusammenhängend.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     \underline{Annahme}: $\overline{A} = A_1 \cup A_2,\; A_i$ abgeschlossen, $\neq \emptyset$,
@@ -551,11 +551,11 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend $ \qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{zusammenhangVereinigung}
+\begin{bemerkung}\label{zusammenhangVereinigung}
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $A, B \subseteq X$ zusammenhängend.
 
     Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $A \cup B = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset$ offen, disjunkt
@@ -577,7 +577,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
      $Z(x)$ heißt \textbf{Zusammenhangskomponente}.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $Z(X)$ ist die größte zusammenhängende Teilmenge von $X$,
@@ -585,7 +585,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
         \item $Z(X)$ ist abgeschlossen.
         \item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten.
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
@@ -610,10 +610,10 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Sei $f:X \rightarrow Y$ stetig. Ist $A \subseteq X$ zusammenhängend,
     so ist $f(A) \subseteq y$ zusammenhängend.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $f(A) = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset,$ offen, disjunkt.
@@ -643,9 +643,9 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 % Mitschrieb vom 05.11.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-\begin{folgerung}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
+\begin{bemerkung}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
     $I = [0, 1]$ ist kompakt bezüglich der euklidischen Topologie.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
 \todo{Der Beweis ist komisch. Das würde ich gerne mit jemanden durchsprechen.}
@@ -683,10 +683,10 @@ $\qed$
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt}
+\begin{bemerkung}\label{abgeschlossenInKomaktIstKompakt}
     Sei $X$ kompakter Raum, $A \subseteq X$ abgeschlossen. Dann ist
     $A$ kompakt.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $(V_{i})_{i \in I}$ offene Überdeckung von A.\\
@@ -702,10 +702,10 @@ $\qed$
     $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt}
+\begin{bemerkung}\label{kompaktTimesKompaktIstKompakt}
     Seien $X, Y$ kompakte topologische Räume. Dann ist $X \times Y$
     mit der Produkttopologie kompakt.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $(W_i)_{i \in I}$ eine offene Überdeckung von $X \times Y$.
@@ -732,10 +732,10 @@ $\qed$
     $\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
+\begin{bemerkung}\label{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen}
     Sei $X$ ein Hausdorffraum und $K \subseteq X$ kompakt.
     Dann ist $K$ abgeschlossen.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     \underline{z.~Z.:} Komplement ist offen
@@ -762,10 +762,10 @@ $\qed$
     Damit ist $K$ abgeschlossen. $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6
+\begin{bemerkung}\label{kor:5.6}%In Vorlesung: Bemerkung 5.6
     Seien $X, Y$ topologische Räume, $f: X \rightarrow Y$ stetig.
     Ist $K \subseteq X$ kompakt, so ist $f(K) \subseteq Y$ kompakt.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$\\
@@ -836,14 +836,14 @@ $\qed$
     gibt mit $\gamma(0)=x$ und $\gamma(1)=y$.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}
+\begin{bemerkung}\label{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}
     Sei $X$ ein topologischer Raum.
 
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item $X$ ist wegzusammenhängend $\Rightarrow X$ ist zusammenhängend
         \item $X$ ist wegzusammenhängend $\not\Leftarrow X$ ist zusammenhängend
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}~\\
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -124,10 +124,10 @@
     Mannigfaltigkeit.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Sind $X, Y$ Mannigfaltigkeiten der Dimension $n$ bzw. $m$, so ist
     $X \times Y$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Produkte von Karten sind Karten. $\qed$
@@ -156,7 +156,7 @@
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Sei $n \in \mdn, F:\mdr^n \rightarrow \mdr$ stetig differenzierbar
     und $X = V(F) := \Set{x \in \mdr^n | F(x) = 0}$ das \enquote{vanishing set}.
 
@@ -166,7 +166,7 @@
         \item Ist $\grad(F)(X) \neq 0 \;\;\;\forall{x \in X}$, so ist
               $X$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.  \label{Mannigfaltigkeitskriterium}
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
@@ -334,10 +334,10 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Die Bedingung in Definition~\ref{def:stetigeAbbildungDiffbar} hängt nicht
     von den gewählten Karten ab.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$
@@ -439,10 +439,10 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 21.11.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{folgerung}\label{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}
+\begin{bemerkung}\label{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}
     Jede reguläre Fläche $S \subseteq \mdr^3$ ist eine 2-dimensionale,
     differenzierbare Mannigfaltigkeit.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     \todo{Hier muss ich nochmals drüber lesen.}
@@ -719,9 +719,9 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     $\chi(\Delta^n) = 1$ für jedes $n \in \mdn_0$
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     $\Delta^n$ ist die konvexe Hülle von $(e_0, \dots, e_n)$ in $\mdr^{n+1}$.
@@ -769,22 +769,22 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \caption{Beispiele für Graphen}
 \end{figure}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Für jeden Baum $T$ gilt $\gamma(T) = 1$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Induktion über die Anzahl der Ecken.
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item Jeder zusammenhängende Graph $\Gamma$ enthält einen
               Teilbaum $T$, der alle Ecken von $\Gamma$ enthält.%
               \footnote{$T$ wird \enquote{Spannbaum} genannt.}
         \item Ist $n = a_1(\Gamma) = a_1(T)$, so ist $\chi(\Gamma) = 1 - n$.
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
@@ -798,11 +798,11 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:simplex-unterteilung}
+\begin{bemerkung}\label{kor:simplex-unterteilung}
     Sei $\Delta$ ein $n$-Simplex und $x \in \Delta^\circ \subseteq \mdr^n$.
     Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch 
     \enquote{Unterteilung} in $x$ entsteht. Dann ist $\chi(K) = \chi(\Delta) = 1$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{figure}[ht]
     \centering
@@ -851,7 +851,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
+\begin{bemerkung}[Der Rand vom Rand ist 0]\label{kor:9.11}
     Sei $K$ ein \todo{Warum in Klammern?}{(endlicher)} Simplizialkomplex mit Knotenmenge $V$
     und $<$ eine Totalordnung auf $V$.
 
@@ -870,7 +870,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     Abbildung.
 
     Dann gilt: $d_{n-1} \circ d_n = 0$
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beispiel}
     \begin{figure}[h!]

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -37,10 +37,10 @@
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     \enquote{Homotop} ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller
     Wege in $X$ von $a$ nach $b$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{itemize}
@@ -105,12 +105,12 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 05.12.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{folgerung}\label{kor:homotope-wege}
+\begin{bemerkung}\label{kor:homotope-wege}
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein 
     Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
     $\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
     homotop.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.
@@ -131,7 +131,7 @@
     schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
+\begin{bemerkung}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
     Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf 
     Homotopie assoziativ, d.~h.:
     \begin{align*}
@@ -139,7 +139,7 @@
         \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
     \end{align*}
     mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     \begin{figure}[ht]
@@ -167,13 +167,13 @@
         \end{cases}\]
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:bemerkung-10-6}
+\begin{bemerkung}\label{kor:bemerkung-10-6}
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
     Wege von $a$ nach $b$ und $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.
 
     Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
     ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -256,14 +256,14 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
+\begin{bemerkung}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
     Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
     ein Weg von $a$ nach $b$.
 
     Dann ist die Abbildung
     \[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
     ein Gruppenisomorphismus.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -290,7 +290,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}\label{korr:11.5}
+\begin{bemerkung}\label{korr:11.5}
     Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
     stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.
 
@@ -301,7 +301,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
               eine stetige Abbildung $z:= g(y)$. Dann ist
               $(g \circ f)_* = g_* \circ f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Z,z)$
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
@@ -329,13 +329,13 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}%Folgerung 11.6
+\begin{bemerkung}%Folgerung 11.6
     Sei $f:X \rightarrow Y$ ein Homöomorphismus zwischen topologischen
     Räumen $X, Y$. Dann gilt:
 
     \[f_*: \pi_1(X,x) \rightarrow \pi_1(Y, f(x))\]
     ist ein Isomorphismus für jedes $x \in X$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $g: Y \rightarrow X$ die Umkehrabbildung, d.~h. $g$ ist stetig
@@ -354,9 +354,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     für alle $x \in X$ und $H(x_0, S) = y_0$ für alle $s \in I$.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Sind $f$ und $g$ homotop, so ist $f_* = g_*: \pi_1 (X, x_0) \rightarrow \pi_1(Y, y_0)$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $\gamma$ ein geschlossener Weg in $X$ um $x_0$, d.~h.
@@ -472,9 +472,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     Überlagerungen sind surjektiv.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}durch Widerspruch\\
     Sei $p$ eine Überlagerung.
@@ -500,9 +500,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
+\begin{bemerkung} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
     Überlappungen sind offene Abbildungen.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $y \in V$ und $x \in p(V)$, sodass $x=p(y)$ gilt.
@@ -527,13 +527,13 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
     Häufungspunkt hat.
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
+\begin{bemerkung} % Bemerkung 12.3 der Vorlesung
     Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x \in X$.
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $X$ hausdorffsch $\Rightarrow Y$ hausdorffsch
         \item $p^{-1}(X)$ ist diskret in $Y$
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
@@ -571,11 +571,11 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
+\begin{bemerkung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
     Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
 
     Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Sei $U$ Umgebung von $x_1$ wie in Definition~\ref{def:12.1}, $x \in U$.
@@ -602,12 +602,12 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
     \label{fig:satz-seifert-van-kampen}
 \end{figure}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
+\begin{bemerkung}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
     Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, \dots, f_1: Z \rightarrow Y$
     Liftungen von $f$.
 
     $\exists z_0 \in Z: f_0(z) = f_1(z) \Rightarrow f_0 = f_1$
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{figure}
     \centering
@@ -707,13 +707,13 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
     Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
         \item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
@@ -747,11 +747,11 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.9"
+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.9"
     Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung und $X$ einfach zusammenhängend.
 
     Dann ist $p$ ein Homöomorphismus.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Wegen Folgerung~\ref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
@@ -824,12 +824,12 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mitschrieb vom 19.12.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\begin{folgerung}%Vorlesung: Folgerung 12.12
+\begin{bemerkung}%Vorlesung: Folgerung 12.12
     \todo{Hier stimmt was mit den Tilden nicht}
     Sind $p:X \rightarrow X$ und $y: \tilde{Y} \rightarrow X$
     universelle Überlagerungen, so sind $\tilde{X}$ und $\tilde{Y}$
     homöomorph.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit 
@@ -904,7 +904,7 @@ der folgende Satz:
     so heißt $p$ \textbf{regulär}.\xindex{Decktransformation!reguläre}
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}%In Vorlesung:12.14
+\begin{bemerkung}%In Vorlesung:12.14
     \begin{enumerate}[label=\alph*),ref=\theplaindefinition.\alph*]
         \item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe, 
               die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
@@ -916,7 +916,7 @@ der folgende Satz:
               $\forall x \in X: \Deck(Y/X)$ operiert transitiv
               auf der Menge der Urbilder $p^{-1}(x)$.
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
@@ -1079,9 +1079,9 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{folgerung}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
      Jede stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation durch Homöomorphismen.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 \begin{beweis}
     Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
 
@@ -1100,7 +1100,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
     In Beispiel~\ref{bsp:gruppenoperation1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
 \end{beispiel}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
+\begin{bemerkung}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
     Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
 
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
@@ -1110,7 +1110,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
               die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
               $G \rightarrow \Homoo(X)$
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     \item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation von $G$

documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\clearpage
+\section*{Übungsaufgaben}
+\addcontentsline{toc}{section}{Übungsaufgaben}
+
+\begin{aufgabe}\label{ub11:aufg1}
+    TODO
+\end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -83,12 +83,12 @@ aufgestellt.
     \label{fig:halbgeraden}
 \end{figure}
 
-\begin{folgerung}
+\begin{bemerkung}
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item $PR^+ \cup PR^- = PR$
         \item $PR^+ \cap PR^- = \Set{P}$
     \end{enumerate}
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
@@ -172,14 +172,14 @@ scheiden.
     $\Rightarrow g \cap \overline{RP} \neq \emptyset$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:beh3}
+\begin{bemerkung}\label{kor:beh3}
     Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$ 
     mit $A \neq B$.
     Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie
     $Q$ und $B$ in der selben Halbenebe bzgl. $PA$.
 
     Dann gilt: $PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{figure}[htp]
     \centering
@@ -212,13 +212,13 @@ schneiden sich.
     $\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
+\begin{bemerkung}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
     Seien $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $A, B \in X \setminus PQ$
     in der selben Halbebene bzgl. $PQ$. Außerdem sei $d(A,P)=d(B,P)$
     und $d(A, Q) = d(B, Q)$.
 
     Dann ist $A = B$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{figure}[htp]
     \centering
@@ -275,12 +275,12 @@ schneiden sich.
     Tausche $A$ und $B \Rightarrow$  Fall 1 $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:beh2'}
+\begin{bemerkung}\label{kor:beh2'}
     Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3}
     erfüllt und $\varphi$ eine Isometrie mit $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$.
 
     Dann gilt $\varphi(S) = S\;\;\;\forall S \in PQ$.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
     \begin{align}
@@ -462,10 +462,10 @@ schneiden sich.
     \caption{Situation aus \cref{def:14.8}}
 \end{figure}
 
-\begin{folgerung}\label{kor:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
+\begin{bemerkung}\label{kor:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
     In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht 
     anliegende Außenwinkel.
-\end{folgerung}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{figure}[htp]
     \centering
@@ -565,3 +565,22 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
         und $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha$, also \obda $\alpha_1 \leq \frac{\alpha}{2}$
     \end{beweis}
 \end{beweis}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Mitschrieb vom 21.01.2014                                         %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 14.12
+    In einer euklidischen Ebene ist in jedem Dreieck die Innenwinkelsumme
+    gleich $\pi$.
+\end{bemerkung}
+\todo[inline]{Bild 1}
+\begin{beweis}
+    Sei $g$ eine Parallele von $AB$ durch $C$. 
+
+    \begin{itemize}
+        \item Es gibt $\alpha' = \alpha$ wegen \cref{prop:14.7}.
+        \item Es gibt $\beta' = \beta$ wegen \cref{prop:14.7}.
+        \item Es gibt $\alpha'' = \alpha'$ wegen \cref{ub11:aufg1}.
+    \end{itemize}
+\end{beweis}
+
+\input{Kapitel4-UB}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -102,5 +102,7 @@
 \crefname{plaindefinition}{Definition}{Definitionen}
 \crefname{behauptung}{Behauptung}{Behauptungen}
 \crefname{beispiel}{Beispiel}{Beispiele}
+\crefname{aufgabe}{Aufgabe}{Aufgaben}
+\crefname{bemerkung}{Bemerkung}{Bemerkungen}
 %\let\OldAngle\angle
 %\let\angle\sphericalangle