Aufgabe 1 und 2 von Klausur 6 begonnen

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe1.tex

@@ -1 +1,73 @@
 \section*{Aufgabe 1}
+\textbf{Gegeben:}
+
+\[
+A = \begin{pmatrix}
+    1 & 2 & 3\\
+    2 & 8 & 14\\
+    3 & 14 & 34
+\end{pmatrix}\]
+
+\textbf{Aufgabe:} Durch Gauß-Elimination die Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \overline{L}^T$
+berechnen
+
+\textbf{Lösung mit Gauß-Elimination:}
+\begin{align*}
+    A &=
+	\begin{gmatrix}[p]
+        1 & 2 & 3\\
+        2 & 8 & 14\\
+        3 & 14 & 34
+        \rowops
+        \add[\cdot (-2)]{0}{1}
+        \add[\cdot (-3)]{0}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+    \leadsto
+    L^{(1)} &=
+    \begin{pmatrix}
+		1 & 0 & 0\\
+	   -2 & 1 & 0\\
+       -3 & 0 & 1
+	\end{pmatrix},&
+    A^{(1)} &=
+	\begin{gmatrix}[p]
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 4 & 8\\
+        0 & 8 & 25
+        \rowops
+        \add[\cdot (-2)]{1}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+    \leadsto
+    L^{(2)} &=
+    \begin{pmatrix}
+		1 & 0 & 0\\
+	    0 & 1 & 0\\
+        0 & -2 & 1
+	\end{pmatrix},&
+    A^{(2)} &=
+	\begin{gmatrix}[p]
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 4 & 8\\
+        0 & 0 & 9
+        \rowops
+        \add[\cdot (-2)]{1}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+\end{align*}
+
+TODO: Und wie gehts weiter?
+
+
+\textbf{Lösung ohne Gauß-Elimination:}
+\[
+    A = 
+    \underbrace{
+	\begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+        2 & 2 & 0\\
+        3 & 4 & 3
+    \end{pmatrix}}_{=: L} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 2 & 4\\
+        0 & 0 & 3
+    \end{pmatrix}}_{=: L^T}
+\]

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -1 +1,28 @@
 \section*{Aufgabe 2}
+\subsection*{Teilaufgabe i}
+Es gilt:
+
+\begin{align}
+    2x - e^{-x} &= 0\\
+    \Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
+\end{align}
+
+Offensichtlich ist $g(x) := 2x$ streng monoton steigend und $h(x) := e^{-x}$ streng
+monoton fallend.
+
+Nun gilt: $g(0) = 0 < 1 = e^0 = h(0)$. Das heißt, es gibt keinen
+Schnittpunkt für $x \leq 0$.
+
+Außerdem: $g(1) = 2$ und $h(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} < 2$.
+Das heißt, für $x \geq 1$ haben $g$ und $h$ keinen Schnittpunkt.
+
+Da $g$ und $h$ auf $[0,1]$ stetig sind und $g(0) < h(0)$ sowie $g(1) > h(1)$
+gilt, müssen sich $g$ und $h$ im Intervall mindestens ein mal schneiden.
+Da beide Funktionen streng monoton sind, schneiden sie sich genau
+ein mal.
+
+Ein Schnittpunkt der Funktion $g,h$ ist äquivalent zu einer
+Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
+und diese liegt in $[0,1]$.
+
+\subsection*{Teilaufgabe ii}

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -17,6 +17,7 @@
 \usepackage{algorithm,algpseudocode}
 \usepackage{parskip}
 \usepackage{lastpage}
+\usepackage{gauss}
 \allowdisplaybreaks
 
 \newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
@@ -40,8 +41,8 @@
 \fancyfoot[C]{}
 
 \begin{document}
-	\input{Aufgabe1}
-	\input{Aufgabe2}
+	\input{Aufgabe1}\clearpage
+	\input{Aufgabe2}\clearpage
 	\input{Aufgabe3}
 	\input{Aufgabe4}
 	\input{Aufgabe5}