Symbolverzeichnis verschönert

documents/Programmierparadigmen/Lambda.tex

@@ -190,6 +190,12 @@ Auch die gewohnten Operationen lassen sich so darstellen.
     \texttt{False} wird zu $c_{\text{false}} := \lambda t. \lambda f. f$.
 \end{definition}
 
+Hiermit lässt sich beispielsweise die Funktion \texttt{is\_zero} definieren, die
+\texttt{True} zurückgibt, wenn eine Zahl $0$ repräsentiert und sonst \texttt{False}
+zurückgibt:
+
+\[ \text{\texttt{is\_zero}} = \lambda n.\ n\ (\lambda x.\ c_{\text{False}})\ c_{\text{True}}\]
+
 \section{Weiteres}
 \begin{satz}[Satz von Curch-Rosser]
     Wenn zwei unterschiedliche Terme $a$ und $b$ äquivalent sind, d.h. mit Reduktionsschritten beliebiger Richtung ineinander transformiert werden können, dann gibt es einen weiteren Term $c$, zu dem sowohl $a$ als auch $b$ reduziert werden können.

documents/Programmierparadigmen/Programmierparadigmen.tex

@@ -46,6 +46,13 @@
 \usepackage{tqft}
 \usepackage{xspace}   % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command
 \usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\usepackage{array,xtab,ragged2e} % for symbol table
+\newlength\mylengtha
+\newlength\mylengthb
+\newcolumntype{P}[1]{>{\RaggedRight}p{#1}}
+\tabcolsep=3pt % default: 6pt
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \usepackage{acronym}
 \usepackage{minted} % needed for the inclusion of source code
 \usemintedstyle{bw}

documents/Programmierparadigmen/Symbolverzeichnis.tex

@@ -6,29 +6,45 @@
 % Reguläre Ausdrücke                                                %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Reguläre Ausdrücke}
-$\emptyset\;\;\;$ Leere Menge\\
-$\epsilon\;\;\;$ Das leere Wort\\
-$\alpha, \beta\;\;\;$ Reguläre Ausdrücke\\
-$L(\alpha)\;\;\;$ Die durch $\alpha$ beschriebene Sprache\\
-$\begin{aligned}[t]
-    L(\alpha | \beta)    &= L(\alpha) \cup L(\beta)\\
-    L(\alpha \cdot \beta)&= L(\alpha) \cdot L(\beta)
-\end{aligned}$\\
-$L^0 := \Set{\varepsilon}\;\;\;$ Die leere Sprache\\
-$L^{n+1} := L^n \circ L \text{ für } n \in \mdn_0\;\;\;$ Potenz einer Sprache\\
-$\begin{aligned}[t]
-    \alpha^+ &=& L(\alpha)^+ &=& \bigcup_{i \in \mdn} L(\alpha)^i\\
-    \alpha^* &=& L(\alpha)^* &=& \bigcup_{i \in \mdn_0} L(\alpha)^i
-\end{aligned}$
+
+% Set \mylengtha to widest element in first column; adjust
+% \mylengthb so that the width of the table is \columnwidth
+\settowidth\mylengtha{$\alpha^+ = L(\alpha)^+$}
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
+
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
+ $\emptyset$        & Leere Menge\\
+ $\epsilon$         & Das leere Wort\\
+ $\alpha, \beta$    & Reguläre Ausdrücke\\
+ $L(\alpha)$        & Die durch $\alpha$ beschriebene Sprache\\
+ $L(\alpha | \beta)$& $L(\alpha) \cup L(\beta)$\\
+ $L^0$              & Die leere Sprache, also $\Set{\varepsilon}$\\
+ $L^{n+1}$          & Potenz einer Sprache. Diese ist definiert als\newline $L^n \circ L \text{ für } n \in \mdn_0$\\
+ $\alpha^+ = L(\alpha)^+$ & $\bigcup_{i \in \mdn} L(\alpha)^i$\\
+ $\alpha^* = L(\alpha)^*$ & $\bigcup_{i \in \mdn_0} L(\alpha)^i$\\
+\end{xtabular}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Logik                                                             %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Logik}
-$\mathcal{M} \models \varphi\;\;\;$ Im Modell $\mathcal{M}$ gilt das Prädikat $\varphi$.\\
-$\psi \vdash \varphi\;\;\;$ Die Formel $\varphi$ kann aus der Menge der Formeln $\psi$ hergeleitet werden.\\
+
+\settowidth\mylengtha{$\mathcal{M} \models \varphi$}
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
+
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
+$\mathcal{M} \models \varphi$& Im Modell $\mathcal{M}$ gilt das Prädikat $\varphi$.\\
+$\psi \vdash \varphi$        & Die Formel $\varphi$ kann aus der Menge der Formeln $\psi$ hergeleitet werden.\\
+\end{xtabular}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Weiteres                                                          %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Weiteres}
-$\bot\;\;\;$ Bottom\\
+
+\settowidth\mylengtha{$\bot$}
+\setlength\mylengthb{\dimexpr\columnwidth-\mylengtha-2\tabcolsep\relax}
+
+\begin{xtabular}{@{} p{\mylengtha} P{\mylengthb} @{}}
+$\bot$  & Bottom\\
+$\vdash$& TODO?
+\end{xtabular}

documents/Programmierparadigmen/Typinferenz.tex

@@ -66,15 +66,19 @@ Mit folgenderweise typisiert werden:
 
 In der letzten Typisierung stellt $\alpha$ einen beliebigen Typen dar.
 
-Ein Typkontext $\Gamma$ ordnet jeder freien Variable $x$ einen Typ $\Gamma(x)$
-durch folgende Regeln zu:
+\begin{definition}[Typsystem $\Gamma \vdash t: T$]\label{def:typsystem-t1}
+	Ein Typkontext $\Gamma$ ordnet jeder freien Variable $x$ einen Typ $\Gamma(x)$
+	durch folgende Regeln zu:
+
+	\begin{align*}
+		\CONST:&\frac{c \in \text{Const}}{\Gamma \vdash c: \tau_c}\\
+		\VAR:  &\frac{\Gamma(x) = \tau}{\Gamma \vdash c: \tau}\\
+		\ABS:  &\frac{\Gamma, x: \tau_1 \vdash t: \tau_2}{\Gamma \vdash \lambda x. t: \tau_1 \rightarrow \tau_2}\\
+		\APP:  &\frac{\Gamma \vdash t_1, \tau_2 \tau\;\;\; \Gamma \vdash t_2: \tau_2}{\Gamma \vdash t_1 t_2: \tau}
+	\end{align*}
+\end{definition}
+
 
-\begin{align*}
-	\text{\texttt{CONST}}:&\frac{c \in \text{Const}}{\Gamma \vdash c: \tau_c}\\
-	\text{\texttt{VAR}}:  &\frac{\Gamma(x) = \tau}{\Gamma \vdash c: \tau}\\
-	\text{\texttt{ABS}}:  &\frac{\Gamma, x: \tau_1 \vdash t: \tau_2}{\Gamma \vdash \lambda x. t: \tau_1 \rightarrow \tau_2}\\
-	\text{\texttt{APP}}:  &\frac{\Gamma \vdash t_1, \tau_2 \tau\;\;\; \Gamma \vdash t_2: \tau_2}{\Gamma \vdash t_1 t_2: \tau}
-\end{align*}
 
 Dabei ist der lange Strich kein Bruchstrich, sondern ein Symbol der Logik das als
 \textbf{Schlussstrich}\xindex{Schlussstrich} bezeichnet wird. Dabei ist der 
@@ -95,4 +99,19 @@ verwendet. Man schreibt also beispielsweise:
 
 	$(\sigma, \tau)$ heißt eine Lösung für $(\Gamma, t)$, falls gilt:
 	\[\sigma \Gamma \vdash t : \tau\]
-\end{definition}
+\end{definition}
+
+\section{Beispiele}
+Im Folgenden wird die Typinferenz für einige $\lambda$-Funktionen durchgeführt.
+
+\subsection[$\lambda x.\ \lambda y.\ x\ y$]{$\lambda x.\ \lambda y.\ x\ y$\footnote{Lösung von Übungsblatt 6, WS 2013 / 2014}}
+Gesucht ist ein Typ $\tau$, sodass sich $\vdash \lambda x.\ \lambda y.\ x\ y: \tau$
+mit einem Ableitungsbaum nachweisen lässt. Es gibt mehrere solche $\tau$, aber
+wir suchen das allgemeinste. Die Regeln unseres Typsystems (siehe \cpageref{def:typsystem-t1}) 
+sind \textit{syntaxgerichtet}, d.~h. zu jedem $\lambda$-(Teil)-Term gibt es genau
+eine passende Regel.
+
+Für $\lambda x.\ \lambda y.\ x\ y$ wissen wir also schon, dass jeder Ableitungsbaum
+von folgender Gestalt ist. Dabei sind $\alpha_i$ Platzhalter:
+
+\[\ABS \frac{}{\vdash}\]

documents/Programmierparadigmen/shortcuts.sty

@@ -76,6 +76,10 @@
 \DeclareMathOperator{\pair}{pair}
 \DeclareMathOperator{\nxt}{next}
 \DeclareMathOperator{\pred}{pred}
+\DeclareMathOperator{\ABS}{ABS}
+\DeclareMathOperator{\VAR}{VAR}
+\DeclareMathOperator{\CONST}{CONST}
+\DeclareMathOperator{\APP}{APP}
 \let\succ\relax% Set equal to \relax so that LaTeX thinks it's not defined
 \DeclareMathOperator{\succ}{succ}
 \newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit