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@@ -0,0 +1,255 @@
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+%!TEX root = interventions.tex
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+\section{Interventions}
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+\subsection{Definition}
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+\begin{frame}{Interventionen}
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+ \begin{block}{Interventionsverteilung}
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+ Sei $\mathbb{P}^\mathbf{X}$ die zu einer SEM
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+ $\mathcal{S} := (\mathcal{S}, \mathbb{P}^N)$ gehörende Verteilung. \onslide<2->{Dann
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+ kann eine (oder mehr) Strukturgleichungen aus $\mathcal{S}$ ersetzt
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+ werden ohne einen Zyklus im Graphen zu erzeugen.} \onslide<3->{Die Verteilung des
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+ neuen SEM $\tilde{\mathcal{S}}$ heißt dann
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+ \textit{Interventionsverteilung}.}
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+
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+ \onslide<4->{Bei den Variablen, deren Strukturgleichungen ersetzt wurden, sagt man,
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+ wurde \textit{interveniert}.}
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+
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+ \onslide<5->{Die neue Verteilung wird mit
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+ \[\mathbb{P}_{\tilde{\mathcal{S}}}^{\mathbf{X}} = \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_j:=\tilde{f}(\tilde{\mathbf{PA}}_j, \tilde{N}_j))}^{\mathbf{X}}\]
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+ beschrieben.}
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+
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+ \onslide<6->{Die Menge der Rauschvariablen in $\mathcal{S}$ beinhaltet nun einige
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+ \enquote{neue} und einige \enquote{alte} $N$'s. $\mathcal{S}$ muss
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+ paarweise unabhängig sein.}
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+ \end{block}
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+\end{frame}
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+
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+\begin{frame}{Nieren-Beispiel}
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+ \begin{table}
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+ \begin{tabular}{lrr}
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+ \toprule
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+ ~ & \multicolumn{2}{c}{\textbf{Behandlungserfolg}} \\
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+ \cmidrule{2-3}
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+ ~ & \multicolumn{1}{c}{\textbf{A}} & \multicolumn{1}{c}{\textbf{B}} \\ \midrule
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+ Kleine Nierensteine & \textbf{93\%} & 87\% \\
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+ Große Nierensteine & \textbf{73\%} & 69\% \\
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+ \textbf{Gesamt} & 78\% & \textbf{83\%} \\
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+ \bottomrule
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+ \end{tabular}
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+ \end{table}
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+
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+ \begin{figure}[!h]
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+ \centering
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+ \begin{tikzpicture}[->,>=stealth',shorten >=1pt,auto,node distance=2.5cm,
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+ thick,main node/.style={circle,fill=blue!10,draw,font=\sffamily\Large\bfseries}]
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+ \node (Z) at (1,1) {Z};
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+ \node (T) at (0,0) {T};
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+ \node (R) at (2,0) {R};
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+
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+ \foreach \from/\to in {Z/T,Z/R,T/R}
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+ \draw (\from) -> (\to);
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+ \end{tikzpicture}
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+ \end{figure}
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+
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+ \begin{align*}
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+ Z &= N_Z, \;\;\;& N_Z &\sim Ber(\nicefrac{1}{4})\\
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+ T &= \lfloor 2 \cdot (1-Z+N_T) \rfloor \;\;\; & N_T &\sim \mathcal{N}(0, 1)\\
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+ R &= \lfloor 2 \cdot (0.6 \cdot (1-Z) + 0.4 \cdot (1-T) + N_R) \rfloor \;\;\; & N_R &\sim \mathcal{N}(0, 1)
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+ \end{align*}
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+\end{frame}
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+
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+% \begin{frame}{Interventionen: Spezialfälle}
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+% \begin{block}{Interventionsverteilung}
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+% Wenn $\tilde{f}(\tilde{\mathbf{PA}_j}, \tilde{N}_j)$ eine Punktmasse
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+% auf ein $a \in \mathbb{R}$ legt schreibt man
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+% \[\mathbb{P}_\mathcal{S, do(X_j := \tilde{f}(\tilde{\mathbf{PA}_j}, \tilde{N}_j))}^{\mathbf{X}}\]
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+% und nennt die Intervention
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+% \textbf{perfekt}.\\
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+
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+% Eine Intervention mit $\tilde{\mathbf{PA}_j} = \mathbf{PA}_j$ wird
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+% \textbf{mangelhaft} genannt.
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+% \end{block}
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+% \end{frame}
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+
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+\begin{frame}[t]{Beispiel 2.2.2: Ursache und Effekt}
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+ Es sei $\mathcal{S}$ gegeben durch
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+ \begin{align}
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+ X &= N_X\\
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+ Y &= 4 \cdot X + N_Y
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+ \end{align}
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+ mit $N_X, N_Y \overset{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0, 1)$ und den
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+ Graphen $X \rightarrow Y$.
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+ \only<2-9>{
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+ Dann gilt:
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+ \begin{align}
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+ \mathbb{P}_\mathcal{S}^Y = \mathcal{N}(0, 4^2 + 1) &\onslide<3->{\neq \mathcal{N}(8, 1)} \onslide<4->{= \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X:=2)}^{Y}} \onslide<5->{= \mathbb{P}_\mathcal{S}^{Y|X=2}}\\
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|
|
+ &\onslide<6->{\neq \mathcal{N}(12, 1)} \onslide<7->{= \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X:=3)}^{Y}} \onslide<8->{= \mathbb{P}_\mathcal{S}^{Y|X=3}}
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+ \end{align}
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+ \onslide<9->{$\Rightarrow$ Intervention auf $X$ beeinflusst die Verteilung von $Y$.}
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+ }
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+ \only<10-13>{
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+ Aber:
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+
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+ \begin{align}
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+ \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(Y:=2)}^{X} &= \mathcal{N}(0, 1)\\
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+ \onslide<11->{&= \mathbb{P}_\mathcal{S}^X}\\
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+ \onslide<12->{&= \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(Y:=3.14159)}^{X}}\\
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+ \onslide<13->{&\neq \mathbb{P}_\mathcal{S}^{X|Y=2}}
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|
+ \end{align}
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+ }
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+ \only<14->{\\
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+ Beispiel: $X$ (rauchen) $\rightarrow Y$ (weiße Zähne)
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+ \begin{itemize}
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+ \item<15-> Es besteht eine Asymmetrie zwischen Ursache ($X$) und Effekt ($Y$).
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+ \item<16-> $\mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(Y:=\tilde{N}_Y)}^{X,Y} \Rightarrow X \perp\!\!\!\perp Y$
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+ \item<17-> $\mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X:=\tilde{N}_X)}^{X,Y} \text{ und } Var(\tilde{N}_X) > 0 \Rightarrow X \not\perp\!\!\!\perp Y$
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+ \end{itemize}
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+ }
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+\end{frame}
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+
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+\section{Totaler kausaler Effekt}
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+\subsection{Totaler kausaler Effekt}
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+\begin{frame}{Totaler kausaler Effekt}
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+ \begin{block}{Totaler kausaler Effekt}
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+ Gegeben sei ein SEM $\mathcal{S}$. Dann gibt es einen
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+ (totalen) kausalen Effekt von $X$ nach $Y$ genau dann wenn
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+ \[\exists \tilde{N}_X : X \not\!\perp\!\!\!\perp Y \text{ in } \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X:=\tilde{N}_X)}^{\mathbf{X}}\]
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+ gilt.
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+ \end{block}
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+\end{frame}
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+
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+\begin{frame}[t]{Totaler kausaler Effekt: Äquivalenzen}
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+ Folgende Aussagen sind äquivalent:
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+
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+ \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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+ \item $\exists \tilde{N}_{X_1} \hphantom{\text{ mit vollem Support }}: X_1 \not\!\perp\!\!\!\perp X_2 \text{ in } \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=\tilde{N}_{X_1})}^{\mathbf{X}}$
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|
+ \item $\exists x^\triangle \exists x^\square: \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=x^\triangle)}^{X_2} \neq \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=x^\square)}^{X_2}$
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|
+ \item $\exists x^\triangle \hphantom{\exists x^\square}: \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=x^\triangle)}^{X_2} \neq \mathbb{P}_\mathcal{S}^{X_2}$.
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|
+ \item $\forall \tilde{N}_{X_1} \text{ mit vollem Support }: X_1 \not\!\perp\!\!\!\perp X_2 \text{ in } \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=\tilde{N}_{X_1})}^{\mathbf{X}}$
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|
+ \end{enumerate}
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+
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+ \only<2>{
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+ \textbf{Beweisplan:}\\
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+ (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iv) $\Rightarrow$ (i)\\
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+ $\neg$(i) $\Rightarrow$ $\neg$ (iii) äquivalent zu (iii) $\Rightarrow$ (i)\\
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|
+ (ii) $\Rightarrow$ (iii)
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+ }
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+ \only<3-5>{
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+ \begin{align}
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+ p_{\mathcal{S}, do(X_1:=x_1)}^{X_2}(x_2) &= \int \prod_{j \neq 1} p_j(x_j|x_{pa(j)}) \mathrm{d}x_3 \dots \mathrm{d}x_p \nonumber
|
|
|
+ \only<4->{\\&= \int \prod_{j \neq 1} p_j(x_j|x_{pa(j)}) \frac{\tilde{p}(x_1)}{\tilde{p}(x_1)}\mathrm{d}x_3 \dots \mathrm{d}x_p \nonumber}
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|
|
+ \only<5->{\\&= p_{\mathcal{S}, do(X_1:=\tilde{N}_1)}^{X_2 | X_1=x_1}(x_2)\tag{A.1}\label{eq:A.1}}
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|
+ \end{align}
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+ \only<5->{mit $\tilde{p}(x_1) > 0$.}
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+ }
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|
+ \only<6>{
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|
+ \begin{align}
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+ X_2 \not\perp\!\!\!\perp X_1 \text{ in } \mathbb{Q} \Leftrightarrow &\exists x_1^\triangle, x_1^\square \nonumber\\
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|
|
+ &\text{mit } q(x_1^\triangle), q(x_1^\square) > 0\nonumber\\
|
|
|
+ &\text{und } \mathbb{Q}^{X_2|X_1=x_1^\triangle} \neq \mathbb{Q}^{X_2 | X_1=x_1^\square}\tag{A.2}\label{eq:A.2}
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|
+ \end{align}
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|
+ }
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|
+
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|
+ \only<7>{
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|
+ \begin{align}
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|
+ X_2 \not\perp\!\!\!\perp X_1 \text{ in } \mathbb{Q} \Leftrightarrow &\exists x_1^\triangle \nonumber\\
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|
|
+ &\text{mit } q(x_1^\triangle) > 0\nonumber\\
|
|
|
+ &\text{und } \mathbb{Q}^{X_2|X_1=x_1^\triangle} \neq \mathbb{Q}^{X_2}\tag{A.3}\label{eq:A.3}
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|
+ \end{align}
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|
+ }
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|
+
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+ \only<8-10>{
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+ \textbf{Beweisplan:} (i) $\Rightarrow$ (ii)\\
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+ \onslide<9->{(i) $\overset{A.2}{\Rightarrow} \exists x_1^\triangle, x_1^\square$ mit
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|
+ pos. Dichte unter $\tilde{N_1}$ sodass $\mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=\tilde{N_1})}^{X_2|X_1=x_1^\triangle} \neq \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=\tilde{N_1})}^{X_2 | X_1=x^\square}$\\}
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+ \onslide<10->{$\overset{A.1}{\Rightarrow} (ii)$}
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+ }
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+ \only<11-13>{
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+ \textbf{Beweisplan:} (ii) $\Rightarrow$ (iv)\\
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|
+ \onslide<12->{(ii) $\overset{A.1}{\Rightarrow} \exists x_1^\triangle, x_1^\square$ mit pos. Dichte unter $\hat{N_1}$ sodass $\mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=\hat{N_1})}^{X_2|X_1=x_1^\triangle} \neq \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1 := \hat{N_1})}^{X_2 | X_1 = x_1^\square}$}
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|
+ \onslide<13->{$\overset{A.2}{\Rightarrow} (iv)$}
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+ }
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+ \only<14>{
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+ \textbf{Beweisplan:} (iv) $\Rightarrow$ (i)\\
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+ Trivial
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+ }
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+ \only<15-17>{
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+ \textbf{Beweisplan:} $\neg$(i) $\Rightarrow$ $\neg$ (iii)\\
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+ \onslide<16->{Es gilt: $\mathbb{P}_\mathcal{S}^{X_2} = \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1 := N_1^*)}^{X_2}$, wobei $N_1^*$ wie $\mathbb{P}_\mathcal{S}^{X_2}$ verteilt ist.\\}
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|
+ \onslide<17->{
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|
+ \begin{align}
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+ \neg (i) &\Rightarrow X_2 \perp\!\!\!\perp X_1 \text{ in } \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1 := N_1^*)}^{\textbf{X}}\\
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|
|
+ &\overset{A.3}{\Rightarrow} \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1 :=N_1^*)}^{X_2| X_1=x^\triangle} = \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1 := N_1^*)}^{X_2} \;\;\;\forall x^\triangle \text{ mit } p_1(x^\triangle) > 0\\
|
|
|
+ &\overset{A.1}{\Rightarrow} \mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(X_1:=x^\triangle)}^{X_2} = \mathbb{P}_\mathcal{S}^{X_2} \;\;\; \forall x^\triangle \text{ mit } p_1(x^\triangle) > 0\\
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|
|
+ &\overset{\neg (ii)}{\Rightarrow} \neg (iii)
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|
+ \end{align}
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|
+ }
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|
+ }
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+ \only<18>{
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+ \textbf{Beweisplan:} (ii) $\Rightarrow$ (iii)\\
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+ Trivial (TODO: wirklich?)
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+ }
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+\end{frame}
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+
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+\begin{frame}{Beispiel 2.2.6: Randomisierte Studie}
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+ \begin{itemize}
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+ \item<1-> Weise eine Behandlung $T$ zufällig (nach $\tilde{N_T}$) einem
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+ Patienten zu. Das könnte auch ein Placebo sein.
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+ \item<2-> Im SEM: Daten aus $\mathbb{P}_{\mathcal{S}, do(T:=\tilde{N_T})}^{\mathbf{X}}$
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+ \item<3-> Falls immer noch Abhängigkeit zw. Behandlung und Erfolg
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+ vorliegt $\Rightarrow T$ hat einen totalen kausalen Effekt auf
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+ den Behandlungserfolg.
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+ \end{itemize}
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+\end{frame}
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|
+
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+\begin{frame}{Beispiel 2.2.7: Nicolai's running-and-health Beispiel}
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+ Das zugrundeliegende (\enquote{wahre}) SEM $\mathcal{S}$, welches die Daten
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+ generierte, hat die Form:
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+
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+ \begin{align}
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+ A &= N_A &&\text{mit } N_A \sim Ber(\nicefrac{1}{2})\\
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+ H &= A + N_H \mod 2 &&\text{mit } N_H \sim Ber(\nicefrac{1}{3})\\
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+ B &= H + N_B \mod 2 &&\text{mit } N_B \sim Ber(\nicefrac{1}{20})
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|
+ \end{align}
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+
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+ mit dem Graphen $A \rightarrow H \rightarrow B$ und\\
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+ $N_A, N_H, N_B$ unabhängig.
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|
+
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|
+ \begin{itemize}
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+ \item<1-> $B$ ist hilfreicher für die Vorhersage von $H$ als $A$.
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+ \item<2-> Intervention von $A$ hat auf $H$ einen größeren Einfluss als Intervention von $B$.
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|
|
+ \end{itemize}
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+\end{frame}
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|
|
+
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+\begin{frame}{Proposition 2.2.9}
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+ \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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+ \item<1-> Falls es keinen gerichteten Pfad von $X$ nach $Y$ gibt, dann
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+ gibt es keinen kausalen Effekt.
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+ \item<2-> Manchmal gibt es einen gerichteten Pfad, aber keinen kausalen
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+ Effekt.
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+ \end{enumerate}
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+
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+ \onslide<3->{Beweis von (i): Folgt aus der Markov-Eigenschaft des
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+ interventierten SEMs. }\onslide<4->{Nach dem Entfernen der
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+ in $X$ eingehenden Kanten gilt: $X$ und $Y$ sind
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+ $d$-separiert, falls es keinen direkten Pfad von $X$ nach
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+ $Y$ gibt. \\}
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+ \onslide<5->{Beweis von (ii) durch Gegenbeispiel: Sei
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+ \begin{align}
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+ X &= N_X\\
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+ Z &= 2X + N_Z\\
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+ Y &= 4X - 2Z + N_Y
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|
+ \end{align}
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+ Dann gilt: $Y = - 2N_Z + N_Y$ und daher $X \perp\!\!\!\perp$ für alle $N_X$. $\square$
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+ }
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+\end{frame}
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|
+
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+% \begin{frame}{Nierensteine}
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+% \begin{columns}
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+% \begin{column}{0.45\textwidth}
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+% \begin{center}\textbf{Modell A}\end{center}
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+% \end{column}
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+% \begin{column}{0.45\textwidth}
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|
+% \begin{center}\textbf{Modell B}\end{center}
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+% \end{column}
|
|
|
+% \end{columns}
|
|
|
+% \end{frame}
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Martin Thoma