Remove trailing spaces

The commands

find . -type f -name '*.md' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+

and

find . -type f -name '*.tex' -exec sed --in-place 's/[[:space:]]\+$//' {} \+

were used to do so.

CONTRIBUTING.md

@@ -10,6 +10,7 @@
        this should include the rendered image. For documents, there should be
        some example text explaining what it is about.
 3. Use spaces for indenting.
+4. Don't have trailing spaces.
 
 
 ## Commit messages

asymptote/torus-three-paths/README.md

@@ -5,7 +5,7 @@ Compiled example
 Currently, this one is not working, because of this error:
 
 ```
-/usr/local/texlive/2013/texmf-dist/asymptote/three.asy: 
+/usr/local/texlive/2013/texmf-dist/asymptote/three.asy:
 2906.13: runtime: to support onscreen rendering, please install glut library, run ./configure, and recompile
 ```
 

cheat-sheets/Tikz/README.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 I took this from a [StackExchange Question](http://tex.stackexchange.com/a/84757/5645)
 
 If you want to change it (I know you can make it better with LaTeX!)
-or if you have some important commant, feel free to submit a merge 
+or if you have some important commant, feel free to submit a merge
 request or send me an email (info@martin-thoma.de)
 
 

cheat-sheets/Tikz/Tikz-cheat-sheet.tex

@@ -33,7 +33,7 @@
     \item Basic path: \myCode{\textbackslash drawing-command [options] path-specification;}
     \item Path specification: \myCode{(coordinate) path-component (coordinate);}
     \item Path Reusage  \myCode{postaction=\{<basic drawing commands> or <decorate>\}} When this option is given to any basic drawing commands below, the path is not immediately discarded and reused after the initial drawing command is finished. \\
-            \myCode{preaction=\{<basic drawing commands> or <decorate>\}} When this option is given to any basic drawing commands below, the path is used once before the initial drawing command is executed. 
+            \myCode{preaction=\{<basic drawing commands> or <decorate>\}} When this option is given to any basic drawing commands below, the path is used once before the initial drawing command is executed.
 \end{itemize}
 
 \section*{Basic Drawing Commands}

circuits/simple-example/simple-example.tex

@@ -8,8 +8,8 @@
 \begin{preview}
   \begin{circuitikz}
     \draw (0,0) node[european and port] (myand){}
-      (myand.in 1) node[anchor=east]{P} 
-      (myand.in 2) node[anchor=east]{Q} 
+      (myand.in 1) node[anchor=east]{P}
+      (myand.in 2) node[anchor=east]{Q}
       (1.8,0) node[european not port] (mynot){}
       (mynot.out) node[anchor=west]{S}
       (myand.out) -- (mynot.in);

documents/2048/2048.tex

@@ -11,11 +11,11 @@
 \title{The Game '2048'}
 \author{Martin Thoma}
 
-\hypersetup{ 
-  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
-  pdfkeywords = {Game, combinatorics, 2048}, 
-  pdftitle    = {The Game '2048'} 
-} 
+\hypersetup{
+  pdfauthor   = {Martin Thoma},
+  pdfkeywords = {Game, combinatorics, 2048},
+  pdftitle    = {The Game '2048'}
+}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Begin document                                                    %
@@ -36,7 +36,6 @@
 \section{Related}
 \begin{itemize}
     \item \url{http://math.stackexchange.com/q/716469/6876}
-    \item 
 \end{itemize}
 
 \end{document}

documents/2048/template/pixel-art.tex

@@ -33,7 +33,7 @@
   \foreach \line [count=\y] in \pixels {
     \foreach \pix [count=\x] in \line {
       \draw[fill=pixel \pix] (\x,-\y) rectangle +(1,1);
-      
+
       \ifthenelse{\equal{0}{\pix}}
            {}
            {\node at ($(\x,-\y) + (0.5,0.5)$)    {\Huge \pix};}

documents/Analysis III/Analysis-III.tex

@@ -7,16 +7,16 @@
 \semester{Wintersemeseter 10/11 und 12/13}
 \scriptstate{complete}
 
-\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de} 
+\author{Die Mitarbeiter von \href{http://mitschriebwiki.nomeata.de/}{mitschriebwiki.nomeata.de}
 und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{GitHub}}
 \title{Analysis III - Bachelorversion}
 \makeindex
 
-\hypersetup{ 
-  pdfauthor   = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub}, 
-  pdfkeywords = {Analysis}, 
-  pdftitle    = {Analysis III} 
-} 
+\hypersetup{
+  pdfauthor   = {Die Mitarbeiter von mitschriebwiki.nomeata.de und GitHub},
+  pdfkeywords = {Analysis},
+  pdftitle    = {Analysis III}
+}
 
 \begin{document}
 \maketitle
@@ -29,10 +29,10 @@ und \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents}{G
 \chapter*{Vorwort}
 
 \section*{Über dieses Skriptum}
-Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von 
-Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe 
-(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher 
-Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger 
+Dies ist ein Mitschrieb der Vorlesung \glqq Analysis III\grqq\ von
+Herrn Schmoeger im Wintersemester 2010 an der Universität Karlsruhe
+(KIT). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit ausdrücklicher
+Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger
 ist für den Inhalt nicht verantwortlich.
 
 Kapitel werden in Beweisen durch "`§"' abgekürzt.
@@ -46,13 +46,13 @@ Im September 2012 wurde das Skript mit der Revisionsnummer 7132 von
 mitschriebwiki auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III}{GitHub} hochgeladen.
 
 \section*{Wo}
-Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter 
-\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de} 
+Alle Kapitel inklusive \LaTeX-Quellen können unter
+\href{http://mitschriebwiki.nomeata.de}{mitschriebwiki.nomeata.de}
 abgerufen werden.
-Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die 
+Dort ist ein \emph{Wiki} eingerichtet und von Joachim Breitner um die
 \LaTeX-Funktionen erweitert.
 Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung
-beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion} 
+beteiligen. Auf Wunsch ist auch ein Zugang über \emph{Subversion}
 möglich.
 
 Oder man geht auf \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/blob/master/documents/Analysis%20III/}{github},
@@ -158,7 +158,7 @@ erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
 \textbf{§ 10: Der Satz von Fubini}: Jan Ihrens\\
 \textbf{§ 11: Der Transformationssatz}: Jan Ihrens, Rebecca Schwerdt\\
 \textbf{§ 12: Vorbereitungen für die Integralsätze}: Rebecca Schwerdt\\
-\textbf{§ 13: Der Integralsatz von Gauß\ im \(\mdr^{2}\)}: Benjamin Unger\\ 
+\textbf{§ 13: Der Integralsatz von Gauß\ im \(\mdr^{2}\)}: Benjamin Unger\\
 \textbf{§ 14: Flächen im \(\mdr^{3}\)}: Benjamin Unger\\
 \textbf{§ 15: Der Integralsatz von Stokes}: Philipp Ost\\
 \textbf{§ 16: \(\fl^{p}\)-Räume und \(\mathrm{L}^{p}\)-Räume}: Philipp Ost, Rebecca Schwerdt, Peter Pan, Jan Ihrens \\

documents/Analysis III/Kapitel-0.tex

@@ -1,17 +1,17 @@
-In diesem Kapitel seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und 
+In diesem Kapitel seien $X,Y,Z$ Mengen ($\ne\emptyset$) und
 $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
 
 \begin{enumerate}
     \index{Potenzmenge}
     \index{Disjunktheit}
-    \item 
+    \item
     \begin{enumerate}
-        \item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt 
+        \item $\mathcal{P}(X):=\{A:A\subseteq X\}$ heißt
               \textbf{Potenzmenge} von $X$.
-        \item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$ 
-              \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$ 
+        \item Sei $\fm\subseteq\mathcal{P}(X)$, so heißt $\fm$
+              \textbf{disjunkt}, genau dann wenn $A\cap B=\emptyset$
               für $A,B\in\fm$ mit $A\ne B$.
-        \item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also 
+        \item Sei $(A_j)$ eine Folge in $\mathcal{P}(X)$ (also
               $A_j\subseteq X$), so heißt $(A_j)$ \textbf{disjunkt},
               genau dann wenn $\{A_1,A_2,\dots\}$ disjunkt ist.\\
               \textbf{Schreibweise}:\\
@@ -22,16 +22,16 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
                 \sum_{j=1}^\infty a_j      &=: \sum a_j
               \end{align*}
     \end{enumerate}
-    \item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$ 
+    \item Sei $A\subseteq X$, $\mathds{1}_A : X \rightarrow R$
           definiert durch:
           \[\mathds{1}_A(x):= \begin{cases}
                 1 &\text{falls } x\in A\\
                 0 &\text{falls } x\in A^c
             \end{cases}\]
           wobei $A^c:=X\setminus A$. $\mathds{1}_A$ heißt die
-          \textbf{charakteristische Funktion} oder 
+          \textbf{charakteristische Funktion} oder
           \textbf{Indikatorfunktion von A}.
-    \item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$ 
+    \item Sei $B\subseteq Y$ dann ist $f^{-1}(B):=\{x\in X: f(x)\in B\}$
           und es gelten folgende Eigenschaften:
           \begin{enumerate}
             \item $f^{-1}(B^c)=f^{-1}(B)^c$
@@ -47,12 +47,12 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
 
 \begin{definition}
     \index{offen}
-    Sei $n \in \mdn$ und $\emptyset \neq X \subseteq \mdr^n$ und 
+    Sei $n \in \mdn$ und $\emptyset \neq X \subseteq \mdr^n$ und
     $A \subseteq X$.
 
-    $A$ heißt $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ in 
-    $X :\Leftrightarrow \exists B \subseteq \mdr^n$. 
-    $B$ ist $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ und 
+    $A$ heißt $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ in
+    $X :\Leftrightarrow \exists B \subseteq \mdr^n$.
+    $B$ ist $\stackrel{\text{offen}}{\text{abgeschlossen}}$ und
     $A = B \cap X$
 \end{definition}
 
@@ -61,18 +61,18 @@ $f: X\to Y,\; g:Y\to Z$ Abbildungen.
     $f: X \rightarrow \mdr^n$.
 
     \begin{enumerate}
-        \item $A$ ist offen in $X \Leftrightarrow \forall x \in A$ 
+        \item $A$ ist offen in $X \Leftrightarrow \forall x \in A$
               ex. eine Umgebung $U$ von $x$ mit $U \cap X \subseteq A$
         \item $A$ ist abgeschlossen in $X$\\
               $\Leftrightarrow X \setminus A$ ist offen in $X$\\
-              $\Leftrightarrow$ für jede konvergente Folge $(a_k)$ 
+              $\Leftrightarrow$ für jede konvergente Folge $(a_k)$
               in $A$ mit $\lim a_k \in X$ ist $\lim a_k \in A$
         \item Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
               \begin{enumerate}
                 \item $f \in C(X, \mdr^m)$
-                \item für jede offene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist 
+                \item für jede offene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist
                       $f^{-1}(B)$ offen in $X$
-                \item für jede abgeschlossene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist 
+                \item für jede abgeschlossene Menge $B \subseteq \mdr^m$ ist
                       $f^{-1}(B)$ abgeschlossen in $X$
               \end{enumerate}
     \end{enumerate}

documents/Analysis III/Kapitel-1.tex

@@ -2,7 +2,7 @@ In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
 
 \begin{definition}
     \index{$\sigma$-!Algebra}
-    Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine 
+    Sei $\fa\subseteq\mathcal{P}(X)$, $\fa$ heißt eine
     \textbf{$\sigma$-Algebra} auf $X$, wenn gilt:
     \begin{enumerate}
         \item[($\sigma_1$)] $X\in\fa$
@@ -14,11 +14,11 @@ In diesem Kapitel sei $X \neq \emptyset$ eine Menge.
 
 \begin{beispieleX}
     \begin{enumerate}
-        \item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind 
+        \item $\Set{X,\emptyset}$ und $\mathcal{P}(X)$ sind
               $\sigma$-Algebren auf $X$.
-        \item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$ 
+        \item Sei $A\subseteq X$, dann ist $\Set{X,\emptyset, A, A^c}$
               eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
-        \item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$ 
+        \item $\fa:=\Set{A\subseteq X | A \text{ abzählbar oder } A^c \text{ abzählbar}}$
               ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
     \end{enumerate}
 \end{beispieleX}
@@ -41,13 +41,13 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
 \begin{beweis}
     \begin{enumerate}
     \item \folgtnach{$\sigma_2$} $\emptyset=X^c\in\fa$.
-    \item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach 
-          ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch 
+    \item $D:=\bigcap A_j$. $D^c=\bigcup A_j^c\in\fa$ (nach
+          ($\sigma_2$) und ($\sigma_3$)), also gilt auch
           $D=(D^c)^c\in\fa$.
     \item \begin{enumerate}
-            \item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)} 
+            \item \folgtnach{($\sigma_3$) mit $A_{n+j}:=\emptyset$ ($j\ge 1$)}
                   $A_1\cup\dots\cup A_n\in\fa$.
-            \item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$} 
+            \item \folgtnach{(2) mit $A_{n+j}:=X$ ($j\ge 1)$}
                   $A_1\cap\dots\cap A_n\in\fa$.
             \item $A_1\setminus A_2=A_1\cap A_2^c\in\fa$
           \end{enumerate}
@@ -56,8 +56,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
 
 \begin{lemma}
     \label{Lemma 1.2}
-    Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$. 
-    Dann ist 
+    Sei $\cf \neq \emptyset$ eine Menge von $\sigma$-Algebren auf $X$.
+    Dann ist
     \[\fa_0:=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
     eine $\sigma$-Algebra auf $X$.
 \end{lemma}
@@ -70,7 +70,7 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
             \forall\fa\in\cf:A\in\fa &\implies \forall\fa\in\cf:A^c\in\fa\\
                                      &\implies A^c\in\fa_0
           \end{align*}
-        \item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann 
+        \item[($\sigma_3$)] Sei $(A_j)$ eine Folge in $\fa_0$, dann
             ist $(A_j)$ Folge in $\fa$ für alle $\fa\in\cf$, dann gilt:
           \begin{align*}
             \forall\fa\in\cf:\bigcap A_j\in\fa \implies \bigcap A_j\in\fa_0
@@ -80,14 +80,14 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
 
 \begin{definition}
     \index{Erzeuger}
-    Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und 
-    $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit 
+    Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
+    $\cf:=\{\fa:\fa$ ist $\sigma$-Algebra auf $X$ mit
     $\mathcal{E}\subseteq\fa\}$. Definiere
     \[\sigma(\mathcal{E}):=\bigcap_{\fa\in\cf}\fa\]
-    \folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra 
-    auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die 
-    \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}. 
-    $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von 
+    \folgtnach{1.2} $\sigma(\mathcal{E})$ ist eine $\sigma$-Algebra
+    auf $X$. $\sigma(\mathcal{E})$ heißt die
+    \textbf{von $\mathcal{E}$ erzeugte $\sigma$-Algebra}.
+    $\mathcal{E}$ heißt ein \textbf{Erzeuger} von
     $\sigma(\mathcal{E})$.
 \end{definition}
 
@@ -95,12 +95,12 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
     \label{Lemma 1.3}
     Sei $\emptyset\ne\mathcal{E}\subseteq\mathcal{P}(X)$.
     \begin{enumerate}
-        \item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$. 
-              $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"' 
+        \item $\mathcal{E}\subseteq\sigma(\mathcal{E})$.
+              $\sigma(\mathcal{E})$ ist die "`kleinste"'
               $\sigma$-Algebra auf $X$, die $\mathcal{E}$ enthält.
-        \item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist 
+        \item Ist $\mathcal{E}$ eine $\sigma$-Algebra, so ist
               $\sigma(\mathcal{E})=\mathcal{E}$.
-        \item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist 
+        \item Ist $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'$, so ist
               $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
     \end{enumerate}
 \end{lemma}
@@ -108,19 +108,19 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
 \begin{beweis}
     \begin{enumerate}
         \item Klar nach Definition.
-        \item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt 
+        \item $\fa:=\mathcal{E}$, dann gilt
               $\fa\subseteq\sigma(\mathcal{E})\subseteq\fa$.
-        \item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$, 
-              also folgt nach Definition 
+        \item $\mathcal{E}\subseteq\mathcal{E}'\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$,
+              also folgt nach Definition
               $\sigma(\mathcal{E})\subseteq\sigma(\mathcal{E}')$.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}
-        \item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist 
+        \item Sei $A\subseteq X$ und $\mathcal{E}:=\{A\}$. Dann ist
               $\sigma(\mathcal{E})=\{X,\emptyset,A,A^c\}$.
-        \item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$. 
+        \item $X:=\{1,2,3,4,5\}, \mathcal{E}:=\{\{1\},\{1,2\}\}$.
               Dann gilt:
               \[\sigma(\mathcal{E}):=\{X,\emptyset, \{1\},\{2\},\{1,2\},\{3,4,5\},\{1,3,4,5\},\{2,3,4,5\}\}\]
     \end{enumerate}
@@ -128,11 +128,11 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
 
 \begin{erinnerung}
     \index{Offenheit}\index{Abgeschlossenheit}
-    Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt 
-    \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn 
-    ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit 
+    Sei $d\in\mdn, X\subseteq\mdr^d$. $A\subseteq X$ heißt
+    \textbf{offen} (\textbf{abgeschlossen}) in $X$, genau dann wenn
+    ein offenes (abgeschlossenes) $G\subseteq\mdr^d$ existiert mit
     $A=X\cap G$.\\
-    Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in 
+    Beachte: $A$ abgeschlossen in $X$ $\iff$ $X\setminus A$ offen in
     $X$.
 \end{erinnerung}
 
@@ -142,27 +142,27 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
     Sei $X\subseteq\mdr^d$.
     \begin{enumerate}
         \item $\mathcal{O}(X):=\Set{A\subseteq X | A \text{ ist offen in } X}$
-        \item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt 
+        \item $\fb(X):=\sigma(\mathcal{O}(X))$ heißt
               \textbf{Borelsche $\sigma$-Algebra} auf $X$.
-        \item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen 
+        \item $\fb_d:=\fb(\mdr^d)$. Die Elemente von $\fb_d$ heißen
               \textbf{Borelsche Mengen} oder \textbf{Borel-Mengen}.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}
-        \item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$ 
+        \item Sei $\emptyset \neq X\subseteq\mdr^d$. Ist $A\subseteq$
               $\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$
               in $X$, so ist $A\in\fb(X)$.
-        \item Ist $A\subseteq\mdr^d$ 
+        \item Ist $A\subseteq\mdr^d$
               $\stackrel{\hbox{offen}}{\hbox{abgeschlossen}}$,
               so ist $A\in\fb_d$.
-        \item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also 
-              $\mdq=\{r_1,r_2,\dots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$). 
-              Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$, 
-              dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus 
+        \item Sei $d=1, A=\mdq$. $\mdq$ ist abzählbar, also
+              $\mdq=\{r_1,r_2,\dots\}$ (mit $r_i\ne r_j$ für $i\ne j$).
+              Also ist $\mdq=\bigcup \{r_j\}$. Sei nun $r\in\mdq$,
+              dann ist $B:=(-\infty,r)\cup(r,\infty)\in\fb_1$. Daraus
               folgt $\{r_j\}\in\fb_1$, also auch $\mdq\in\fb_1$.\\
-              Allgemeiner lässt sich zeigen: 
+              Allgemeiner lässt sich zeigen:
               $\mdq^d:=\{(x_1,\dots,x_n):x_j\in\mdq (j=1,\dots,n)\}\in\fb_d$.
         \item Sei $x_0 \in \mdr^d, \Set{x_0}$ ist abgeschlossen
               $\Rightarrow \Set{x_0} \in \fb$
@@ -173,8 +173,8 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
     \index{Intervall}
     \index{Halbraum}
     \begin{enumerate}
-    \item Seien $I_1,\dots,I_d$ Intervalle in $\mdr$. 
-          Dann heißt $I_1\times\dots\times I_d$ ein \textbf{Intervall} 
+    \item Seien $I_1,\dots,I_d$ Intervalle in $\mdr$.
+          Dann heißt $I_1\times\dots\times I_d$ ein \textbf{Intervall}
           in $\mdr^d$.
     \item Seien $a=(a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d)\in\mdr^d$.
           \[a\le b:\iff a_j\le b_j \quad \forall j \in \Set{1, \dots, d}\]
@@ -185,9 +185,9 @@ Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, dann:
             [a,b) &:= [a_1,b_1)\times[a_2,b_2)\times\dots\times[a_d,b_d)\\
             [a,b] &:= [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d]
         \end{align*}
-        mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls 
+        mit der Festlegung $(a,b):=(a,b]:=[a,b):=\emptyset$, falls
         $a_j=b_j$ für ein $j\in\{1,\dots,d\}$.
-    \item Für $k\in\{1,\dots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die 
+    \item Für $k\in\{1,\dots,d\}$ und $\alpha\in\mdr$ definiere die
           folgenden \textbf{Halbräume}:
           \begin{align*}
             H_k^-(\alpha) &:= \Set{(x_1,\dots,x_d)\in\mdr^d:x_k\le\alpha}\\
@@ -211,7 +211,7 @@ die beiden Halbräume:\\
 
     \fill[green!15] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- (a);
 
-    % Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we 
+    % Draw lines indicating intersection with y and x axis. Here we
     % use the perpendicular coordinate system
     \draw[dotted] (yaxis |- a) node[left] {$a_2$}
         -| (xaxis -| a) node[below] {$a_1$};
@@ -274,10 +274,10 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-\[\fb_d 
-    \stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1) 
-    \stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2) 
-    \stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3) 
+\[\fb_d
+    \stackrel{(1)}{\subseteq} \sigma(\ce_1)
+    \stackrel{(2)}{\subseteq} \sigma(\ce_2)
+    \stackrel{(3)}{\subseteq} \sigma(\ce_3)
     \stackrel{(4)}{\subseteq} \fb_d
 \]
 \begin{enumerate}
@@ -293,57 +293,57 @@ Entsprechendes gilt für die anderen Typen von Intervallen und Halbräumen.
           \[\exists N\in\mdn:\forall n\ge N: \forall j\in\{1,\dots,d\}:a_j<b_j-\frac1n\]
           Definiere $c_n:=(\frac1n,\dots,\frac1n)\in\mdq^d$. Dann gilt:
           \[(a,b)=\bigcup_{n\ge N}(a,b-c_n]\in\sigma(\ce_2)\]
-          Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit 
+          Also auch $\ce_1\subseteq\sigma(\ce_2)$ und damit
           $\sigma(\ce_1)\subseteq\sigma(\ce_2)$.
-    \item Seien $a = (a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$ 
-          mit $a \leq b$. 
+    \item Seien $a = (a_1,\dots,a_d), b=(b_1,\dots,b_d) \in \mdq^d$
+          mit $a \leq b$.
           Nachrechnen:
           \[(a,b] = \bigcap_{k=1}^d (H^-_k(b_k) \cap H^-_k(a_k)^c) \in \sigma(\ce_3). \]
-          Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch 
-          $\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$. 
-    \item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist 
-          $H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$, 
-          also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist 
-          $\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$. 
+          Das heißt $\ce_2 \subseteq \sigma(\ce_3)$ und damit auch
+          $\sigma(\ce_2) \subseteq \sigma(\ce_3)$.
+    \item $H^-_k(\alpha)$ ist abgeschlossen, somit ist
+          $H^-_k(\alpha)^c$ offen und damit $H^-_k(\alpha)^c \in \fb_d$,
+          also auch $H^-_k(\alpha) \in \fb_d$. Damit ist
+          $\ce_3 \subseteq \fb_d \implies \sigma(\ce_3) \subseteq \fb_d$.
 \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}
     \index{Spur}
-    Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und 
-    $\emptyset \neq Y \subseteq X$. 
-    \[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\] 
+    Sei $\emptyset \neq \fm \subseteq \mathcal{P}(X)$ und
+    $\emptyset \neq Y \subseteq X$.
+    \[\fm_Y := \{A \cap Y : A \in \fm\}\]
     heißt die \textbf{Spur von $\fm$ in $Y$}.
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
-    $X = \mdr^d, \fm \subseteq \sigma(\mdr^d), \; Y \subseteq X$. 
+    $X = \mdr^d, \fm \subseteq \sigma(\mdr^d), \; Y \subseteq X$.
     Dann: $(\co(\mdr^d))_Y = \sigma(Y)$
 \end{beispiel}
 
 \begin{satz}[Spuren und $\sigma$-Algebren]
     \label{Satz 1.5}
-    Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine 
+    Sei $\emptyset \neq Y \subseteq X$ und $\fa$ eine
     $\sigma$-Algebra auf $X$.
     \begin{enumerate}
         \item $\fa_Y$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
         \item $\fa_Y \subseteq \fa \iff Y \in \fa$
-        \item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so 
+        \item Ist $\emptyset \neq \ce \subseteq \mathcal{P}(X)$, so
               ist $\sigma(\ce_Y) = \sigma(\ce)_Y$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
     \begin{enumerate}
-        \item 
+        \item
           \begin{enumerate}
             \item[($\sigma_1$)] Es ist $Y=Y\cap X\in\fa_Y$, da $X\in\fa$.
-            \item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein 
+            \item[($\sigma_2$)] Sei $B\in\fa_Y$, dann existiert ein
                             $A\in\fa$ mit $B=A\cap Y$.\\
-                            Also ist 
+                            Also ist
                             $Y\setminus B=\overbrace{(X\setminus A)}^{\in\fa} \cap Y\in\fa_Y$.
-            \item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann 
-                            existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$ 
+            \item[($\sigma_3$)] Sei $(B_j)$ eine Folge in $\fa_Y$, dann
+                            existiert eine Folge $(A_j)\in\fa^\mdn$
                             mit $B_j=A_j\cap Y$. Es gilt:
                             \[\bigcup B_j=\bigcup(A_j\cap Y)=(\bigcup A_j)\cap Y\in\fa_Y\]
             \end{enumerate}
@@ -392,10 +392,10 @@ Außerdem sei $[0,+\infty]:=[0,\infty)\cup\{+\infty\}$.
             \begin{cases}
                 \exists n \in \mdn \text{ mit } a_n = +\infty \text{ oder }\\
                 \sum a_n \text{ divergiert}
-            \end{cases} 
+            \end{cases}
           \]
-\end{enumerate} 
-Wegen Ana I, 13.1 können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet 
+\end{enumerate}
+Wegen Ana I, 13.1 können Reihen der obigen Form beliebig umgeordnet
 werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
 \end{definition}
 
@@ -405,13 +405,13 @@ werden, ohne dass sich ihr Wert verändert.
 \index{Maßraum}
 \index{Maß!endliches}
 \index{Wahrscheinlichkeitsmaß}\index{Maß!Wahrscheinlichkeits-}
-Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ 
-eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann 
+Sei $\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$ und $\mu:\fa\to[0,+\infty]$
+eine Abbildung. $\mu$ heißt ein \textbf{Maß} auf $\fa$, genau dann
 wenn gilt:
 \begin{enumerate}
 \item[$(M_1)$] $\mu(\emptyset)=0$
-\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist 
-$\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt 
+\item[$(M_2)$] Ist $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fa$, so ist
+$\mu(\bigcup A_j)=\sum\mu(A_j)$. Diese Eigenschaft heißt
 \textbf{$\sigma$-Additivität}.
 \end{enumerate}
 In diesem Fall heißt $(X,\fa,\mu)$ ein \textbf{Maßraum}.\\
@@ -424,7 +424,7 @@ Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(
 \index{Dirac-Maß}\index{Maß!Dirac-}
 \index{Zählmaß}\index{Maß!Zähl-}
 \begin{enumerate}
-    \item Sei $\fa:=\cp(X)$ und $x_0\in X$. 
+    \item Sei $\fa:=\cp(X)$ und $x_0\in X$.
           $\delta_{x_0}:\fa\to[0,+\infty]$ sei definiert durch:
           \[\delta_{x_0}(A):=
           \begin{cases}
@@ -438,36 +438,36 @@ Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(
           1,\ x_0\in\bigcup A_j\\
           0,\ x_0\not\in\bigcup A_j
           \end{cases}\right\}=\sum\delta_{x_0}(A_j)\]
-          $\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\fa$ und heißt 
+          $\delta_{x_0}$ ist ein Maß auf $\fa$ und heißt
           \textbf{Punktmaß} oder \textbf{Dirac-Maß}.
-    \item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in 
+    \item Sei $X:=\mdn$, $\fa:=\cp(X)$ und $(p_j)$ eine Folge in
           $[0,+\infty]$. Definiere $\mu:\fa\to[0,+\infty]$ durch:
           \begin{align*}
-          \text{Für } A \in \fa: \quad 
+          \text{Für } A \in \fa: \quad
           \mu(A):=
           \begin{cases}
               0                &\text{, falls } A=\emptyset\\
               \sum_{j\in A}p_j &\text{, falls } A\ne\emptyset
           \end{cases}
           \end{align*}
-          Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}. 
-          Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der 
+          Übung: $\mu$ ist ein Maß auf $\fa=\cp(\mdn)$ und heißt ein \textbf{Zählmaß}.
+          Sind alle $p_j=1$, so ist $\mu(A)$ gerade die Anzahl der
           Elemente von $A$.
-    \item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$ 
-          und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$. 
-          Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch 
+    \item Sei $(X,\fa,\mu)$ ein Maßraum, $\emptyset\ne Y\subseteq X$
+          und $\fa_0\subseteq\fa$ eine $\sigma$-Algebra auf $Y$.
+          Definiere $\mu_0:\fa_0\to[0,+\infty]$ durch
           $\mu_0(A):=\mu(A)$ ($A\in\fa_0$).\\
-          Dann ist 
+          Dann ist
           $(Y,\fa_0,\mu_0)$ ein Maßraum.\\
-          Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$ 
-          und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch 
+          Ist spezieller $Y\in\fa$, so ist $\fa_0:=\fa_Y\subseteq\fa$
+          und man definiert $\mu_{|Y}:\fa_Y\to[0,+\infty]$ durch
           $\mu_{|Y}(A):=\mu(A)$ ist ein Maß auf $\fa_Y$.
 \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 
 \begin{satz}
 \label{Satz 1.7}
-\((X,\fa,\mu)\) sei ein Maßraum, es seien \(A,B\in\fa\) und 
+\((X,\fa,\mu)\) sei ein Maßraum, es seien \(A,B\in\fa\) und
 \((A_{j})\) sei eine Folge in \(\fa\). Dann:
 \begin{enumerate}
 \item \(A\subseteq B\,\implies\,\mu(A)\leq\mu(B)\)
@@ -481,7 +481,7 @@ Ein Maß $\mu$ heißt ein \textbf{Wahrscheinlichkeitsmaß} $:\Leftrightarrow\mu(
 \end{satz}
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
-% Eigentlich muesste es in folgender Zeile statt B=(B\setminus A)\cup A korrekt 
+% Eigentlich muesste es in folgender Zeile statt B=(B\setminus A)\cup A korrekt
 % heissen: B=(B\setminus A)\cupdot A -- Spaeter
 \item[(1)-(3)] \(B=(B\setminus A)\cup A\). Dann: \(\mu(B)=\underbrace{\mu(B\setminus A)}_{\geq0}+\mu(A)\geq\mu(A)\)
 \item[(4)] % Das muesste jetzt eigentlich Punkt 4 sein

documents/Analysis III/Kapitel-10.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ Für \(x\in\mdr^k\):
 \[F(x):=\int_{\mdr^l}f(x,y)\,dy=\int_{\mdr^l}f^x(y)\,dy\]
 Für \(y\in\mdr^l\):
 \[G(y):=\int_{\mdr^k}f(x,y)\,dx=\int_{\mdr^k}f_y(x)\,dx\]
-Dann sind $F,G$ messbar und 
+Dann sind $F,G$ messbar und
 \[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\]
 also
 \begin{align*}
@@ -26,7 +26,7 @@ Für \(x\in\mdr^k\) und \(\natn\) gilt:
 und nach Fall 2 ist \(F_n\) messbar. \\
 Aus \(0\leq f_n\leq f_{n+1}\) folgt \(0\leq F_n\leq F_{n+1}\) und \ref{Satz 4.6} liefert \(F_n\to F\) auf \(\mdr^k\). Dann gilt
 \[\int_{\mdr^d}f(z)\,dz = \lim \int_{\mdr^d}f_n(z)\,dz \overset{Fall 2}= \lim \int_{\mdr^k}F_n(x)\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\int_{\mdr^k}F(x)\,dx\]
-Genauso zeigt man 
+Genauso zeigt man
 \[\int_{\mdr^d}(f(z)\,dz=\int_{\mdr^l}G(y)\,dy\]
 \end{beweis}
 
@@ -35,7 +35,7 @@ Genauso zeigt man
 Es sei \(f\colon\mdr^d\to\imdr\) integrierbar. Dann existieren Nullmengen \(M\subseteq\mdr^k\) und \(N\subseteq\mdr^l\) mit
 \begin{align*}
 	 f^x\colon\mdr^l\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } x\in\mdr^k\setminus M \\
-	 f_y\colon\mdr^k\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } y\in\mdr^l\setminus N 
+	 f_y\colon\mdr^k\to\imdr \text{ ist integrierbar für jedes } y\in\mdr^l\setminus N
 \end{align*}
 Setze
 \begin{align*}
@@ -60,22 +60,22 @@ Es gilt also wieder \((\ast)\) aus \ref{Satz 10.1}.
 Wir zeigen nur die Aussagen über \(f^x\), $F$ und die erste der obigen beiden Gleichungen. Genauso zeigt man die Aussagen über \(f_n, G\) und die zweite Gleichung.\\
 Aus \ref{Lemma 8.1} folgt, dass \(f^x\) messbar ist. Definiere
 	\begin{align*}
-	\Phi(x) := \int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy 
-	= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy \ \text{ für } x\in\mdr^k 
+	\Phi(x) := \int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
+	= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy \ \text{ für } x\in\mdr^k
 	\end{align*}
-Nach \ref{Satz 10.1} ist \(\Phi\) messbar und 
+Nach \ref{Satz 10.1} ist \(\Phi\) messbar und
 	\begin{align*}
-	\int_{\mdr^k}\Phi(x)\,dx 
-	= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy\right)dx \overset{\ref{Satz 10.1}} 
-	= \int_{\mdr^d}\lvert f(z)\rvert\,dz 
+	\int_{\mdr^k}\Phi(x)\,dx
+	= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy\right)dx \overset{\ref{Satz 10.1}}
+	= \int_{\mdr^d}\lvert f(z)\rvert\,dz
 	< \infty
 	\end{align*}
 (denn mit $f$ ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\lvert f\rvert\) integrierbar). Somit ist \(\Phi\) integrierbar.
-Setze \(M:=\{\Phi = \infty \}\) was nach \ref{Satz 4.10} eine Nullmenge ist. 
+Setze \(M:=\{\Phi = \infty \}\) was nach \ref{Satz 4.10} eine Nullmenge ist.
 Also gilt:
 	\begin{align*}
-	\int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy 
-	= \Phi(x) < \infty \ \text{ für jedes } x\in\mdr^k\setminus M 
+	\int_{\mdr^l}\lvert f^x(y)\rvert\,dy
+	= \Phi(x) < \infty \ \text{ für jedes } x\in\mdr^k\setminus M
 	\end{align*}
 Das heißt, \(\lvert f^x\rvert\) ist für jedes \(x\in\mdr^k\setminus M\) integrierbar und es gilt nach \ref{Satz 4.9} auch
 	\begin{align*}
@@ -90,22 +90,22 @@ Setze
 		0	&\text{, falls } z\in M\times\mdr^l
 		\end{cases}
 	\end{align*}
-Aus \ref{Lemma 9.3} folgt, dass \(\tilde f\) messbar ist. Klar ist, dass fast überall \(f=\tilde f\) gilt. Es ist 
+Aus \ref{Lemma 9.3} folgt, dass \(\tilde f\) messbar ist. Klar ist, dass fast überall \(f=\tilde f\) gilt. Es ist
 \[\tilde f^x = \left(\mathds{1}_{(M\times\mdr^l)^C}\cdot f\right)^x\]
 Das heißt \(\tilde f^x\) ist integrierbar für jedes \(x\in\mdr^k\). Dann gilt
 	\begin{align*}
-	 F(x) \overset{\ref{Satz 5.3}} 
-	= \int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy 
-	= \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_+ (x,y)\,dy}_{=:F^+(x)} - \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_- (x,y)\,dy}_{=:F^-(x)} 
+	 F(x) \overset{\ref{Satz 5.3}}
+	= \int_{\mdr^l}\tilde f(x,y)\,dy
+	= \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_+ (x,y)\,dy}_{=:F^+(x)} - \underbrace{\int_{\mdr^l}\tilde f_- (x,y)\,dy}_{=:F^-(x)}
 	\end{align*}
 Nach \ref{Satz 10.1} sind \(F^+\) und \(F^-\) messbar. Die Dreiecksungleichung liefert nun
 	\begin{align*}
-	\lvert F(x)\rvert 
-	\leq \int_{\mdr^l}\lvert \tilde f(x,y)\rvert\,dy 
-	\overset{\ref{Satz 5.3}}= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy 
+	\lvert F(x)\rvert
+	\leq \int_{\mdr^l}\lvert \tilde f(x,y)\rvert\,dy
+	\overset{\ref{Satz 5.3}}= \int_{\mdr^l}\lvert f(x,y)\rvert\,dy
 	= \Phi(x) \ \text{ für } x\in\mdr^k
 	\end{align*}
-Also ist \(\lvert F\rvert\leq\Phi\) und \(\Phi\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass $F$ und \(\lvert F\rvert\) integrierbar sind 
+Also ist \(\lvert F\rvert\leq\Phi\) und \(\Phi\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass $F$ und \(\lvert F\rvert\) integrierbar sind
 und dann sind auch \(F^+\) und \(F^-\) integrierbar (zur Übung). Es folgt
 	\begin{align*}
 	\int_{\mdr^k}F(x)\,dx
@@ -138,15 +138,15 @@ Gegeben: \(\emptyset\neq D\subseteq\fb_d\) und messbares \(f\colon D\to\imdr\).
 Setze $f$ auf \(\mdr^d\) zu einer messbaren Funktion \(\tilde f\) fort (zum Beispiel wie in \ref{Lemma 9.3}).
 Aus \ref{Satz 3.8} folgt dann, dass \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) messbar ist und \ref{Satz 10.1} liefert
 	\begin{align*}
-	\int_{\mdr^d}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dz 
-	= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dy\right)dx 
+	\int_{\mdr^d}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dz
+	= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dy\right)dx
 	= \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\,dx\right)dy
 	\end{align*}
 Ist eines der drei obigen Integrale endlich, so ist \(\lvert \mathds{1}_{D}\tilde f\rvert\) integrierbar und
 damit ist nach \ref{Satz 4.9} auch \(\mathds{1}_{D}\tilde f\) integrierbar.\\
 Dann ist $f$ integrierbar und es folgt
 	\begin{align*}
-	\int_Df(z)\,dz 
+	\int_Df(z)\,dz
 	& = \int_{\mdr^d}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(z)\,dz									\\
 	& \overset{\ref{Satz 10.2}}= \int_{\mdr^k}\left(\int_{\mdr^l}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dy\right)dx 	\\
 	& = \int_{\mdr^l}\left(\int_{\mdr^k}\left(\mathds{1}_{D}\tilde f\right)(x,y)\,dx\right)dy
@@ -154,11 +154,11 @@ Dann ist $f$ integrierbar und es folgt
 
 \begin{beispiel}
 \begin{enumerate}
-\item Sei \(D=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d]\) mit \(a_i\leq b_i \ (i=1,\dots,d)\). 
+\item Sei \(D=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\dots\times[a_d,b_d]\) mit \(a_i\leq b_i \ (i=1,\dots,d)\).
 Es sei \(f\colon D\to\mdr\) stetig. $D$ ist kompakt, also gilt \(D\in\fb_d\).
 Nach \ref{Satz 4.12}(2) ist \(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) und aus obiger Bemerkung folgt
 	\begin{align*}
-	\int_Df(x_1,\dots,x_d)\,d(x_1,\dots,x_d) 
+	\int_Df(x_1,\dots,x_d)\,d(x_1,\dots,x_d)
 	= \int_{a_d}^{b^d} \left(\dots \left( \int_{a_2}^{b^2} \left(\int_{a_1}^{b^1}f(x_1,\dots,x_d)\,dx_1\right)dx_2\right)\dots\right)dx_d
 	\end{align*}
 Die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus \ref{Satz 4.13} folgt
@@ -167,7 +167,7 @@ Die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden. Aus \ref{Satz
 \textbf{Konkretes Beispiel}\\
 Sei  \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d])\).
 	\begin{align*}
-	\int_Df(x)g(y)\,d(x,y)						
+	\int_Df(x)g(y)\,d(x,y)
 	& = \int_c^d\left(\int_a^bf(x)g(y)\,dx\right)dy			\\
 	& = \int_c^d\left(g(y)\left(\int_a^bf(x)\,dx\right)\right)dy		\\
 	&= \left(\int_a^bf(x)\,dx\right) \left(\int_c^dg(y)\,dy\right)
@@ -175,7 +175,7 @@ Sei  \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d
 \item
 	Wir rechtfertigen die "'Kochrezepte"' aus Analysis II, Paragraph 15.
 	Seien \(a,b\in\mdr\) mit \(a<b\) und \(I:=[a,b]\). Weiter seien
-	\(h_1,h_2\in C(I)\) mit \(h_1\leq h_2\) auf \(I\) und 
+	\(h_1,h_2\in C(I)\) mit \(h_1\leq h_2\) auf \(I\) und
 	\[A:=\{(x,y)\in\mdr^2: x\in I, h_1(x)\leq y\leq h_2(x)\}\]
 	Sei \(f\colon A\to\mdr\) stetig. Da \(h_1\) und \(h_2\) stetig
 	sind, ist \(A\) kompakt und somit gilt \(A\in\fb_2\). Aus
@@ -187,15 +187,15 @@ Sei  \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d
 		0	&\text{, falls } (x,y)\notin A
 		\end{cases}
 	\]
-	Nach \ref{Lemma 9.3} ist \(\tilde f\) messbar. Setze 
+	Nach \ref{Lemma 9.3} ist \(\tilde f\) messbar. Setze
 	\[M:=\max\{\lvert f(x,y)\rvert:(x,y)\in A\}\]
 	Dann gilt \(\lvert\tilde f\rvert \leq M\cdot\mathds{1}_A\).
-	Wegen \(\lambda_2(A)<\infty\) ist \(M\cdot\mathds{1}_A\) 
+	Wegen \(\lambda_2(A)<\infty\) ist \(M\cdot\mathds{1}_A\)
 	integrierbar und nach \ref{Satz 4.9} ist \(\lvert\tilde f\rvert\)
 	und damit auch \(\tilde f\) integrierbar. Dann ist
 	\begin{align*}
 		\int_A f(x,y)\,d(x,y) &= \int_{\mdr^2}\tilde f(x,y)\,d(x,y) \\
-		& \overset{\ref{Satz 10.3}}= 
+		& \overset{\ref{Satz 10.3}}=
 		\int_\mdr\left(\int_\mdr\tilde f	(x,y)\,dy\right)dx \\
 		&=\int_a^b\left(\int^{h_2(x)}_{h_1(x)}f(x,y)\,dy\right)dx
 	\end{align*}
@@ -211,7 +211,7 @@ Sei  \(D:=[a,b]\times[c,d]\subseteq\mdr^2\), \(f\in C([a,b])\) und \(g\in C([c,d
 	\(\tilde f\) ist eine Fortsetzung von \(f\) auf \(X\times Y\).
 	\(\tilde f\) ist also messbar. Es ist
 	\begin{align*}
-		\int_D\lvert f\rvert\,d(x,y) 
+		\int_D\lvert f\rvert\,d(x,y)
 		&=\int_Q\mathds{1}_D\cdot\lvert\tilde f\rvert\,d(x,y)	\\
 		&\overset{\ref{Satz 10.1}}=
 		\int_X\left(\int_Y\mathds{1}_D(x,y)\frac1x\lvert\cos(xy)\rvert
@@ -255,12 +255,12 @@ und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\)
 		1			&\text{, falls } x=0
 	\end{cases}\]
 	$g$ ist stetig auf \([0,\infty)\). Aus Analysis 1 ist bekannt, dass
-	\(\int_0^\infty g(x)\,dx\) konvergent, aber \textbf{ nicht } 
-	absolut konvergent ist. Aus \ref{Satz 4.14} folgt, dass 
+	\(\int_0^\infty g(x)\,dx\) konvergent, aber \textbf{ nicht }
+	absolut konvergent ist. Aus \ref{Satz 4.14} folgt, dass
 	\(g\notin\mathfrak{L}^1\left([0,\infty)\right)\)\\
 	\textbf{Behauptung: } \(\int^\infty_0 g(x)\,dx = \frac\pi{2}\)\\
 	\textbf{Beweis: } Setze \(X:=[0,R]\) mit \(R>0\), \(Y:=[0,\infty)\) und
-	\(D:=X\times Y\), sowie 
+	\(D:=X\times Y\), sowie
 	\[f(x,y):= e^{-xy}\sin x \text{ für } (x,y)\in D\]
 	Es ist \(D\in\fb_2\) und $f$ stetig, also messbar. Es ist weiter
 	\(f\in\mathfrak{L}^1(D)\) (warum?) und
@@ -301,8 +301,8 @@ und daraus folgt \(\int_0^\infty e^{-xy}\,dy=\frac1x\)
 		&\leq 2\int^\infty_0 e^{-yR}\,dy		\\
 		&\overset{\text{Vorbemerkung}}=\frac2R
 	\end{align*}
-	Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt 
+	Das heißt also \(\tilde I_R\to 0 \ (R\to\infty)\) und damit folgt
 	die Behauptung durch
-	\[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\]	
+	\[I_R=\frac{\pi}2-\tilde I_R\to\frac{\pi}2 \ (R\to\infty)\]
 \end{enumerate}
 \end{beispiel}

documents/Analysis III/Kapitel-11.tex

@@ -1,10 +1,10 @@
 
 Die Sätze in diesem Kapitel geben wir \textbf{ohne} Beweis an. Es seien
-\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen. 
+\(X,Y\subseteq\mdr^d\) nichtleer und offen.
 
 \begin{definition}
 \index{Diffeomorphismus}
-Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt 
+Sei \(\Phi\colon X\to Y\) eine Abbildung. \(\Phi\) heißt
 \textbf{Diffeomorphismus} genau dann wenn \(\Phi\in C^1(X,\mdr^d)\), \(\Phi\)
 ist bijektiv und \(\Phi^{-1}\in C^{1}(Y,\mdr^d)\).\\
 Es gilt \[x=\Phi^{-1}(\Phi(x))\text{ für jedes } x\in X\]
@@ -35,7 +35,7 @@ Sei \(A\subseteq\mdr^d\) und \(A^\circ:=\{x\in A :\text{ es existiert ein } r=r(
 \end{erinnerung}
 
 \begin{beispiel}
-Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und 
+Sei \(A=\mdr\setminus\mdq\). Es ist \(A^\circ=\emptyset\) und
 \(A\setminus A^\circ=A\). Aus \(\mdr=A\dot\cup\mdq\) folgt
 \[\infty=\lambda_1(\mdr)=\lambda_1(A)+\lambda_1(\mdq)=\lambda_1(A)\]
 Das heißt \(A\setminus A^\circ\) ist keine Nullmenge.
@@ -66,7 +66,7 @@ Ist $f \in \fl^{1}(B)$ so gilt $(\ast\ast)$
 \item	Sei $T\colon \MdR^d \to \MdR^d$ linear und $\det T \neq 0$. Weiter sei $A \in \fb_d$ und $v \in \MdR^d$.
 Dann ist $T(A) \in \fb_d$ und es gilt:
 \[\lambda_d(T(A)+v) = \lvert\det T\rvert \cdot\lambda_d(A)\]
-\item	$\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$. 
+\item	$\Phi\colon X \to Y$ sei ein Diffeomorphismus und $A \in \fb(X)$.
 Dann ist $\Phi(A) \in \fb_d$ und es gilt:
 \[\lambda_d(\Phi(A)) = \int_A |\det \Phi'(X)| \, dx\]
 \item	Sei $F \in C^1(X, \MdR^d)$ und $N \subseteq X$ eine Nullmenge.
@@ -101,9 +101,9 @@ y = r \sin(\varphi)
 \end{cases}\]
 Definiere nun für $(r,\varphi) \in [0,\infty)\times[0,2\pi]$:
 \[\Phi(r,\varphi) := (r \cos(\varphi), r \sin(\varphi))\]
-Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt: 
+Dann ist $\Phi \in C^1(\MdR^2, \MdR^2)$ und es gilt:
 \[\Phi'(r,\varphi) = \begin{pmatrix}
-\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\ 
+\cos(\varphi) & -r \sin(\varphi) \\
 \sin(\varphi) & r \cos(\varphi)
 \end{pmatrix}\]
 d.h. falls $r > 0$ ist gilt:
@@ -119,19 +119,19 @@ Mit \ref{Satz 11.2} folgt dann:
 
 \begin{beispiel}
 \begin{enumerate}
-\item	Sei $0 \le \rho < R$. Definiere 
+\item	Sei $0 \le \rho < R$. Definiere
 \[B := \{(x,y) \in \MdR^2 : \rho^2 \le x^2 + y^2 \le R^2\} \]
-Dann gilt: 
+Dann gilt:
 %% BILD: der Kreisfläche und Trafo
 \begin{align*}
-\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\ 
-&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\ 
+\lambda_2(B) &= \int_B 1 \text{ d}(x,y)\\
+&= \int_A 1 \cdot r \text{ d}(r,\varphi)\\
 &\overset{\text{§\ref{Kapitel 10}}}= \int_{\rho}^{R} \left( \int_0^{2\pi} r \text{ d}\varphi \right) \text{ d}r\\
 &= \left[ 2\pi \frac{1}{2} r^2 \right]_\rho^R\\
 &= \pi (R^2 - \rho^2)
 \end{align*}
-		
-\item	Definiere 
+
+\item	Definiere
 \[B := \{ (x,y) \in \MdR^2 : x^2 + y^2 \le 1, y \ge 0 \}\]
 %% BILD: der (Halb)Kreisfläche und Trafo
 Dann gilt:
@@ -162,7 +162,7 @@ Außerdem gilt:
 &= \int_0^\rho \left( \int_0^\rho e^{-x^2} e^{-y^2} \text{ d}y \right) \text{ d}x \\
 &= \left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2
 \end{align*}
-		
+
 Wegen $ B_\rho \subseteq Q_\rho \subseteq B_{\sqrt{2} \rho} $ und $f \ge 0$ folgt:
 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccc}
@@ -172,7 +172,7 @@ $\implies$ &$h(\rho)$ &$\le$ &$\left( \int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x \right)^2$
 $\implies$ &$\sqrt{h(\rho)}$ &$\le$ &$\int_0^\rho e^{-x^2} \text{ d}x$ &$\le$ &$\sqrt{h(\sqrt{2} \rho)}$\\
 \end{tabular}
 \end{center}
-Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus 
+Mit $\rho \to \infty$ folgt daraus
 \[\int_0^\infty e^{-x^2} \text{ d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]
 und damit die Behauptung.
 \end{enumerate}

documents/Analysis III/Kapitel-13.tex

@@ -1,11 +1,11 @@
-In diesem Kapitel sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei 
-$R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig 
-differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei 
+In diesem Kapitel sei $(x_0,y_0)\in\MdR^2$ (fest), es sei
+$R:[0,2\pi]\to[0,\infty)$ stetig und stückweise stetig
+differenzierbar und $R(0) = R(2\pi)$. Weiter sei
 \begin{displaymath}
 \gamma(t) := (x_0 + R(t)\cos t,y_0 + R(t)\sin t) \text{   } (t\in[0,2\pi])
 \end{displaymath}
-Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei 
-\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\] 
+Dann ist $\gamma$ ein stückweise stetig differenzierbarer, geschlossener und rektifizierbarer Weg in $\MdR^2$. Es sei
+\[B:= \{(x_0+r\cos t,y_0 + r\sin t): t\in [0,2\pi ], 0\le r\le R(t)\}\]
 Dann ist $B$ kompakt, also $B\in\fb_2 $. Weiter ist $\partial B = \gamma([0,2\pi]) = \Gamma_\gamma$.\\
 Sind $B$ und $\gamma$ wie oben, so heißt $B$ \begriff{zulässig}.
 \index{zulässig}
@@ -48,13 +48,13 @@ Mit Polarkoordinaten, Transformations-Satz und Fubini:
 	A = \int_0^{2\pi }(\int_0^{R(t)} u_x(r\cos t,r\sin t)r dr) dt
 \end{displaymath}
 \begin{enumerate}
-	\item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also: 
+	\item $\beta(r,t) := u(r\cos t,r\sin t)$. Nachrechnen: $r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t = u_x(r\cos t,r\sin t)r$. Also:
 		\begin{displaymath}
 			A = \int_0^{2\pi} (\int_0^{R(t)} (r\beta_r(r,t)\cos t - \beta_t(r,t)\sin t) dr)dt
 		\end{displaymath}
 	\item $\int_0^{R(t)} r\beta_r(r,t) dr = r\beta(r,t)\vert_{r=0}^{r=R(t)} - \underbrace{\int_0^{R(t)} \beta(r,t) dr}_{=:\alpha(t)} = R(t)\beta(R(t),t) - \alpha(t) = R(t)u(\gamma(t)) -\alpha(t)$
 	\item $\Psi(s,t) := \int_0^s \beta(r,t)dr$. Mit dem zweiten Hauptsatz aus Analysis 1 folgt: $\Psi_s(s,t) = \beta(s,t)$ \\ 7.3 \folgt $\Psi_t(s,t) = \int_0^s \beta_t(r,t) dr$.\\
-		Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also 
+		Dann: $\alpha(t) = \Psi(R(t),t)$, also
 		\begin{displaymath}
 			\alpha'(t) = \Psi_s(R(t),t)\cdot R'(t) + \Psi_t(R(t),t)\cdot 1 = R'(t)\underbrace{\beta(R(t),t)}_{=u(\gamma(t))} + \int_0^{R(t)} \beta_t(r,t) dr
 		\end{displaymath}

documents/Analysis III/Kapitel-14.tex

@@ -4,7 +4,7 @@
 \index{Parameterbereich}
 \index{Normalenvektor}
 \index{Flächeninhalt}
-	Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist 
+	Es sei $\emptyset \ne B\subseteq \MdR^2$ kompakt, $D\subseteq\MdR^2$ offen und $B\subseteq D$. Weiter sei $\varphi = (\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3) \in C^1(D,\MdR^3)$ und $\varphi = \varphi(u,v)$. Dann heißt $\varphi_{|B}$ eine \textbf{Fläche} (im $\MdR^3$), $S:= \varphi(B)$ heißt \textbf{Flächenstück} und $B$ heißt \textbf{Parameterbereich} der Fläche. Es ist
 	\begin{displaymath}
 		\varphi' = \begin{pmatrix}\frac{\partial \varphi_1}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_1}{\partial v}\\
 			\frac{\partial \varphi_2}{\partial u} & \frac{\partial\varphi_2}{\partial v}\\
@@ -16,10 +16,10 @@
 	\gamma(t) &:= \varphi(t,v_0) &\gamma'(t) &= \varphi_u(t,v_0) &\gamma'(u_0) &= \varphi_u(u_0,v_0)\\
 	\tilde{\gamma}(t)&:= \varphi(u_0,t) &\tilde{\gamma}'(t) &= \varphi_v(u_0,v) &\tilde{\gamma}'(v_0) &= \varphi_v(u_0,v_0)
 	\end{align*}
-	Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$: 
+	Definere damit den \textbf{Normalenvektor} in $\varphi(u_0,v_0)$:
 	\[N(u_0,v_0) := \varphi_u(u_0,v_0)\times\varphi_v(u_0,v_0)\]
 	Seien $\Delta u,\Delta v >0$ (aber "`klein"'). $a:= \Delta u\varphi_u(u_0,v_0)$, $b:= \Delta v\varphi_v(u_0,v_0)$.
-	\[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\] 
+	\[P:= \{\lambda a+\mu b: \ \lambda,\mu\in [0,1]\}\]
 	Aus der Linearen Algebra folgt, der "`Inhalt"' von $P$ ist $\|a \times b\| = \Delta u\Delta v \|N(u_0,v_0)\|$.
 	\begin{displaymath}
 		I(\varphi) = \int_B \|N(u,v)\| d(u,v)
@@ -31,12 +31,12 @@
 	$B:=[0,2\pi]\times[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, $D=\MdR^2$\\
 	$\varphi(u,v) := (\cos u\cos v,\sin u\cos v,\sin v)$. Dann: $\varphi(B) = \{(x,y,z)\in\MdR^3:\ x^2+y^2+z^2 = 1\}$.\\
 	Nachrechnen: $N(u,v) = \cos v\varphi(u,v)$. Dann: $\|N(u,v)\| = |\cos v|\underbrace{\|\varphi(u,v)\|}_{=1} = \cos v\ \ \ \ ((u,v)\in B)$. \\
-	Damit gilt: 
+	Damit gilt:
 	\[I(\varphi) = \int_B \cos v d(u,v) = \int_0^{2\pi} (\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos v d(v)) d(u) = 4\pi\]
 \end{beispiel}
 
 \section{Explizite Parameterdarstellung}
-Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze 
+Seien \(B\) und \(D\) wie in obiger Definition und \(f\in C^{1}(D,\,\mdr)\). Setze
 \[\varphi(u,v):=(u,v,f(u,v))\quad((u,v)\in D)\]
 Damit ist \(\varphi_{|B}\) eine Fläche (in expliziter Darstellung).
 % hier Graphik einfuegen
@@ -45,7 +45,7 @@ Dann ist \(S=\varphi(B)\) gleich dem Graph von \(f_{|B}\).
 \[
 \varphi_{u}=(1,0,f_{u}),\quad \varphi_{v}=(0,1,f_{v}),\quad N(u,v)=(-f_{u},-f_{v},1)\quad\text{(Nachrechnen!)}
 \]
-Damit gilt: 
+Damit gilt:
 \[I(\varphi)=\int_{B}{(f_{u}^{2}+f_{v}^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}(u,v)}\]
 
 \begin{beispiel}

documents/Analysis III/Kapitel-15.tex

@@ -1,13 +1,13 @@
-In diesem Kapitel sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\) 
+In diesem Kapitel sei \(\emptyset\neq B\subseteq\mdr^{2}\), \(B\)
 kompakt, \(D\subseteq\mdr^{2}\) offen, \(B\subseteq D\)
-und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das heißt: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit 
+und \(\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\in C^{1}(D,\mdr^{3})\). Das heißt: \(\varphi_{|B}\) ist eine Fläche mit
 Parameterbereich \(B\), \(S:=\varphi(B)\)
 
 \begin{definition}
 \index{Oberflächenintegral}
 Definiere die folgenden \textbf{Oberflächenintegrale}:
 \begin{enumerate}
-\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann: 
+\item Sei \(f:\,S\to\mdr\) stetig. Dann:
 \[
 \int_{\varphi}{f\mathrm{d}\sigma}:=\int_{B}{f(\varphi(u,v))\lVert N(u,v)\rVert\mathrm{d}(u,v)}
 \]
@@ -28,7 +28,7 @@ F(\varphi(u,v))\cdot N(u,v)&=F(u,v,u^{2}+v^{2})\cdot(-2u,-2v,1)\\
 &=-(u^{2}+v^{2})
 \end{align*}
 
-Also: 
+Also:
 \[
 \int_{\varphi}{F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=-\int_{B}{(u^{2}+v^{2})\mathrm{d}(u,v)}=-\frac{\pi}{2}
 \]
@@ -47,7 +47,7 @@ Es sei \(B\) zulässig, \(\partial B=\Gamma_{\gamma}\), wobei \(\gamma=(\gamma_{
 \begin{beispiel}
 \(D,\,B,\,f,\,F\) und \(\varphi\) seien wie in obigem Beispiel.
 % Bild einfuegen
-Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\). 
+Hier: \(\gamma(t)=(\cos t,\sin t)\quad(t\in [0,2\pi])\).
 Dann: \((\varphi\circ\gamma)(t)=\varphi(\cos t, \sin t)=(\cos t, \sin t, 1)\quad(t\in [0,2\pi])\).
 
 Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\)
@@ -61,7 +61,7 @@ Es ist \(\rot F=0\), also: \(\int_{\varphi}{\rot F\cdot n\mathrm{d}\sigma}=0\)
 \end{beispiel}
 
 \begin{beweis}
-Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also 
+Sei \(\varphi:=\varphi\circ\gamma,\,\varphi=(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})\), also
     \(\varphi_{j}=\varphi_{j}\circ\gamma\quad(j=1,2,3)\).
 
 Zu zeigen:

documents/Analysis III/Kapitel-16.tex

@@ -48,7 +48,7 @@ Für \(f\in\fl^{\infty}(X)\): \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\esssup_{x\in X}\lVert
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\). 
+Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene, nichtleere Teilmenge positives Maß. Dann ist \(f\) auf \(X\) beschränkt und \(\sup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert=\esssup_{x\in X}\lvert f(x)\rvert\).
 \end{bemerkung}
 \begin{beweis}
 Übung (ist \(N\subseteq X\) eine Nullmenge, so ist \(N^{\circ}=\emptyset\) und \(\overline{X\setminus N}=X\))
@@ -57,10 +57,10 @@ Es sei \(f\in\fl^{\infty}(X)\) und stetig. Außerdem habe jede in \(X\) offene,
 \begin{beispiel}
 Sei \(d=1,\,X=[1,\infty),\,p>1\,(p<\infty),\,\alpha,\beta>0,\,f(x)=\frac{1}{x^{\alpha}},\,g(x)=\frac{1}{x^{\beta}}\)
 \begin{enumerate}
-\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\]	
+\item \[f\in\fl^{p}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha p}}}\mathrm{d}x\]
 konvergiert genau dann, wenn \(\alpha p>1\Leftrightarrow \alpha>\frac{1}{p}\)
 \item
-\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\]	
+\[fg\in\fl^{1}(X)\overset{\text{\ref{Satz 4.14}}}{\iff}\int_{1}^{\infty}{\frac{1}{x^{\alpha+\beta}}\mathrm{d}x}\]
 konvergiert genau dann, wenn $\alpha+\beta >1$
 \end{enumerate}
 \end{beispiel}
@@ -92,7 +92,7 @@ Ist \(p=2\,(\implies p'=2)\), so heißt obige Ungleichung auch \textbf{Cauchy-Sc
 \begin{itemize}
 \item[Fall 1:]  \(p=1\) (also \(p'=\infty\)) oder \(p=\infty\) (also \(p'=1\)). Etwa \(p=1,\,p'=\infty\).
 
-Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\). 
+Sei \(c>0\) und \(N_{c}\subseteq X\) Nullmenge mit: \(\lvert g(x)\rvert\leq c\,\forall x\in X\setminus N_{c}\).
 \(\tilde{g}:=\mathds{1}_{X\setminus N_{c}}\cdot g\)
 
 Dann: \(g=\tilde{g}\) fast überall und \(\lvert\tilde{g}\rvert\leq c\) auf \(X\). Weiter: \(fg=f\tilde{g}\) fast überall,
@@ -102,7 +102,7 @@ Dann:
 \[
 \int_{X}{\lvert fg\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\tilde{g}\rvert\mathrm{d}x}=\int_{X}{\lvert f\rvert\underbrace{\lvert\tilde{g}\rvert}_{\leq c}\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}=c\cdot\lVert f\rVert_{1}<\infty
 \]
-Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\) 
+Also: \(fg\in\fl^{1}(X)\) und \(\lVert fg\rVert_{1}\leq c\lVert f\rVert_{1}\). Übergang zum Infimum über alle \(c>0\)
 liefert: \(\lVert fg\rVert_{1}\leq\lVert g\rVert_{\infty}\cdot\lVert f\rVert_{1}\)
 \item[Fall 2:] Sei \(1<p<\infty\). Ist \(\lVert f\rVert_{p}=0\) oder \(\lVert g\rVert_{p'}=0\), so ist \(f=0\) fast überall
 oder \(g=0\) fast überall. Daraus folgt: \(\lvert fg\rvert=0\) fast überall.
@@ -146,7 +146,7 @@ Nullmengen und \(\lvert f(x)\rvert\leq c_{1}\forall x\in X\setminus N_{1},\,\lve
 \item[Fall 3:] Sei \(1<p<\infty\) und \(f,\,g\in\fl^{p}(X)\). Es ist \(\lvert f+g\rvert^{p}\leq(\lvert f\rvert+\lvert g\rvert)^{p}\leq\left(2\max\{\lvert f\rvert,\,\lvert g\rvert\}\right)^{p}\leq 2^{p}\left(\lvert f\rvert^{p}+\lvert g\rvert^{p}\right)\)
 auf \(X\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt: \(\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\implies f+g\in\fl^{p}(X)\)\\
 
-\(p'=\frac{p}{p-1};\,h:=\lvert f+g\rvert^{p-1}\), dann: \(h^{p'}=\left(\lvert f+g\rvert^{p-1}\right)^{\frac{p}{p-1}}=\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\). Dann ist \(h\in\fl^{p'}(X)\). Also: \(h\in\fl^{p'}(X),\,f\in\fl^{p}(X)\) 
+\(p'=\frac{p}{p-1};\,h:=\lvert f+g\rvert^{p-1}\), dann: \(h^{p'}=\left(\lvert f+g\rvert^{p-1}\right)^{\frac{p}{p-1}}=\lvert f+g\rvert^{p}\in\fl^{1}(X)\). Dann ist \(h\in\fl^{p'}(X)\). Also: \(h\in\fl^{p'}(X),\,f\in\fl^{p}(X)\)
 (und \(\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1\)).
 
 Mit der Hölderschen Ungleichung folgt:
@@ -201,7 +201,7 @@ Also gilt:
 
 \begin {beispiel}
 \begin{enumerate}
-\item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p<q<\infty$ (also $\frac 1q<\frac1p$) und $f(x):=\frac 1{x^\alpha}$ $(\alpha>0)$. Dann gilt nach 
+\item Sei $X:=(0,1]$, $1\le p<q<\infty$ (also $\frac 1q<\frac1p$) und $f(x):=\frac 1{x^\alpha}$ $(\alpha>0)$. Dann gilt nach
 \ref{Satz 4.14} und Analysis I:
 \begin{align*}
 f\in\fl^p(X)&\iff\int_0^1\frac1{x^{\alpha p}}\text{ d}x \text{ konvergiert}\\
@@ -229,13 +229,13 @@ Dann ist $f\in\fl^p(X)$ und es gilt
 Aus (i) und (ii) folgt: $|f|^p \leq g$ f.ü.
 Im Kapitel 5 haben wir gesehen, dass dann gilt:
 \[ \int_X |f|^p \text{ d}x \leq \int_X g \text{ d}x < \infty \]
-(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar). 
+(denn $g$ ist nach Voraussetzung integrierbar).
 Daraus folgt: $f \in \fl^p(X)$.
 
 Setze $g_n := |f_n - f|^p$. Aus (i): $g_n \to 0$ f.ü. Es sind $f_n, f \in \fl^p(X)$ (ersteres nach Voraussetzung, zweiteres haben wir gerade gezeigt), und weil $\fl^p(X)$ ein reeller Vektorraum ist (\ref{Satz 16.1}(2)), folgt:
 \[ f_n - f \in \fl^p(X) \]
 Also $g_n \in \fl^1(X)$.
-Es ist 
+Es ist
 \[ 0 \leq g_n \leq \left( |f_n| + |f| \right)^p \leq \left( g^{\frac{1}{p}} + g^{\frac{1}{p}} \right)^p = \left( 2g^{\frac{1}{p}} \right)^p = 2^p g \quad\text{f.ü.} \]
 Mit \ref{Satz 6.2} folgt schließlich:
 \[ \underbrace{\int_X g_n \text{ d}x}_{=\|f_n - f\|_p^p} \to 0. \]
@@ -256,19 +256,19 @@ und die Addition
 zu einem Vektorraum über $\mdr$ wird.
 \end{definition}
 
-Setze für $\hat f \in L^1(X)$: 
+Setze für $\hat f \in L^1(X)$:
 \[\int_X \hat f(x) \text{ d}x := \int_X f(x) \text{ d}x\]
 dabei ist diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^1(X)$ von $\hat f$, denn: ist auch noch $g \in \fl^1(X)$ und $\hat g = \hat f$, so ist $f - g \in \cn$, also $f-g = 0$ f.ü. und damit: $\int_X f \text{ d}x = \int_X g \text{ d}x$.
 
-Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere 
+Für $\hat f \in L^p(X)$ definiere
 \[\| \hat f \|_p := \| f \|_p\]
 wobei diese Definition unabhängig ist von der Wahl des Repräsentanten $f \in \fl^p(X)$ von $\hat f$.
 
-Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze 
+Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ setze
 \[( \hat f | \hat g ) := \int_X f(x)g(x) \text{ d}x\]
 (auch diese Definition ist Repräsentanten-unabhängig) (Beachte: $f\cdot g \in \fl^1(X)$ )
 
-\textbf{Dann gilt:} 
+\textbf{Dann gilt:}
 \index{Ungleichung!Cauchy-Schwarz}
 \begin{enumerate} \item $L^p(X)$ ist unter $\| \cdot \|_p$ ein normierter Raum (NR).
 \item Für $\hat f, \hat g \in L^2(X)$ gilt:
@@ -296,7 +296,7 @@ so heißt $B$ ein \textbf{Prähilbertraum}. Ist $B$ ein Banachraum mit $(*)$, so
 Seien \(f,f_n\in\fl^p(X)\)
 \begin{enumerate}
 \item 	\(\| f_n-f\|_p = \| \hat{f_n}-\hat f\|_p\to 0\) genau
-		dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\) 
+		dann, wenn \((\hat{f_n})\) eine konvergente Folge im normierten Raum \(L^p(X)\)
  		mit dem Grenzwert \(\hat f\) ist.
 \item 	\((\hat f_n)\) ist eine \textbf{Cauchyfolge} (CF) in \(L^p(X)\) genau dann, wenn für jedes $\ep>0$ ein $n_0\in\mdn$ exitiert mit:
 		\begin{align*}
@@ -331,26 +331,26 @@ Sei \(X=[0,1]\) und \((I_n)\) sei die folgende Folge von Intervallen:
 \[I_1=\left[0,1\right], I_2=\left[0,\frac12\right], I_3=\left[\frac12,1\right], I_4=\left[0,\frac14\right],
 I_5=\left[\frac14,\frac12\right], I_6=\left[\frac12, \frac34\right], I_7=\left[\frac34,1\right], \dots\]
 Es sei \(f_n:=\mathds{1}_{I_n}\), sodass \(\int_X f_n\,dx=\int_{I_n}1\,dx=\lambda_1(I_n)\to 0\).
-Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\). 
-Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge 
+Also \(\hat f_n\in L^1(X)\) und \(\| \hat f_n-\hat 0\|_1\to 0\).
+Ist \(x\in X\), so gilt: \(x\in I_n\) für unendlich viele \natn. Daraus folgt, dass eine Teilfolge
 \(I_{n_j}\) mit \(x\in I_{n_j}\) für jedes \(j\in\mdn\) existiert. Somit ist \(f_{n_j}(x)=1\) für jedes \(j\in\mdn\)
 und deshalb gilt fast überall \(f_n\nrightarrow 0\).
 \end{beispiel}
 
 \begin{beweis}[von \ref{Satz 16.4}]
-Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\). 
-Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\) 
-für alle \(l\geq n_1\). 
-Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und 
+Setze \(\ep_j:=\frac1{2^j}\ (j\in\mdn)\).
+Zu \(\ep_1\) existiert ein \(n_1\in\mdn\) mit \(\| f_l-f_{n_1}\|_p<\ep_1\)
+für alle \(l\geq n_1\).
+Zu \(\ep_2\) existiert ein \(n_2\in\mdn\) mit \(n_2>n_2\) und
 \(\| f_l-f_{n_2}\|_p<\ep_2\) für alle \(l\geq n_2\).
 Etc.\\
-Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit 
+Wir erhalten eine Teilfolge \((f_{n_j})\) mit
 \[(+)\ \ \ \| f_l-f_{n_j}\|_p<\ep_j \text{ für alle } l\geq n_j \text{ mit } j\in\mdn\]
 Setze \(g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}\ (j\in\mdn)\). Klar: \(g_l\in\fl^p(X)\).
 Für \(N\in\mdn\): \[S_N:=\int_X\left(\sum^N_{j=1}\lvert g_j(x)\rvert^p\right)^{\frac1p}\]
 Dann:
 \begin{align*}
-	S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p 
+	S_N=\left\lvert\left\lvert\sum^N_{j=1}\lvert g_j\rvert\right\rvert\right\rvert_p
 	\leq \sum^N_{j=1}\| g_j\|_p
 	\overset{\text{(+)}}\leq \sum^N_{j=1}\ep_j
 	=\sum^N_{j=1}\frac1{2^j}
@@ -368,10 +368,10 @@ Somit ist \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 5.2} folgt, dass eine Nullmeng
 existiert mit \(0\leq g^p(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\). Es ist dann auch
 \(0\leq g(x)<\infty\) für alle \(x\in X\setminus N_1\) und somit folgt nach Konstruktion von $g$, dass
 \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) konvergiert absolut in jedem \(x\in X\setminus N_1\).
-Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem 
+Aus Analysis I folgt, dass damit \(\sum^\infty_{j=1}g_j\,dx\) in jedem
 \(x\in X\setminus N_1\) konvergiert.
 
-Für \(m\in\mdn\): 
+Für \(m\in\mdn\):
 \[\sum^{m-1}_{j=1}g_j=f_{n_m}-f_{n_1} \implies f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1} \]
 Deshalb ist \((f_{n_m})\) konvergent (in \mdr) für alle \(x\in X\setminus N_1\).
 \begin{align*}
@@ -381,18 +381,18 @@ f(x):=
 	0 						&, x\in N_1
 	\end{cases}
 \end{align*}
-Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und 
+Aus \S 3 ist bekannt, dass $f$ messbar ist. Klar: \(f_{n_m}\to f\) fast überall und
 \(f(X)\subseteq\mdr\).
-Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit 
+Es ist \(f_{n_m}=\sum^{m-1}_{j=1}g_j + f_{n_1}\) und somit
 \[\lvert f_{n_m}\rvert = \lvert f_{n_1}\rvert + \sum^{m-1}_{j=1}g_j \leq \lvert f_{n_1}\rvert +
 \lvert g\rvert\]
 Wie im Beweis von Satz \ref{Satz 16.1} folgern wir
 \[\lvert f_{n_m}\rvert^p\leq 2^p\left(\lvert f_{n_1}\rvert^p+g^p\right)=:\tilde g \]
  \(f_{n_1}\in\fl^p(X)\), \(g^p\) ist integrierbar. Aus \ref{Satz 16.3} folgt, dass \(f\in\fl^p(X)\)
 und \[\| f_{n_m}-f\|_p\to 0 \ (m\to\infty)\]
-Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und 
+Sei nun \(\ep>0\). Wähle \(m\in M\) so, dass \(\frac1{2^m}<\frac\ep2\) und
 \(\| f-f_{n_m}\|_p<\frac\ep2\).
-Für \(l\geq n_m\) gilt: 
+Für \(l\geq n_m\) gilt:
 \[\| f_l-f\|_p= \| f_l-f_{n_m}+f_{n_m}-f\|_p
 \leq \| f_l-f_{n_m}\|_p + \| f_{n_m}-f\|_p
 \overset{\text{(+)}}< \frac1{2^m}+\frac\ep2 <\ep\]
@@ -416,7 +416,7 @@ Dann ist fast überall \(f=g\).
 \item[\textbf{1.}]
 	Aus Bemerkung (3) vor \ref{Satz 16.4} folgt, dass \((\hat f_n)\) ist eine Cachyfolge in
 	\(L^p(X)\). Wegen \ref{Satz 16.4} existiert dann ein \(\varphi\in\fl^p(X)\) und eine Teilfolge
-	\((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und 
+	\((f_{n_j})\) mit: \(f_{n_j}\to\varphi\) fast überall und
 	\(\| f_n-\varphi\|_p\to0\)
 	\begin{align*}
 		\| f-\varphi\|_p
@@ -434,14 +434,14 @@ Dann ist fast überall \(f=g\).
 	\[g_{j_k}(x)\to g(x) \text{ für alle } x\in X\setminus N_2\]
 \end{enumerate}
 Wir wissen, dass \(N:=N_1\cup N_2\) eine Nullmenge ist. Sei nun \(x\in X\setminus N\). Dann
-folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus 
+folgt aus dem ersten Schritt \(f_{n_j}(x)\to f(x)\) und daraus
 \[ \underbrace{f_{n_{j_k}}(x)}_{=g_{n_{j_k}}(x)}\to f(x) \]
 Aus dem Zweiten Schritt folgt dann, dass \(f_{n_{j_k}}(x)\to g(x)\) und somit \(f(x)=g(x)\).
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkung}
 Seien \(f_n,f\in\fl^p(X)\) und es gelte \(\| f_n-f\|_p\to 0\ \ (n\to\infty)\). Der
-Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit 
+Beweis von \ref{Satz 16.5} zeigt, dass eine Teilfolge \((f_{n_j})\) von \((f_n)\) existiert mit
 \(f_{n_j}\to f\) fast überall.
 \end{bemerkung}
 
@@ -457,7 +457,7 @@ Sei \((f_n)\) wie im Beispiel vor \ref{Satz 16.4}. Also \(\| f_n-0\|_p\to 0\), a
 
 \begin{beispiel}
 %Bild einfügen
-Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar. 
+Sei \(X=[0,1]\) und \(f_n\) sei wie im Bild. \(f_n\) ist stetig, also messbar.
 \[\int_X f_n\,dx=1 \text{ für alle } \natn\]
 Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\).
 \[f_n(x)\to
@@ -465,7 +465,7 @@ Somit ist \(f_n\in\fl^1(X)\).
 0, x\in(0,1]\\
 1, x=0
 \end{cases}\]
-Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber 
+Damit gilt fast überall \(f_n\to0\), aber
 \(\| f_n-0\|_1=1\nrightarrow0 \ \ (n\to\infty)\)
 \end{beispiel}
 
@@ -481,9 +481,9 @@ Seien \((E,\|\cdot\|_1), (F,\|\cdot\|_2)\) normierte Räume.
 		\[\sum^\infty_{n=1}x_n:=\lim_{n\to\infty}s_n\]
 \item 	\(\Phi\colon E\to F\) sei eine Abbildung. \(\Phi\) heißt \textbf{stetig} in \(x_0\in E\)
 		genau dann, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)\) in $E$ mit \(x_n\to x_0\)
-		gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\] 
+		gilt: \[\Phi(x_n)\to\Phi(x_0)\]
 		\(\Phi\) heißt auf $E$ stetig genau dann, wenn \(\Phi\) ist in jedem \(x\in E\) stetig.
-\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze 
+\item Für $(x,y)\in E\times E$ setze
 \[\|(x,y)\|:=\sqrt{\|x\|_1^2+\|y\|_1^2}\]
 Dann ist $\|\cdot\|$ eine Norm auf $E\times E$ (nachrechnen!). Weiter gilt, dass $E\times E$ genau dann ein Banachraum ist, wenn $E$ einer ist. Für eine Folge $((x_n,y_n))$ in $E\times E$ und $(x,y)\in E\times E$ gilt
 \[(x_n,y_n)\stackrel{\|\cdot\|}\to (x,y) \iff x_n\stackrel{\|\cdot\|}\to x \wedge y_n\stackrel{\|\cdot\|}\to y\]
@@ -506,7 +506,7 @@ Für den Rest dieser Vorlesung schreiben wir (meist) $f$ statt $\hat f$ und iden
 \item Die Abbildung $\Phi:L^p(X)\to\mdr$, definiert durch
 \[\Phi(f):=\|f\|_p\]
 ist stetig auf $L^p(X)$. D.h. für $f_n,f\in L^p(X)$ mit $f_n\stackrel{\|\cdot\|_p}\to f$ gilt $\|f_n\|_p\to\|f\|_p$, also
-\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\] 
+\[\int_X|f_n|^p\text{ d}x\to\int_X|f|^p\text{ d}x\]
 \begin{beweis}
 Aus Analysis II §17 folgt:
 \[| \|f_n\|_p-\|f\|_p |\le \|f_n-f\|_p\stackrel{n\to\infty}\to 0\]
@@ -553,13 +553,13 @@ Es genügt den Fall $f\ge 0$ zu betrachten (also $f=f_+$, $f_-\equiv 0$). Sei al
 \begin{align*}
 0\le\varphi_n&\le (|f_n|+|f|)^p\\
 &=|f_n+f|^p\le (2f)^p\\
-&=2^pf^p=:g 
+&=2^pf^p=:g
 \end{align*}
 Dann ist $g\in L^1(X)$ integrierbar.\\
 Aus \ref{Satz 4.9} folgt:
 \begin{align*}
 \varphi\in L^1(X)&\implies f_n-f\in L^p(X)\\
-&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X) 
+&\implies f_n=(f_n-f)+f\in L^p(X)
 \end{align*}
 Aus \ref{Satz 6.2} folgt:
 \[\int_X\varphi_n\text{ d}x\to 0 \implies \|f_n-f\|_p^p\to 0\]

documents/Analysis III/Kapitel-17.tex

@@ -12,7 +12,7 @@ Aus 3.2 folgt: $f$ ist messbar genau dann, wenn $u$ und $v$ messbar sind.
 \begin{definition}
 \index{integrierbar}\index{Integral}
 Sei $f$ messbar. $f$ heißt \textbf{integrierbar} (ib.) genau dann, wenn $u$ und $v$ integrierbar sind.
-In diesem Fall setze 
+In diesem Fall setze
 \[ \int_X f \text{ d}x := \int_X u \text{ d}x + i\int_X v \text{ d}x \quad ( \in \MdC) \]
 \end{definition}
 
@@ -23,22 +23,22 @@ Hieraus und aus 4.9 folgt: $f$ ist integrierbar genau dann, wenn $|f|$ integrier
 \[ \fl^p(X, \MdC) := \{ f : X \to \MdC | f  \text{ ist messbar und } \int_X |f|^p \text{ d}x < \infty  \} \]
 (Achtung: mit den Betragsstrichen in ob. Integral ist der komplexe Betrag gemeint!)
 \[ \cn := \{ f: X \to \MdC | f \text{ ist messbar und } f = 0 \text{ f.ü.} \} \]
-$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$. 
+$\fl^p(X,\MdC )$ ist ein komplexer Vektorraum (siehe 17.1) und $\cn$ ist ein Untervektorraum von $\fl^p(X,\MdC )$.
 \[ L^p(X,\MdC ) := \fl^p(X,\MdC)\diagup\cn \]
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
 \index{orthogonal}
-Für $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze 
+Für $f,g \in L^2(X,\MdC )$ setze
 \[(f | g) := \int_X f(x) \overline{g(x)} \text{ d}x\]
-sowie 
+sowie
 \[f \bot g :\Longleftrightarrow (f | g) = 0 \quad \text{ ($f$ und $g$ sind \textbf{orthogonal}).} \]
 ( $\overline{z}$ bezeichne hierbei die komplex Konjugierte von $z$, vgl. Lineare Algebra).
 \end{definition}
 
 \textbf{Klar:} \begin{enumerate}
 \item $L^p(X,\MdC )$ ist mit $\| f \|_p := (\int_X |f|^p \text{ d}x )^{\frac{1}{p}}$ ein komplexer normierter Raum (NR).
-\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist 
+\item $(f | g)$ definiert ein Skalarprodukt auf $L^2(X,\MdC)$. Es ist
 \[(f | g) = \overline{(g | f)}, \]
 \[ (f | f) = \int_X f(x) \overline{f(x)} \text{ d}x = \int_X |f(x)|^2 \text{ d}x = \| f \|_2^2 \text{, also:} \]
 \[ \| f\|_2 = \sqrt{(f|f)} \quad (f,g \in L^2(X,\MdC )) \]
@@ -56,16 +56,16 @@ sowie
 \begin{enumerate}
 	\item 	Seien \(f,g\colon X\to\mdc\) integrierbar und \(\alpha,\beta\in\mdc\). Dann gelten:
 	\begin{enumerate}
-		\item[(i)] 	\(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und 
+		\item[(i)] 	\(\alpha f+\beta g\) ist integrierbar und
 				\[\int_X(\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int_Xf\,dx+\beta\int_Xg\,dx\]
 		\item[(ii)]	\(\text{Re}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Re}(f)\,dx\ \) und
 				\(\ \text{Im}\left(\int_Xf\,dx\right) = \int_X\text{Im}(f)\,dx\)
-		\item[(iii)]	\(\overline f\) ist integrierbar und 
+		\item[(iii)]	\(\overline f\) ist integrierbar und
 				\[\int_X\overline f\,dx=\overline{\int_Xf\,dx}\]
 	\end{enumerate}
-	\item 	Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in 
+	\item 	Die Sätze \ref{Satz 16.1} bis \ref{Satz 16.3} und das Beispiel \ref{Beispiel 16.6} gelten in
 			\(L^p(X,\mdc)\).
-	\item 	\(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer 
+	\item 	\(L^p(X,\mdc)\) ist ein komplexer Banachraum, \(L^2(X,\mdc)\) ist ein komplexer
 			Hilbertraum.
 \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -79,12 +79,12 @@ Sei \(X=[0,2\pi]\). Für \(k\in\MdZ\) und \(t\in\mdr\) setzen wir
 Dann gilt: \(b_k,e_k\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) und \[\int_0^{2\pi}e_0(t)\,dt=2\pi\]
 Für \(k\in\MdZ\) und \(k\neq0\) ist
 \begin{align*}
-	\int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi} 
+	\int_0^{2\pi}e_k(t)\,dt=\left.\frac1{ik}e^{ikt}\right\rvert_0^{2\pi}
 	= \frac1{ik}\left(e^{2\pi ki}-1\right)=0
 \intertext{Damit ist}
 	(b_k\mid b_l) = \int^{2\pi}_0 b_k\overline{b_l}\,dt = \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{ikt}e^{-ilt}\,dt
 	= \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{i(k-l)t}\,dt =
-	\begin{cases} 
+	\begin{cases}
 		1 ,\text{falls } k=l\\
 		0 ,\text{falls }k\neq l
 	\end{cases}
@@ -95,19 +95,19 @@ Zur Übung: \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) ist linear unabhängig in \(L^2([0,2\pi],\m
 \end{wichtigesbeispiel}
 
 \begin{definition}
-Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in 
+Sei \((\alpha_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in \(\mdc\) und \((f_k)_{k\in\MdZ}\) eine Folge in
 \(L^2(X,\mdc)\).
 \begin{enumerate}
-	\item 	Für \(n\in\mdn_0\) setze 
+	\item 	Für \(n\in\mdn_0\) setze
 			\[s_n:=\sum^n_{k=-n}\alpha_k = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\alpha_k
 			=\alpha_{-n}+\alpha_{-(n-1)}+\dots+\alpha_0+\alpha_1+\dots+\alpha_n\]
 			Existiert \(\lim_{n\to\infty}s_n\) in \(\mdc\), so schreiben wir
 			\(\sum_{k\in\MdZ}\alpha_k:=\lim_{n\to\infty}s_n\)
-	\item 	Für \(n\in\mdn_0\) setze 
+	\item 	Für \(n\in\mdn_0\) setze
 			\[\sigma_n:=\sum^n_{k=-n}f_k=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}f_k\]
-			Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\): 
+			Gilt für ein \(f\in L^2(X,\mdc)\):
 			\(\| f-\sigma_n\|_2\overset{n\to\infty}\longrightarrow 0\), so schreiben
-			wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \ 
+			wir \[f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}f_k \ \ \
 			\left(=\lim_{n\to\infty}\sigma_n \text{ im Sinne der } L^2\text{-Norm}\right)\]
 \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -119,19 +119,19 @@ Sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}. \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\
 \(f\in L^2([0,2\pi],\mdc)\) eine Folge \[(c_k)_{k\in\MdZ}=(c_k(f))_{k\in\MdZ}\] gibt, mit
 \[(\ast)\ \ \ \ \ \ \ \ \ f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \]
 \textbf{Frage:} Ist \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) eine ONB von \(L^2([0,2\pi],\mdc)\)?\\
-\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit 
+\textbf{Antwort:} Ja! In \ref{Satz 18.5} werden wir sehen, dass \((\ast)\) gilt mit
 \(c_k=(f\mid b_k)\).
 \end{definition}
 
 \chapter{Fourierreihen}
 \label{Kapitel 18}
 
-In diesem Kapitel sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und 
+In diesem Kapitel sei stets \(X=[0,2\pi]\), \(L^2:=L^2([0,2\pi],\mdc)\) und
 \(L^2_\mdr:=L^2([0,2\pi],\mdr)\).  Weiter sei \(\{b_k\mid k\in\MdZ\}\) wie in \ref{Beispiel 17.2}.
 
 \begin{satz}
 \label{Satz 18.1}
-Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\): 
+Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\):
 \(f\overset{\|\cdot\|_2}=\sum_{k\in\MdZ}c_kb_k \), so gilt:
 \[c_k=(f\mid b_k) \text{ für alle } k\in\MdZ\]
 \end{satz}
@@ -139,7 +139,7 @@ Ist \(f\in L^2\) und gilt mit einer Folge \((c_k)_{k\in\MdZ}\) in \(\mdc\):
 \begin{beweis}
 Für \(n\in\mdn_0\) setze \[\sigma_n:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_kb_k\] Aus der Voraussetzung folgt
 \(\| \sigma_n-f\|_2\to 0\) für \(n\to\infty\). Sei \(j\in\MdZ\) und \(n\in\mdn\) mit
-\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits 
+\(n\geq \lvert j\rvert\). Es gilt einerseits
 \[(\sigma_n\mid b_j) = \sum_{\lvert k\rvert\leq n}c_k(b_k\mid b_j)=c_j, \text{ da gilt: }
 (b_k\mid b_j)=
 \begin{cases}
@@ -163,11 +163,11 @@ Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\).
 	\to0\]
 \item	\((f\mid b_k)\) heißt \textbf{k-ter Fourierkoeffizient von f}.
 \item	\(\sum_{k\in\MdZ}(f\mid b_k)b_k\) heißt \textbf{Fourierreihe von f}.
-\item	Für \(n_0\in\mdn_0\) setze 
-	\(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\dots,b_0,b_1,\dots,b_n]\) 
+\item	Für \(n_0\in\mdn_0\) setze
+	\(E_n:=[b_{-n},b_{-(n-1)},\dots,b_0,b_1,\dots,b_n]\)
 	(lineare Hülle). Es ist dann \[\dim E_n=2n+1\]
 	\textbf{Beachte: } Für \(v\in E_n\) gilt \(v(0)=v(2\pi)\).
-\end{enumerate} 
+\end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
@@ -177,7 +177,7 @@ Sei \(f\in L^2\), \(n\in\mdn_0\) und \(k\in\MdZ\).
 Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
 \begin{enumerate}
 \item	Gilt \(f_\mu\perp f_\nu\) für \(\mu\neq\nu\) (\(\mu,\nu=1,\dots,n\)),
-	so gilt der Satz des Pythagoras 
+	so gilt der Satz des Pythagoras
 	\[\| f_1+\dots+f_n\|^2_2=
 	\| f_1\|^2_2+\dots+
 	\| f_n\|^2_2\]
@@ -186,15 +186,15 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
 		L^2\to E_n\\
 		S_nf:=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k
 	\end{cases}\]
-	ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und 
+	ist linear und für jedes \(v\in E_n\) gilt \(S_nv=v\) und
 	\((f-S_nf)\perp v\) mit \(f\in L^2\).
 \item 	Die \textbf{Besselsche Ungleichung} lautet:
 	\[\| S_nf\|^2_2
 	=\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2
 	=\| f\|_2^2-\|(f-S_nf)\|^2_2
 	\leq\| f\|^2_2\]
-\item	Für alle \(v\in E_n\) gilt: 
-	\[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2 
+\item	Für alle \(v\in E_n\) gilt:
+	\[\| f-S_nf\|_2\leq\| f-v\|_2
 	\]
 \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -207,26 +207,26 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
 	&= (f_1+f_2\mid f_1+f_2)						\\
 	&= (f_1\mid f_1)+(f_1\mid f_2)+(f_2\mid f_1)+(f_2\mid f_2)		\\
 	&= (f_1\mid f_1)+(f_2\mid f_2)						\\
-	&=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2	
+	&=\| f_1\|^2_2+\| f_2\|^2_2
 	\end{align*}
 \item	Übung!
 \item	Es gilt
 	\begin{align*}
 	\| S_nf\|^2_2
 	&= \left\lvert\left\lvert\sum_{\lvert k\rvert\leq n}(f\mid b_k)b_k\right\rvert
-		\right\rvert^2_2	
+		\right\rvert^2_2
 	\overset{(1)}=
 		\sum_{\lvert k\rvert\leq n}\|(f\mid b_k)b_k\rvert
-		\rvert^2_2	
+		\rvert^2_2
 	= \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2\| b_k\rvert
-		\rvert^2_2	
+		\rvert^2_2
 	= \sum_{\lvert k\rvert\leq n}\lvert(f\mid b_k)\rvert^2
 	\end{align*}
 	und
 	\begin{align*}
-	\| f\|^2_2 
+	\| f\|^2_2
 	= \|\underbrace{(f-S_nf)}_{\underset{(2)}\perp E_n}
-		+\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2		
+		+\underbrace{S_nf}_{\in E_n}\|^2_2
 	= \| f-S_nf\|^2_2 + \| S_nf\|^2_2
 	\end{align*}
 \item	Sei \(v\in E_n\). Dann gilt:
@@ -244,17 +244,17 @@ Seien \(f_1,\dots,f_n,f\in L^2\).
 
 \begin{wichtigebemerkung}
 \label{Bemerkung 18.3}
-Es sei \(\mdk\in\{\mdr,\mdc\},\,a,b\in\mdr,\,I:=[a,b]\,(a<b)\) und \(f_{n},\,f,\,g\in C(I,\mdk)\); es war 
+Es sei \(\mdk\in\{\mdr,\mdc\},\,a,b\in\mdr,\,I:=[a,b]\,(a<b)\) und \(f_{n},\,f,\,g\in C(I,\mdk)\); es war
 \(\lVert f\rVert_{\infty}:=\max_{t\in I}\lvert f(t)\rvert\).
 \begin{enumerate}
-\item \((f_{n})\) konvergiert auf \(I\) gleichmäßig gegen \(f\) genau dann, wenn 
+\item \((f_{n})\) konvergiert auf \(I\) gleichmäßig gegen \(f\) genau dann, wenn
     \(\lVert f_{n}-f\rVert_{\infty}\to 0\,(n\to\infty)\) (vgl. Analysis I/II).
 \item \(f\in\mathrm{L}^{p}(I,\mdk)\) und \(\lVert f\rVert_{p}\leq(b-a)^{\frac{1}{p}}\lVert f\rVert_{\infty}\) (siehe \ref{Satz 16.2}).
 \item Gilt \(f=g\) fast überall, so ist \(f=g\) auf \(I\).
 \begin{beweis}
 Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq I:\,f(x)=g(x)\,\forall x\in I\setminus N\).\\
-Sei \(x_{0}\in\mdn\). Für \(\ep>0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls: 
-    \(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das heißt, es existiert ein 
+Sei \(x_{0}\in\mdn\). Für \(\ep>0\) gilt: \(U_{\ep}(x_{0})\cap I\not\subseteq N\) (andernfalls:
+    \(\lambda_{1}(N)\geq\lambda_{1}(U_{\ep}(x_{0})\cap I)>0\)). Das heißt, es existiert ein
     \(x_{\ep}\in U_{\ep}(x_{0})\cap I:\,x_{\ep}\not\in N\). Also:
     \(\forall n\in\mdn\,\exists x_{n}\in U_{\frac{1}{n}}(x_{0})\cap I:\, x_{n}\not\in N\). Also: \(x_{n}\to x_{0}\).\\
 Dann: \(f(x_{0})=\lim_{n\to\infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}g(x_{n})=g(x_{0})\)
@@ -287,9 +287,9 @@ Sei \(f\in\mathrm{L}^{2}\). Dann gilt: \(f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\sum
 
 \begin{beweis}
 Zu zeigen: \(\lVert f-S_{n}f\rVert_{2}\to0\,(n\to\infty)\). Die Parsevalsche Gleichung folgt dann aus \ref{Satz 18.2}.\\
-Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion 
+Sei \(\ep>0\). Wende \ref{Satz 16.8}(2) auf \(\Re f\) und \(\Im f\) an. Dies liefert eine stetige Funktion
 \(g:\,(0,2\pi)\to\mdc\) mit: \(K:=\supp(g)\subseteq(0,2\pi)\), \(K\) kompakt und \(\lVert f-g\rVert_{2}<\ep\).\\
-Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun: 
+Setze \(g(0):=g(2\pi):=0\). Dann ist \(g\) stetig auf \([0,2\pi]\). Satz \ref{Satz 18.4} liefert nun:
     \(\exists n\in\mdn\exists v\in\mathrm{E}_{n}:\,\lVert g-v\rVert_{\infty}<\ep\).\\
 Damit: \(\lVert g-v\rVert_{2}\leq\sqrt{2\pi}\lVert g-v\rVert_{\infty}<\sqrt{2\pi}\ep\). Somit:
 \begin{align*}
@@ -344,9 +344,9 @@ Fourierreihe von \(f\) ist eine \textbf{Sinusreihe}.
 \begin{enumerate}
 \item \(f(t):=\begin{cases}1,&0\leq t\leq\pi\\-1,&\pi<t\leq 2\pi\end{cases}\)
 
-\(f\) ist ungerade, also \(\alpha_{k}=0\,\forall k\in\mdn_{0}\). Es ist 
+\(f\) ist ungerade, also \(\alpha_{k}=0\,\forall k\in\mdn_{0}\). Es ist
 \(\beta_{k}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{\sin(kt)\mathrm{d}t}=\begin{cases}0,&k\text{ gerade}\\\frac{4}{k\pi},&k\text{ ungerade}\end{cases}\).\\
-Damit: 
+Damit:
 \[
 f\overset{\lVert\cdot\rVert_{2}}{=}\frac{4}{\pi}\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{\sin((2j+1)\cdot)}{2j+1}}
 \]

documents/Analysis III/Kapitel-2.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
 \begin{definition}
     \index{Ring}
-    Sei \(\emptyset\neq \fr \subseteq \cp(X)\). 
+    Sei \(\emptyset\neq \fr \subseteq \cp(X)\).
     $\fr$ heißt ein \textbf{Ring} auf \(X\), genau dann wenn gilt:
     \begin{enumerate}
         \item[(R1)] \(\emptyset \in \fr\)
@@ -12,7 +12,7 @@ In diesem Kapitel sei \(X\) eine Menge, \(X\neq\emptyset\).
 \end{definition}
 
 \textbf{Hinweis}: $(\fr, \cup, \setminus)$ ist kein Ring im Sinne
-der linearen Algebra, $(\fr, \cup)$ kein Inverses Element hat und 
+der linearen Algebra, $(\fr, \cup)$ kein Inverses Element hat und
 $(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
 
 \begin{definition}
@@ -21,7 +21,7 @@ $(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
     Sei \(d\in\MdN\).
     \begin{enumerate}
         \item \(\ci_d :=\Set{(a,b] | a,b \in \MdR^{d}, \, a \leq b} (\emptyset \in \ci_d)\).
-              Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\) 
+              Seien \(a=(a_{1},\dots,a_{d}),\,b=(b_{1},\dots,b_{d})\in\MdR^d\)
               und \(I:=(a,b] \in \ci_{d}\)
               \[
               \lambda_{d}(I)= \begin{cases}
@@ -31,7 +31,7 @@ $(\fr, \cup)$ nicht kommutativ ist.
         \item \(\cf_d:=\Set{\bigcup_{j=1}^{n}I_{j} | n\in\MdN,\,I_{1},\dots,I_{n}\in \ci_d}\) (\textbf{Menge der Figuren})
     \end{enumerate}
 \end{definition}
-Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\) 
+Ziel dieses Kapitels: Fortsetzung von \(\lambda_{d}\) auf \(\cf_{d}\)
 und dann auf \(\fb_d\) (\(\leadsto\) Lebesgue-Maß)
 
 Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}=\sigma(\ci_{d})=\sigma(\cf_{d})\)
@@ -40,7 +40,7 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
     Seien \(I,I'\in\ci_{d}\) und \(A\in\cf_{d}\). Dann:
     \begin{enumerate}
         \item \(I\cap I'\in\ci_{d}\)
-        \item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\) 
+        \item \(I\setminus I'\in\cf_{d}.\)
               Genauer: \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
               \(I\setminus I'=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\) % \bigcupdot
         \item \(\exists\left\{I_{1}',\dots,I_{l}'\right\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
@@ -67,7 +67,7 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
                         \(I=I_{1}\times I_{2},\,I'=I_{1}'\times I_{2}'\)
                         % Graphik einfuegen!
 
-                        Nachrechnen: 
+                        Nachrechnen:
                         \[
                         I\setminus I'=(I_{1}\setminus I_{1}')\times I_{2}\dot \cup(I_{1}\cap I_{1}')\times(I_{2}\setminus I_{2}')
                         \]
@@ -76,11 +76,11 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
                         Daraus folgt die Behauptung für \(d+1\)
           \end{itemize}
     \item \begin{itemize}
-            \item[\underline{Vor.:}] Sei $n \in \mdn$ und 
-                \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit 
-                \(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\) 
+            \item[\underline{Vor.:}] Sei $n \in \mdn$ und
+                \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
+                \(I_{1},\dots,I_{d}\in\ci_{d}\)
             \item[\underline{Beh.:}] Es existiert
-                \(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt: 
+                \(\{I_{1}',\dots,I_{l}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
                 \(A=\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}\)
           \item[\underline{Bew.:}] mit Induktion nach $n$:
           \begin{itemize}
@@ -93,7 +93,7 @@ Beachte: \(\ci_{d}\subseteq\cf_{d}\subseteq\fb_{d}\overset{1.4}{\implies}\fb_{d}
 
                         Dann: \(A=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{I_{j}'}=I_{n+1}\cup\bigcup_{j=1}^{l}{(I_{j}'\setminus I_{n+1})}\) % \cupdot
 
-                        Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\dots,l)\): 
+                        Wende (2) auf jedes \(I_{j}'\setminus I_{n+1}\) an \((j=1,\dots,l)\):
                         \(I_{j}'\setminus I_{n+1}=\bigcup_{j=1}^{l_{j}}{I_{j}''}\quad(I_{j}''\in\ci_{d})\)
 
                         Damit folgt:
@@ -124,14 +124,14 @@ ohne Beweis:
 \begin{lemma}[Unabhängigkeit von der Darstellung]
     \label{Lemma 2.2}
     Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt und
-    \(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit 
+    \(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt mit
     \(\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}=A=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\). Dann:
     \[
     \sum_{j=1}^{n}{\lambda_{d}(I_{j})}=\sum_{j=1}^{m}{\lambda_{d}(I_{j}')}
     \]
 \end{lemma}
 \begin{definition}
-    Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit 
+    Sei \(A\in\cf_{d}\) und \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}}\) mit
     \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
     disjunkt (beachte Lemma \ref{Lemma 2.1}, Punkt 3).
     \[
@@ -147,23 +147,23 @@ ohne Beweis:
         \item \(A\cap B=\emptyset\implies\lambda_{d}(A\cup B)=\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
         \item \(A\subseteq B\implies\lambda_{d}(A)\leq\lambda_{d}(B)\)
         \item \(\lambda_{d}(A\cup B)\leq\lambda_{d}(A)+\lambda_{d}(B)\)
-        \item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\) 
+        \item Sei \(\delta>0\). Es existiert \(C\in\cf_{d}:\overline{C}\subseteq B\)
               und \(\lambda_{d}(B\setminus C)\leq\delta\).
-        \item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und 
-              \(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt: 
+        \item Ist \(B_{n+1}\subseteq B_{n}\forall n\in\mdn\) und
+              \(\bigcap B_{n}=\emptyset\), so gilt:
               \(\lambda_{d}(B_{n})\to 0\,(n\to \infty)\)
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
-\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert 
+\item Aus Lemma \ref{Lemma 2.1} folgt: Es existiert
 \(\{I_{1},\dots,I_{n}\}\subseteq\ci_{d}\)
 disjunkt und es existiert \(\{I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\) disjunkt:
 \(A=\bigcup_{j=1}^{n}{I_{j}},\,B=\bigcup_{j=1}^{m}{I_{j}'}\).
 
-\(J:=\{I_{1},\dots,I_{n},I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus 
-\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann: 
+\(J:=\{I_{1},\dots,I_{n},I_{1}',\dots,I_{m}'\}\subseteq\ci_{d}\). Aus
+\(A\cap B=\emptyset\) folgt: \(J\) ist disjunkt. Dann:
 \(A\cup B=\bigcup_{I\in J}{I}\)	% Hier auch wieder: \bigcupdot
 
 Also:
@@ -187,7 +187,7 @@ Dann:
 Aus der Definition von Kompaktheit (Analysis II, \S 2) folgt:
 \(\exists m\in\mdn:\,\bigcup_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}^{c}}\supseteq\overline{B}_{1}\)
 Dann: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\overline{B}_{1}^{c}\).
-Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\). 
+Andererseits: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}\subseteq\bigcap_{j=1}^{m}{B_{j}}\subseteq B_{1}\subseteq\overline{B}_{1}\).
 
 Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das heißt:
 \(\bigcap_{j=1}^{n}{\overline{C}_{j}}=\emptyset \quad \forall n\geq m\)
@@ -198,7 +198,7 @@ Also: \(\bigcap_{j=1}^{m}{\overline{C}_{j}}=\emptyset\). Das heißt:
 \begin{beweis} (induktiv)
 \begin{itemize}
 \item[I.A.] \(\lambda_{d}(B_{1}\setminus D_{1})=\lambda_{d}(B_{1}\setminus C_{1})\overset{\eqref{eq: Abschaetzung Mass -- Beweis Satz 2.3.(5)}}{\leq}\frac{\ep}{2}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\ep\) \checkmark
-\item[I.V.] Sei \(n\in\mdn\) und es gelte 
+\item[I.V.] Sei \(n\in\mdn\) und es gelte
             $\lambda_{d}(B_{n}\setminus D_{n})\leq\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)\ep$
 \item[I.S.] \begin{align*}
     \lambda_{d}(B_{n+1}\setminus D_{n+1})&=\lambda_{d}\left((B_{n+1}\setminus D_{n})\cup(B_{n+1}\setminus C_{n+1})\right)\\
@@ -216,7 +216,7 @@ Für \(n\geq m:\,D_{n}=\emptyset\,\implies\,\lambda_{d}(B_{n})=\lambda_{d}(B_{n}
 
 \begin{definition}
 \index{Prämaß}
-Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\) 
+Es sei \(\fr\) ein Ring auf \(X\). Eine Abbildung \(\mu:\fr\to[0,\infty]\)
 heißt ein \textbf{Prämaß} \ auf \(\fr\), wenn gilt:
 \begin{enumerate}
 \item \(\mu(\emptyset)=0\)
@@ -240,7 +240,7 @@ Für \(n\geq 2\):
 \[
 \lambda_{d}(A)=\lambda_{d}(A_{1}\cup\dots\cup A_{n-1}\cup B_{n})\overset{\ref{Satz 2.3}.(1)}{=}\sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}+\lambda_{d}(B_{n})
 \]
-Daraus folgt: 
+Daraus folgt:
 \[
 \sum_{j=1}^{n-1}{\lambda_{d}(A_{j})}=\lambda_{d}(A)-\lambda_{d}(B_{n})\quad\forall n\geq 2
 \]
@@ -268,7 +268,7 @@ Sei \(\emptyset\neq\ce\subseteq\cp(X)\), es seien \(\nu,\,\mu\) Maße auf
 Es gelte:
 \begin{enumerate}
     \item \(E,F\in\ce\implies E\cap F\in\ce\quad\text{(durchschnittstabil)}\)
-    \item $\exists$ eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\) 
+    \item $\exists$ eine Folge \((E_{n})\) in \(\ce\): \(\bigcup{E_{n}}=X\)
           und \(\mu(E_{n})<\infty \quad \forall n\in\mdn\).
     \item \(\mu(E)=\nu(E) \quad \forall E\in\ce\)
 \end{enumerate}
@@ -286,18 +286,18 @@ und wird ebenfalls mit \(\lambda_{d}\) bezeichnet.
 \folgtnach{(\ref{Lemma 2.1}) und (\ref{Satz 2.4})}: \(\lambda_{d}\) ist ein
 Prämaß\ auf \(\fr:=\cf_{d}\); es ist \(\sigma(\fr)=\fb_{d}\).
 
-\folgtnach{\ref{Satz 2.5}}: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Maß auf 
-\(\sigma(\cf_{d}) = \fb_{d}\) fortgesetzt werden. Für diese 
+\folgtnach{\ref{Satz 2.5}}: \(\lambda_{d}\) kann zu einem Maß auf
+\(\sigma(\cf_{d}) = \fb_{d}\) fortgesetzt werden. Für diese
 Fortsetzung schreiben wir wieder $\lambda_d$, also
 $\lambda_d: \fb_{d} \rightarrow [0, +\infty]$
 
-Sei \(\nu\) ein weiteres Maß\ auf \(\fb_{d}\) mit: 
+Sei \(\nu\) ein weiteres Maß\ auf \(\fb_{d}\) mit:
 \(\nu(A)=\lambda_{d}(A)\,\forall A\in\cf_{d}\). \(\ce:=\ci_{d}\). Dann:
 \(\sigma(\ce)\overset{\ref{Satz 1.4}}{=}\fb_{d}\).
 \begin{enumerate}
     \item \(E,F\in\ce\overset{\ref{Lemma 2.1}}{\implies}E\cap F\in\ce\)
     \item \(E_{n}:=(-n,n]^{d}\)
-          Klar: 
+          Klar:
           \begin{align*}
             \bigcup E_{n}&=\mdr^{d}\\
             \lambda_{d}(E_{n})&=(2n)^{d}<\infty
@@ -426,9 +426,9 @@ Also auch:
 \end{beweis}
 
 \textbf{Auswahlaxiom:}\\
-Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$ 
-ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann 
-existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass 
+Sei $\emptyset\ne\Omega$ Indexmenge, es sei $\Set{X_\omega | \omega\in\Omega}$
+ein disjunktes System von nichtleeren Mengen $X_\omega$. Dann
+existiert ein $C\subseteq\bigcup_{\omega\in\Omega}X_\omega$, sodass
 $C$ mit jedem $X_j$ genau ein Element gemeinsam hat.
 
 \begin{satz}[Satz von Vitali]
@@ -450,7 +450,7 @@ Es ist $\mdq^d\cap[-1,1]^d=\{q_1,q_2,\dots\}$ mit $q_i\ne q_j$ für $(i\ne j)$.
 \end{align*}
 \begin{beweis}
 Sei $x\in[0,1]^d$. Wähle $y\in C$ mit $y\in[x]$, dann ist $x\sim y$, also $x-y\in\mdq^d\cap[-1,1]^d$. D.h.:
-\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\] 
+\[\exists n\in\mdn: x-y=q_n\implies x=q_n+y\in q_n+C\]
 \end{beweis}
 Außerdem ist $\Set{q_n+C | n\in\mdn}$ disjunkt.
 \begin{beweis}

documents/Analysis III/Kapitel-3.tex

@@ -18,8 +18,8 @@ Seien die Bezeichnungen wie in obiger Definition, dann gilt:
 \begin{enumerate}
 \item $f$ sei $\fa$-$\fb$-messbar, $\fa'$ eine weitere $\sigma$-Algebra auf $X$ mit $\fa\subseteq\fa'$ und $\fb'$ sei eine $\sigma$-Algebra auf $Y$ mit $\fb'\subseteq\fb$.\\
 Dann ist $f$ $\fa'$-$\fb'$-messbar.
-\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach 
-\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist 
+\item Sei $X_0\in\fa$, dann gilt $\fa_{X_0}\subseteq\fa$ nach
+\ref{Satz 1.5}. Nun sei $f:X\to Y$ $\fa$-$\fb$-messbar, dann ist
 $f_{\mid X_0}:X_0\to Y$ $\fa_{X_0}$-$\fb$-messbar.
 \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
@@ -66,7 +66,7 @@ Dann: \(\fb=\sigma(\ce)\subseteq\fd\). Ist \(B\in\fb\), so ist \(B\in\fd\), also
 \index{messbar!Borel}\index{messbar}
 Sei \(X\in\fb_{d}\). Ist \(f:\,X\to\mdr^{k}\) \(\fb(X)-\fb_{k}-\)messbar, so heißt \(f\) \textbf{(Borel-)messbar}.
 \end{definition}
-Ab jetzt sei stets \(\emptyset \neq X\in\fb_{d}\). 
+Ab jetzt sei stets \(\emptyset \neq X\in\fb_{d}\).
 (Erinnerung: \(\fb(X)=\Set{A\in\fb_{d} | A\subseteq X}\))
 
 \begin{satz}
@@ -80,7 +80,7 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) Abbildungen und \(\alpha,\beta\in\mdr\).
     \item Sei \(k=1\) und \(f\) und \(g\) seien messbar. Dann:
     \begin{enumerate}
         \item \(f \cdot g\) ist messbar
-        \item Ist \(f(x)\neq 0 \quad \forall x\in X\), so ist 
+        \item Ist \(f(x)\neq 0 \quad \forall x\in X\), so ist
               \(\frac{1}{f}\) messbar
         \item \(\Set{x\in X | f(x)\stackrel{>}{\geq} g(x)} \in \fb(X)\)
     \end{enumerate}
@@ -96,13 +96,13 @@ Seien \(f,\,g:\,X\to\mdr^{k}\) Abbildungen und \(\alpha,\beta\in\mdr\).
 stetig, also messbar.
 
 Es ist \(g=\vp\circ f\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(g\) ist messbar.
-\item 
+\item
     \begin{itemize}
-        \item["`\(\Rightarrow:\)"'] Für \(j=1, \dots,k\) sei 
-            \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch 
+        \item["`\(\Rightarrow:\)"'] Für \(j=1, \dots,k\) sei
+            \(p_{j}:\mdr^{k}\to\mdr\) definiert durch
             \(p_{j}(x_{1},\dots,x_{k}):=x_{j}\)
-            \(p_{j}\) ist stetig, also messbar. Es ist 
-            \(f_{j}=p_{j}\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} 
+            \(p_{j}\) ist stetig, also messbar. Es ist
+            \(f_{j}=p_{j}\circ f\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)}
             \(f_{j}\) ist messbar.
         \item["`\(\Leftarrow:\)"'] Sei \(I=(a,b]=\prod_{j=1}^{k}{(a_{j},b_{j}]}\in I_{k}\quad (a=(a_{1},\dots,a_{k}),\,b=(b_{1},\dots,b_{k}),\,a\leq b)\)\\
             Dann: \(f^{-1}(I)=\bigcap_{j=1}^{k}{\underbrace{f_{j}^{-1}(\underbrace{(a_{j},b_{j}]}_{\in\fb_{1}}}_{\in\fb(X)}}\in\fb(X)\)
@@ -114,7 +114,7 @@ Es ist \(g=\vp\circ f\). \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(g\) ist messbar.
 
 \(\vp\) ist stetig, also messbar. Es ist \(\alpha f+\beta g=\vp\circ h\)
 \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)} \(\alpha f+\beta g\) ist messbar.
-\item 
+\item
 \begin{enumerate}
 \item \(h:=(f,g):\,X\to\mdr^{2k}\) ist messbar (nach (2)); \(\vp(x,y):=xy\), \(\vp\) ist stetig, also messbar.
 
@@ -130,10 +130,10 @@ Es ist \(fg=\vp\circ h\) \folgtnach{\ref{Satz 3.1}.(1)}  \(fg\) ist messbar.
 
 \begin{folgerungen}
 \label{Lemma 3.3}
-    Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\). 
+    Seien \(A,\,B\in\fb(X),\,A\cap B=\emptyset\) und \(X=A\cup B\).
     Weiter seien \(f:A\to\mdr^{k}\) und
     \(g:B\to\mdr^{k}\) messbar.\\
-    Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch 
+    Dann ist \(h:X\to\mdr^{k}\), definiert durch
     \[
     h(x):=\begin{cases}f(x)&x\in A\\g(x)&x\in B\end{cases},
     \]
@@ -184,7 +184,7 @@ In \(\imdr\) gelten folgende Regeln, wobei \(a\in\mdr\):
 
 \begin{definition}
 \begin{enumerate}
-\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in 
+\item Sei \((x_{n})\) eine Folge in
 \(\imdr\). \(x_{n}\rightarrow+\infty:\Leftrightarrow\forall c\in\mdr\,\exists n_{c}\in\mdn:x_{n}\geq c\quad\forall n\geq n_{c}\)\\
 Analog für \(-\infty\).
 \item Seien \(f,g: X\to\imdr\) Funktionen. Dann:
@@ -208,7 +208,7 @@ Analog für \(-\infty\).
 
 \begin{definition}
 \index{Borel!$\sigma$-Algebra}\index{messbar}
-\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\). 
+\(\ifb_{1}:=\Set{B\cup E | B\in\fb_{1},\,E\subseteq\Set{-\infty,+\infty}}\).
 Dann: \(\fb_{1}\subseteq\ifb_{1}\)\\
 Übung: \(\ifb_{1}\) ist eine \(\sigma\)-Algebra auf \(\imdr\).\\
 Klar: \(\fb_{1} \subseteq \ifb_{1}\)
@@ -258,11 +258,11 @@ Die folgenden Beweise erfolgen exemplarisch für einen der Unterpunkte und funkt
     \item Es gilt:
     \[\forall a \in \mdq\colon \{f\le a\}=\Set{x\in X | f(x)\le a}=f^{-1}(\underbrace{[-\infty,a]}_{\ce_1}) (*)\]
     Die Äquivalenz folgt dann aus (1) und \ref{Satz 3.1}.
-    \item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist. 
+    \item Die Funktion $f:X\to\imdr$ kann aufgefasst werden als Funktion $\overline{f}:X\to\imdr$. Es ist $f$ genau dann $\fb(X)$-$\fb_1$-messbar wenn $\overline{f}$ $\fb(X)$-$\overline{\fb_1}$-messbar ist.
 \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{bemerkung}\ 
+\begin{bemerkung}\
 \begin{enumerate}
 \item Ist $X \subseteq \mdr$ ein Intervall und $f: \bar X \rightarrow \mdr$ monoton, so ist
       $f$ messbar (vgl. 3. ÜB)
@@ -284,11 +284,11 @@ Es ist $|f(x)|=1 \quad \forall x \in \mdr^d$, also $|f| = \mathds{1}_{\mdr^d}$.
 \begin{definition}
 Sei $M\subseteq\imdr$.
 \begin{enumerate}
-\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei 
+\item Ist $M=\emptyset$ oder $M=\{-\infty\}$, so sei
 \[\sup M:=-\infty\]
-\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei 
+\item Ist $M\setminus\{-\infty\}\ne\emptyset$ und nach oben beschränkt (also insbesondere $\infty\not\in M$), so sei
 \[\sup M:= \sup (M\setminus\{-\infty\})\]
-\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei 
+\item Ist $M\setminus\{-\infty\}$ nicht nach oben beschränkt oder $\infty\in M$, so sei
 \[\sup M:=\infty\]
 \item Es sei $\inf M:=-\sup(-M)$, wobei $-M:=\Set{-m | m\in M}$.
 \end{enumerate}
@@ -343,7 +343,7 @@ Also ist $\sup_{n\in\mdn} f_n$ messbar. Analog lässt sich die Messbarkeit von $
 Sei $X=I$ ein Intervall in $\mdr$ und $f:I\to\mdr$ sei auf $I$ differenzierbar.\\
 Für $x\in I,n\in\mdn$ sei $f_n:= n(f(x-\frac1n)-f(x))$. Da $f$ stetig ist, ist auch jedes $f_n$ stetig, also insbesondere messbar und es gilt:
 \[f_n(x)=\frac{f(x-\frac1n)-f(x)}{\frac1n}\stackrel{n\to\infty}{\to}f'(x)\]
-Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist. 
+Aus \ref{Satz 3.5}(2) folgt, dass $f'$ messbar ist.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}
@@ -435,13 +435,13 @@ Sei $f:X\to\imdr$ eine Funktion, dann ist $f$ genau dann messbar, wenn eine Folg
 Dann ist $\varphi_n$ $(\fb_1)_{[0,\infty]}$-$\fb_1$-messbar, außerdem gilt:
 \begin{align*}
 \forall t\in[0,\infty]\forall n\in\mdn&: 0\le\varphi_1\le\dots\le t\\
-\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t 
+\forall t\in[0,n]\forall n\in\mdn&: t-\frac1{2^n}\le\varphi_n(t)\le t
 \end{align*}
 und es ist $\varphi_n(t)\stackrel{n\to\infty}\to t$ für alle $t\in[0\infty]$. Setze $f_n:=\varphi_n\circ f$. Dann leistet $(f_n)$ das gewünschte.
 \item Es ist $f=f_+-f_-$ und $f_+,f_-\ge0$ auf $X$. Seien $(g_n),(h_n)$ zulässige Folgen für $f_+$ bzw. $f_-$. Definiere $f_n:=g_n-h_n$. Dann ist klar, dass gilt:
 \[\forall x\in X: f_n(x)=g_n(x)-h_n(x)\stackrel{n\to\infty}\to f_+(x)-f_-(x)=f(x)\]
 Weiter gilt:
 \[|f_n|\le g_n+h_n\le f_++f_-=|f|\]
-\item Ohne Beweis. 
+\item Ohne Beweis.
 \end{enumerate}
 \end{beweis}

documents/Analysis III/Kapitel-4.tex

@@ -53,7 +53,7 @@ Sei $f:X\to[0,\infty]$ messbar. $(f_n)$ sei eine für $f$ zulässige Folge. Das
 \end{align*}
 \end{definition}
 
-\begin{bemerkung}\ 
+\begin{bemerkung}\
 \begin{enumerate}
 \item In \ref{Satz 4.3} werden wir sehen, dass $(*)$ unabhängig ist von der Wahl der für $f$ zulässigen Folge $(f_n)$.
 \item $(f_n(x))$ ist wachsend für alle $x\in X$, d.h.:
@@ -92,8 +92,8 @@ Es folgt \(x\in B_n\) für jedes \(n\geq n(x)\).\\
 \textbf{Fazit:} \(X=\bigcup B_n\). \[A_j=A_j\cap X=A_j\cap\left(\bigcup B_n\right) = \bigcup(A_j\cap B_n) \text{ und } A_j\cap B_n\subseteq A_j\cap B_{n+1} \]
 Aus \ref{Satz 1.7} folgt \(\lambda(A_j)=\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\). Das liefert:
 \begin{align*}
-   \int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j) 
-   = \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\ 
+   \int\limits_Xg\,dx &= \sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j)
+   = \sum\limits_{j=1}^m y_j\lim\limits_{n\to\infty}\lambda(A_j\cap B_n)\\
    &=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{j=1}^m y_j\lambda(A_j\cap B_n)
    \overset{\ref{Satz 4.1}}= \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \mathds{1}_{B_n}g\,dx\\
    &\leq  \lim\limits_{n\to\infty} \int\limits_X \alpha f_n\,dx
@@ -127,7 +127,7 @@ Dann ist wegen \ref{Satz 3.7} und \(\alpha , \beta \geq 0\), dass \((h_n)\) zul
 \begin{enumerate}
 \item["'$\implies$"'] Sei \(\int_Xf\,dx=0\) und \(A_n:=\{f>\frac{1}{n}\}\). Dann ist \(A=\bigcup A_n\) und \(f\geq\frac{1}{n}\mathds{1}_{A_n}\). Damit folgt:
 \begin{align*}
-0 = \int_Xf\,dx 
+0 = \int_Xf\,dx
 \overset{\text{(2)}}\geq \int_X\frac1{n}\mathds{1}_{A_n}\,dx
 =\frac1{n}\lambda(A_n)
 \intertext{Es ist also \(\lambda(A_n)=0\) und damit gilt weiter}
@@ -212,7 +212,7 @@ Sei $X \in \fb_1$, $f(x) := \begin{cases} 1&,x\in X\cap\MdQ\\ 0&,x\in X\setminus
 $X, \MdQ \in \fb_1 \implies X \cap \MdQ \in \fb_1 \implies f$ ist messbar.
 \[0 \leq \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \mathds{1}_{X\cap\MdQ} \text{ d}x = \lambda(X\cap\MdQ) \leq \lambda(\MdQ) = 0\]
 \textbf{Das heißt:} $f \in \fl^1(X)$, $\int_X f \text{ d}x = 0$.
-Ist speziell $X = [a,b]\quad (a<b)$, so gilt: $f \in \fl^1([a,b])$, aber $f \not\in R([a,b])$. 
+Ist speziell $X = [a,b]\quad (a<b)$, so gilt: $f \in \fl^1([a,b])$, aber $f \not\in R([a,b])$.
 \end{beispiel}
 
 \begin{satz}[Charakterisierung der Integrierbarkeit]
@@ -258,9 +258,9 @@ Sei $f:X\to\imdr$ integrierbar und $N := \{\lvert f \rvert = +\infty\} = \{x\in
 \end{folgerungen}
 
 \begin{beweis}
- $\ref{Satz 3.4} \implies N \in \fb(X).$ $n\mathds{1}_N \leq \lvert f \rvert$ für alle $n\in \MdN$. Dann: 
+ $\ref{Satz 3.4} \implies N \in \fb(X).$ $n\mathds{1}_N \leq \lvert f \rvert$ für alle $n\in \MdN$. Dann:
 \[n \cdot \lambda(N) = \int_X n\mathds{1}_N \text{ d}x \stackrel{4.5}{\leq} \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \stackrel{4.9}{<} \infty \text{  für alle } n \in \mdn\]
-Also: $0 \leq n\lambda(N) \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \quad \forall n \in \mdn \implies \lambda(N) = 0$ 
+Also: $0 \leq n\lambda(N) \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x \quad \forall n \in \mdn \implies \lambda(N) = 0$
 \end{beweis}
 
 \begin{satz}
@@ -277,13 +277,13 @@ $f, g: X \to \imdr$ seien integrierbar und es sei $\alpha \in \mdr$.
  \item $\lvert \int_X f \text{ d}x \rvert \leq \int_X \lvert f \rvert \text{ d}x$. (Dreiecksungleichung für Integrale)
  \item Sei $\emptyset\ne Y \in \fb(X)$. Dann sind die Funktionen $f_{|Y}: Y \to \imdr$ und $\mathds{1}_Y\cdot f: X \to \imdr$ integrierbar und
 \[\int_Y f(x) \text{ d}x := \int_Y f_{|Y} (x) \text{ d}x = \int_X(\mathds{1}_Y \cdot f)(x) \text{ d}x\]
- \item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$) 
+ \item Sei $\lambda(X) < \infty$ und $h: X \to \mdr$ sei messbar und beschränkt. Dann: $h \in \fl^1(X)$ und $\lvert \int_X h \text{ d}x\rvert \leq \|h\|_\infty \lambda(X) \quad$ (mit $\|h\|_\infty := \sup\{|h(x)| : x\in X\}$)
 \end{enumerate}
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-\begin{enumerate} 
-\item folgt aus \(\alpha f)_{\pm}=\alpha f_{\pm}\), falls \(\alpha\geq0\) und \(\alpha f)_{\pm}=-\alpha f_{\mp}\), falls 
+\begin{enumerate}
+\item folgt aus \(\alpha f)_{\pm}=\alpha f_{\pm}\), falls \(\alpha\geq0\) und \(\alpha f)_{\pm}=-\alpha f_{\mp}\), falls
     \(\alpha<0\).
 \item Es gilt \(f+g=\underbrace{f_{+}+g_{+}}_{=:u}-\underbrace{(f_{-}+g_{-})}_{=:v}=u-v\). Dann:
 \[
@@ -309,11 +309,11 @@ Es folgt:
 \[
 \int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{f_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{f_{-}\mathrm{d}x}\overset{\ref{Satz 4.5}}{\leq}\int_{X}{g_{+}\mathrm{d}x}-\int_{X}{g_{-}\mathrm{d}x}=\int_{X}{g\mathrm{d}x}
 \]
-\item Es ist \(\pm f\leq\lvert f\rvert\). Mit Aussage (1) und (5) folgt: 
+\item Es ist \(\pm f\leq\lvert f\rvert\). Mit Aussage (1) und (5) folgt:
     \(\pm\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\int_{X}{(\pm f)\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lvert f\rvert\mathrm{d}x}\).\\
 Es ist \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\) oder \(-\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lvert\int_{X}{f\mathrm{d}x}\rvert\)
 \item Mit Bemerkung (2) vor \ref{Satz 3.1} und Satz \ref{Satz 3.6}.(2) folgt: \(f_{|Y}\) und \(\mathds{1}_{Y}\cdot f\) sind
-messbar. Es gilt: \((f_{|Y})_{\pm}=(f_{\pm})_{|Y}\) und \((\mathds{1}_{Y}\cdot f)_{\pm}=\mathds{1}\cdot f_{\pm}\). Weiterhin 
+messbar. Es gilt: \((f_{|Y})_{\pm}=(f_{\pm})_{|Y}\) und \((\mathds{1}_{Y}\cdot f)_{\pm}=\mathds{1}\cdot f_{\pm}\). Weiterhin
 gilt \(0\leq\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\leq f_{\pm}\). Mit \ref{Satz 4.9} folgt dann, daß\ \(\mathds{1}_{Y}f_{\pm}\) integrierbar
 ist. Dann:
 \begin{align*}
@@ -325,7 +325,7 @@ Es folgt: \(f_{|Y}\) ist integrierbar und \(\int_{Y}{f_{|Y}\mathrm{d}x}=\int_{Y}
 \[
 \int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\int_{X}{\lVert h\rVert_{\infty}\mathds{1}_{X}\mathrm{d}x}=\lVert h\rVert_{\infty}\lambda(X)<\infty
 \]
-Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschränkt ist, folgt: 
+Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da \(h\) beschränkt ist, folgt:
 \(h\in\fl^{1}(X)\). Schließlich:
 \[
 \left\lvert\int_{X}{h\mathrm{d}x}\right\rvert\leq\int_{X}{\lvert h\rvert\mathrm{d}x}\leq\lVert h\lVert_{\infty}\lambda(X)
@@ -345,7 +345,7 @@ Damit: \(\lvert h\rvert\) ist integrierbar und mit \ref{Satz 4.9} auch \(h\). Da
 
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
- \item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$. Es ist 
+ \item Aus \ref{Satz 4.11}(7) folgt: $f$ ist integrierbar über $A$ und integrierbar über $B$. Es ist
 \[ \int_X f(x) \text{ d}x = \int_X \left( \mathds{1}_{A\cup B} \cdot f \right)(x) \text{ d}x = \int_X \left( \left( \mathds{1}_A + \mathds{1}_B \right) f\right)(x) \text{ d}x \]
 \[= \int_X \left(\mathds{1}_A f + \mathds{1}_B f \right)(x) \text{ d}x \stackrel{4.11(2)}{=} \int_X \mathds{1}_A f \text{ d}x + \int_X \mathds{1}_B f \text{ d}x \stackrel{4.11(7)}{=} \int_A f \text{ d}x + \int_B f \text{ d}x.\]
 
@@ -364,8 +364,8 @@ Sei $\natn$, $t_j^{(n)}:=a+j\frac{b-a}{n}$ ($j=0,\dots,n$) und $I_j^{(n)}:=\left
 \begin{align*}
 S_n:=\sum^n_{j=1} f \left(t_j^{(n)}\right) \underbrace{ \frac{b-a}{n}}_{= \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)} \text{ ist Riemannsche Zwischensumme für R-} \int_a^bf(x)\,dx.
 \end{align*}
-Aus Analysis I folgt $S_n\to\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx$ ($n\to\infty$). 
-Definiere $f_n:=\sum^n_{j=1}f \left(t_j^{(n)} \right) \mathds{1}_{I_j^{(n)}} $. Dann ist $f_n$ einfach und 
+Aus Analysis I folgt $S_n\to\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx$ ($n\to\infty$).
+Definiere $f_n:=\sum^n_{j=1}f \left(t_j^{(n)} \right) \mathds{1}_{I_j^{(n)}} $. Dann ist $f_n$ einfach und
 \[\int_X f_n(x)\,dx=\sum_{j=1}^n f \left(t_j^{(n)} \right) \lambda_1 \left(I_j^{(n)}\right)=S_n\]
 $f$ ist auf $X$ gleichmäßig stetig also konvergiert $f_n$ auf $X$ gleichmäßig gegen $f$ (Übung!), also gilt:
 \[\lVert f_n-f \rVert_{\infty}=\text{sup} \left \{ \lvert f_n(x)-f(x) \rvert : x\in X \right\} \to 0 \  (n\to \infty)\]

documents/Analysis III/Kapitel-5.tex

@@ -56,7 +56,7 @@ Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen.
 \item Ist $f$ integrierbar, so ist $f$ fast überall endlich.
 \item Ist $f \ge0$ auf $X$, so ist $\int_X f(x)\text{ d}x=0$ genau dann wenn fast überall $f=0$.
 \item Ist $f$ integrierbar und $N\subseteq X$ eine Nullmenge, so gilt:
-\[\int_N f(x)\text{ d}x=0\] 
+\[\int_N f(x)\text{ d}x=0\]
 \end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -64,9 +64,9 @@ Seien $f:X\to\imdr$ messbare Funktionen.
 \begin{enumerate}
 \item ist gerade \ref{Folgerung 4.10}.
 \item ist gerade \ref{Satz 4.5}(3)
-\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt: 
+\item Setze $g:=\mathds{1}_N f$. Aus \ref{Satz 4.11} folgt, dass g integrierbar ist, also ist nach \ref{Satz 4.9} auch $\lvert g \rvert$ integrierbar. Für $x\in X\setminus N$ gilt:
 \[g(x)=\lvert g(x) \rvert =0\]
-D.h. $\lvert g \rvert =0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert \,dx = 0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert \leq \int_X \lvert g \rvert \,dx =0\] 
+D.h. $\lvert g \rvert =0$ fast überall. Aus (2) folgt damit $\int_X \lvert g \rvert \,dx = 0$. Dann ist mit \ref{Satz 4.11}: \[\left\lvert\int_X g\,dx \right\rvert \leq \int_X \lvert g \rvert \,dx =0\]
 und somit $\int_X g\,dx=0$.
 \end{enumerate}
 \end{beweis}
@@ -78,7 +78,7 @@ $f,g:X\to\imdr$ seien messbar.
 \item Ist $f$ integrierbar und gilt fast überall $f=g$, so ist $g$ integrierbar und es gilt:
 \[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
 \item Ist $f$ integrierbar und $g:=\mathds{1}_{\{ \lvert f \rvert <\infty \}}\cdot f$, so ist $g$ integrierbar und es gilt: \[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
-\item Sind $f$ und $g$ beide $\geq0$ auf $X$, und ist fast überall $f=g$, so ist 
+\item Sind $f$ und $g$ beide $\geq0$ auf $X$, und ist fast überall $f=g$, so ist
 \[\int_Xf\,dx=\int_Xg\,dx\]
 \end{enumerate}
 \end{satz}
@@ -86,14 +86,14 @@ $f,g:X\to\imdr$ seien messbar.
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
 \item Nach Voraussetzung existiert eine Nullmenge $N\subseteq X$, sodass gilt:
-\[\forall x\in X\setminus N:f(x)=g(x)\] 
+\[\forall x\in X\setminus N:f(x)=g(x)\]
 Aus \ref{Satz 5.2}(3) folgt dann $\int_N f\,dx=0$.
-Sei $x\in X\setminus N$ Dann gilt: 
-\[\left( \mathds{1}_N \lvert g \rvert \right)(x)=\mathds{1}_N(x)\cdot \lvert g(x) \rvert=0\] 
+Sei $x\in X\setminus N$ Dann gilt:
+\[\left( \mathds{1}_N \lvert g \rvert \right)(x)=\mathds{1}_N(x)\cdot \lvert g(x) \rvert=0\]
 D.h.: Fast überall ist $\mathds{1}_N \lvert g \rvert =0$. Aus \ref{Satz 5.2}(2) folgt $\int_N \lvert g \rvert\,dx=\int_X\mathds{1}_N\cdot \lvert g \rvert\,dx=0$.
 Dann gilt:
 \begin{align*}
-\int_X \lvert g\rvert\,dx & = \int_X \left(\mathds{1}_N \lvert g\rvert + \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert \right)\,dx\\ 
+\int_X \lvert g\rvert\,dx & = \int_X \left(\mathds{1}_N \lvert g\rvert + \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert \right)\,dx\\
  &= \int_X\mathds{1}_N \lvert g\rvert\,dx + \int _X\mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g\rvert\,dx\\
  &= \int_X \mathds{1}_{X\setminus N} \lvert g \rvert\,dx\\
 & \leq\int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.9}}< \infty
@@ -141,15 +141,15 @@ Ist \(g\) wie in (2), so muss \(g\) nicht messbar sein (ein Beispiel gibt es in
 
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
-\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{1}\subseteq X:\,(f_{n}(x))\) konvergiert in \(\imdr\) für alle 
+\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{1}\subseteq X:\,(f_{n}(x))\) konvergiert in \(\imdr\) für alle
 \(x\in X\setminus N_{1}\).
 \[
 f(x)=\begin{cases}0&x\in N_{1}\\\lim_{n\to\infty}{f_{n}(x)}&x\in X\setminus N_{1}\end{cases}
 \]
 \(g_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(g_{n}\) ist messbar und \(g_{n}(x)\to f(x)\) für alle \(x\in X\).
 Mit \ref{Satz 3.5} folgt: \(f\) ist messbar.
-\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{2}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{2}\). 
-\(N=N_{1}\cup N_{2}\). Aus \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge. 
+\item Es existiert eine Nullmenge \(N_{2}\subseteq X:\,f_{n}(x)\to g(x)\,\forall x\in X\setminus N_{2}\).
+\(N=N_{1}\cup N_{2}\). Aus \ref{Lemma 5.1} folgt: \(N\) ist eine Nullmenge.
 
 Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\).
 \end{enumerate}
@@ -159,19 +159,19 @@ Für \(x\in X\setminus N:\,f(x)=g(x)\).
 \label{Satz 5.5}
 Sei \((f_{n})\) eine Folge messbarer Funktionen \(f_{n}:\,X\to[0,+\infty]\) und für jedes \(n\in\mdn\) gelte:
 \(f_{n}\leq f_{n+1}\) fast überall.  Dann existiert eine messbare Funktion
-\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast überall und 
+\(f:X\to[0,+\infty]\) mit: \(f_{n}\to f\) fast überall und
 \[\int_{X}{f\mathrm{d}x}=\lim_{n\to\infty}{\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}}\]
 \end{satz}
 
 \begin{beweis}
-Zu jedem \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge 
-\(N_{n}:\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\;\forall x\in X\setminus N_{n}\).\\ 
+Zu jedem \(n\in\mdn\) existiert eine Nullmenge
+\(N_{n}:\,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\;\forall x\in X\setminus N_{n}\).\\
 \(N:=\bigcup_{n=1}^{\infty}{N_{n}}\) \folgtnach{\ref{Lemma 5.1}} \(N\) ist eine
 Nullmenge.
 
 Dann: \(f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)\forall x\in X\setminus N\forall n\in\mdn\).
 
-\(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist 
+\(\hat{f}_{n}:=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f_{n}\), \(\hat{f}_{n}\) ist
 messbar, \(\forall n\in\mdn: \hat{f}_{n}\leq\hat{f}_{n+1}\) auf $X$.
 
 \(f(x):=\lim_{n\to\infty}{\hat{f}_{n}(x)}\,(x\in X)\) \folgtnach{\ref{Satz 3.5}}

documents/Analysis III/Kapitel-6.tex

@@ -41,7 +41,7 @@ Dann gilt \(f=\mathds{1}_{X\setminus N}\cdot f\) fast überall.
     &\overset{(1)}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{\mathds{1}_{X\setminus N}f_{n}\mathrm{d}x}\\
     &\overset{\text{\ref{Satz 5.3}.(3)}}{=}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}
 \end{align*}
-\item folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt 
+\item folgt aus (2). Nach Voraussetzung gilt
 \[
 0\leq\int_{X}{f\mathrm{d}x}\overset{\text{(2)}}{\leq}\liminf_{n\to\infty}\int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}<\infty
 \]
@@ -67,8 +67,8 @@ Dann sind alle \(f_{n}\) integrierbar und es existiert ein \(f\in\fl^{1}(X)\) mi
 \[
 \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}=n\cdot\lambda_{1}\left(\left(0,\frac{1}{n}\right)\right)=n\cdot\frac{1}{n}=1\quad\forall n\in\mdn
 \]
-Es gilt \(f_{n}\to f:=0\) punktweise und \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=0 \neq 1 = \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\). 
-$\Rightarrow$ \ref{Satz 6.2} ist ohne die integrierbare Majorante 
+Es gilt \(f_{n}\to f:=0\) punktweise und \(\int_{X}{f\mathrm{d}x}=0 \neq 1 = \int_{X}{f_{n}\mathrm{d}x}\).
+$\Rightarrow$ \ref{Satz 6.2} ist ohne die integrierbare Majorante
 $g$ im allgemeinen falsch.
 \item Sei $X = [1, \infty), \alpha > 1, f_n(x) := \frac{1}{x^\alpha} \sin{\frac{x}{n}} (x \in X, n \in \mathbb{N})$.\\
 Berechne $\lim_{n \rightarrow \infty} \int_X f_n(x) \mathrm{d}x$\\
@@ -132,9 +132,9 @@ Also gilt auch:
 
 \begin{beispiel}
 Sei \(X:=[1,\infty)\) und \(f_n(x):=\frac1{x^\frac32}\sin\left(\frac xn \right) \) für alle \(x\in X, n\in\mdn\) mit \(f_n(x)\to f(x)\equiv 0\) für jedes \(x\in X\).
-Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$. 
+Dann ist \(\lvert f_n(x) \rvert\leq \frac1{x^\frac32}\) für jedes \(x\in X\) und $\natn$.
 Definiere nun \[g(x):=\frac1{x^\frac32}\]
-Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist 
+Aus Analysis I ist bekannt, dass \(\int^\infty_1 g(x)\,dx\) (absolut) konvergent ist
 und aus \ref{Satz 4.14} folgt \[g\in\mathfrak{L}^1(X) \text{ sowie } \int_X g(x)\,dx = \text{R-}\int^\infty_1 g(x)\,dx\]
 Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
 \[\int_X f_n\,dx\to 0 \text{ und } \int_X\lvert f_n\rvert\,dx\to 0 \ (n\to\infty) \]
@@ -155,17 +155,17 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
 
 \begin{beweis}
 \begin{enumerate}
-	\item 	Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes 				\(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich: 
+	\item 	Sei \(x\in X\). Es exisitert ein $m\in\mdn$, für das \(x\in A_m\) ist und somit auch \(x\in A_n \) für jedes \(n\geq m\). Nach der Definition von $f_n$ gilt dann \(f_n(x)=f(x)\) für jedes 				\(n\geq m\) und somit \(f_n\to f\) auf $X$. Damit gilt auch \[\lvert f_n\rvert\to\lvert f\rvert \text{ auf } X\] Durch die Konstruktion der $f_n$ ergibt sich:
 		\[ \lvert f_n\rvert=\lvert \mathds{1}_{A_n}f\rvert=\mathds{1}_{A_n}\lvert f\rvert \leq \mathds{1}_{A_{n+1}}\lvert f\rvert=\lvert f_{n+1}\rvert \]
 		Dann gilt:
 		\[ \int_X \lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.6}}=\lim\int_X \lvert f_n\rvert\,dx = \lim\int_{A_n} \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}<\infty \]
-		Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine 		
+		Es folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist und somit ist nach \ref{Satz 4.9} auch $f$ integrierbar. Da \(\lvert f_n\rvert \leq \lvert f\rvert\) auf $X$ für jedes \(\natn\) gilt, ist $f$ eine
 		integrierbare Majorante und es folgt mit \ref{Satz 6.2}:
 		\[ \int_Xf\,dx = \lim\int_Xf_n\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \]
 	\item 	Setze \(A_n:=[a,n]\ (\natn)\) und es gelte o.B.d.A.: \(a\leq 1\). Dann gilt:
 		\[ \int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \text{R-}\int^n_a \lvert f\rvert\,dx \overset{Vor.}\longrightarrow \text{R-}\int^\infty_a \lvert f\rvert\,dx \]
 		D.h.\(\left(\int_{A_n}\lvert f\rvert\,dx\right)\) ist beschränkt. Definiere \(f_n:=\mathds{1}_{A_n}f\) mit \ref{Satz 4.13} folgt daraus, dass $f_n$ integrierbar ist. Weiter folgt
-		aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und 
+		aus (1) \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) (denn es ist \(f(X)\subseteq\mdr\)) und
 		\[ \text{L-}\int_Xf\,dx = \lim\int_{A_n}f\,dx \overset{\ref{Satz 4.13}}= \lim\left(\text{R-}\int^n_a f\,dx \right) = \text{R-}\int^\infty_a f\,dx. \]
 \end{enumerate}
 \end{beweis}
@@ -177,12 +177,12 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
 \begin{folgerung}
 \label{Folgerung 6.4}
 \begin{enumerate}
-	\item 	\((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und 
+	\item 	\((f_n)\) sei eine Folge integrierbarer Funktionen \(f_n\colon X\to\imdr\), \(g\colon X\to[0,+\infty]\) sei ebenfalls integrierbar und
 		\[g_n:=f_1+f_2+\dots+f_n \ (\natn)\]
-		Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$  konvergiert und 
+		Weiter sei $N$ eine Nullmenge in $X$ so, dass \((g_n(x))\) für jedes \(x\in X\setminus N\) in $\imdr$  konvergiert und
 		\[\lvert g_n(x)\rvert \leq g(x) \text{ für jedes } \natn \text{ und } x\in X\setminus N\]
 		Setzt man
-		\[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):=	
+		\[f(x):=\sum^\infty_{j=1}f_j(x):=
 		\begin{cases}
 			0, 				& \text{falls } x\in N 			\\
 			\lim\limits_{n\to\infty}g_n(x), & \text{falls } x\in X\setminus N
@@ -198,7 +198,7 @@ Weiter folgen aus \ref{Satz 6.2}:
 \begin{enumerate}
 	\item 	Fast überall gelten \(g_n\to f\) und für jedes \(\natn\) auch \(\lvert g_n\rvert \leq g\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
 		\begin{align*}
-			\int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx 
+			\int_X \left(\sum^\infty_{j=1}f_j(x)\right) \,dx
 			&= \int_Xf\,dx  					\\
 			&\overset{\ref{Satz 6.2}}= \lim\int_Xg_n\,dx 	\\
 			&= \lim\int_X\left(\sum^n_{j=1}f_j\right)\,dx 	\\

documents/Analysis III/Kapitel-7.tex

@@ -6,7 +6,7 @@ Sei \(U\in\fb_k, t_0\in U\) und es sei \(f\colon U\times X\to \mdr\) eine Funkti
 \begin{enumerate}
 	\item 	Für jedes \(t\in U\) ist \(x\mapsto f(t,x)\) messbar.
 	\item 	Es existiert eine Nullmenge \(N\subseteq X\) so, dass \(t\mapsto f(t,x)\) für jedes \(x\in X\setminus N\) stetig in $t_0$ ist.
-	\item 	Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für 
+	\item 	Es existiert eine integrierbare Funktion \(g\colon X\to [0,\infty]\) und zu jedem \(t\in U\) existiert eine Nullmenge \(N_t\subseteq X\) so, dass für
 		jedes \(t\in U\) und jedes \(x\in X\setminus N_t\) gilt: \[ \lvert f(t,x)\rvert \leq g(x) \]
 \end{enumerate}
 Dann ist \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar. Ist \(F\colon U\to\mdr\) definiert durch
@@ -17,31 +17,31 @@ so ist $F$ stetig in $t_0$.
 Also: \[ \lim\limits_{t\to t_0}\int_X f(t,x)\,dx = \lim\limits_{t\to t_0}F(t)=F(t_0) = \int_X f(t_0,x)\,dx =\int_X\lim\limits_{t\to t_0} f(t,x)\,dx \]
 
 \begin{beweis}
-Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und 
+Aus (1) und (3) folgt, dass \(x\mapsto f(t,x)\) für jedes \(t\in U\) integrierbar ist (zur Übung). Sei \((t_n)\) eine Folge in $U$ mit \(t_n\to t_0\) und
 \[g_n(x):=f(t_n,x) \ (\natn, x\in X) \]
 Setze \[ \tilde N := N\cup \left(\bigcup^\infty_{n=1}N_{t_n} \right) \]
-Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt 
+Aus \ref{Lemma 5.1} folgt, dass \(\tilde N\) eine Nullmenge ist. Voraussetzung (2) liefert \(g_n(x)\to f(t_0,x)\) für jedes \(x\in X\setminus\tilde N\), also gilt
 \[g_n(x)\to f(t_0,x) \text{ fast überall auf } X\]
 Voraussetzung (3) liefert \(\lvert g_n(x)\rvert = \lvert f(t_n,x)\rvert \leq g(x) \) für jedes \(\natn\) und \(x\in X\setminus\tilde N\). Aus \ref{Satz 6.2} folgt
 \[ F(t_n) = \int_X f(t_n,x)\,dx = \int_Xg_n\,dx \longrightarrow \int_X f(t_0,x)\,dx = F(t_0) \]
 \end{beweis}
 
 \textbf{Bezeichnung}\\
-Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar 
-(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und 
+Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a:=\inf I\) und \(b:=\sup I\), wobei \(a=-\infty\) oder \(b=+\infty\) zugelassen sind. Weiter sei \(f\colon I\to\imdr\) integrierbar
+(oder $f$ ist messbar und \(\geq 0\)) und
 \[\int\limits^b_af(x)\,dx:=\int\limits_{(a,b)}f_{|(a,b)}(x)\,dx \]
-Dann ist 
+Dann ist
 \[ \int_I f(x) dx = \int_{(a,b)} f(x) dx\]
-Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \] 
+Ist z.B. \(I=[a,b)\), dann gilt, da \(\{a\}\) eine Nullmenge ist: \[\int_If\,dx=\int_{\{a\}}f\,dx + \int_{(a,b)}f\,dx= \int_{(a,b)}f\,dx \]
 
 \begin{folgerung}
 \label{Folgerung 7.2}
-Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch 
+Sei \(I\subseteq\mdr\) ein Intervall, \(a=\inf I\) und \(f\colon I\to\mdr\) sei integrierbar. Definiert man \(F\colon I\to\mdr\) durch
 \[F(t):=\int^t_a f(x)\,dx,\] so ist \(F\in C(I)\).
 \end{folgerung}
 
 \begin{beweis}
-Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und 
+Für \(x,t\in I\) definiere \(h(t,x):=\mathds{1}_{(a,t)}f(x)\). Dann ist \(F(t)=\int_I h(t,x)\,dx\) und
 \[\lvert h(t,x)\rvert = \mathds{1}_{(a,t)}\cdot \lvert f(x)\rvert \leq \lvert f(x)\rvert \text{ für alle } t,x\in I\]
 Aus \ref{Satz 4.9} folgt, dass \(\lvert f\rvert\) integrierbar ist. Sei \(t_0\in I\) und \(N:=\{t_0\}\), also eine Nullmenge.
 Dann ist \(t\mapsto h(t,x)\) für jedes \(x\in I\setminus N\) stetig in \(t_0\) (zur Übung). Die Behauptung folgt aus \ref{Satz 7.1}.

documents/Analysis III/Kapitel-8.tex

@@ -44,7 +44,7 @@ C_y=	\begin{cases}
 		{\emptyset, 	\text{falls } x\notin A}\\
 		{B,		\text{falls } x\in A}
 	 \end{cases}
-\end{align*}	
+\end{align*}
 
 \begin{lemma}
 \label{Lemma 8.3}
@@ -74,11 +74,11 @@ folgt aus \ref{Lemma 8.1} und \ref{Lemma 8.3}.
 \end{beweis}
 
 %vielleicht funktioniert die nummerierung jetzt
-\begin{defusatz}[ohne Beweis] 
+\begin{defusatz}[ohne Beweis]
 \label{Satz 8.5}
 Sei \(C\in\fb_d\). Die Funktionen \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) seien unter Beachtung von \ref{Lemma 8.2} definiert durch:
 \begin{align*}
-\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l) 
+\varphi_C(x):=\lambda_l(C^x) \ \ (x\in\mdr^k) & & \psi_C(x):=\lambda_k(C_y) \ \ (y\in\mdr^l)
 \end{align*}
 Dann sind \(\varphi_C\) und \(\psi_C\) messbar.
 \end{defusatz}

documents/Analysis III/Kapitel-9.tex

@@ -26,7 +26,7 @@ Das heißt:
 			&\overset{Ana I}= \pi r^2
 		\end{align*}
 	\item 	Sei \(\emptyset\neq X\subseteq\mdr^d\). $X$ sei kompakt, also \(X\in\fb_d\). Weiter sei \(f\colon X\to[0,\infty)\) stetig, woraus mit \ref{Satz 4.11} \(f\in\mathfrak{L}^1(X)\) folgt.
-		Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\] 
+		Setze \[C:=\{(x,y):x\in X, 0\leq y\leq f(x)\}\]
 		$C$ ist kompakt und somit gilt: \(C\in\fb_{d+1}\).\\
 		Ist \(x\notin X\), so ist \(C^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(C^x)=0\).\\
 		Ist \(x\in X\), so ist \(C^x=[0,f(x)]\), also \(\lambda_1(C^x)=f(x)\). Damit gilt
@@ -35,7 +35,7 @@ Das heißt:
 		\[C:=\{(x,y)\in\mdr^2:x\in I, 0\leq y\leq f(x)\}\]
 		Aus Beispiel (2) und \ref{Satz 4.13} folgt \[\lambda_2(C)=\text{R-}\int_a^bf(x)\,dx \]
 	\item 	$X$ und $f$ seien wie in Beispiel (2). Setze \[G:=\{(x,f(x)):x\in X\}\]
-		$G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\). 
+		$G$ ist kompakt, also ist \(G\in\fb_2\).
 		Ist \(x\notin X\), so ist \(G^x=\emptyset\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
 		Ist \(x\in X\), so ist \(G^x=\{f(x)\}\), also \(\lambda_1(G^x)=0\).
 		Aus \ref{Satz 9.1} folgt \[\lambda_2(G)=\int_\mdr\lambda_1(G^x)\,dx=0\]
@@ -58,7 +58,7 @@ Sei $(A_j)$ eine disjunkte Folge in $\fb_d$. Dann ist $(A_j^x)$ ebenfalls disjun
 D.h. $\mu$ ist ein Maß auf $\fb_d$. Analog lässt sich zeigen, dass $\nu$ ein Maß auf $\fb_d$ ist.\\
 Sei nun $I\in\ci_d$, dann existieren $I'\in\ci_k, I''\in\ci_l$ mit $I=I'\times I''$. Aus §\ref{Kapitel 8} folgt:
 \begin{align*}
-I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\ 
+I^x=\begin{cases} I''&,x\in I'\\
 \emptyset &,x\not\in I'\end{cases}
 \end{align*}
 Also ist $\lambda_l(I^x)=\lambda_l(I'')\cdot\mathds{1}_{I'}(x)$ und damit:
@@ -111,7 +111,7 @@ Also folgt aus \ref{Satz 3.4} die Messbarkeit von $\tilde f$.
 \begin{beispiel}
 \index{Rotationskörper}
 \begin{enumerate}
-\item Sei $r>0$ und 
+\item Sei $r>0$ und
 \[K:=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2<r^2\}\]
 Dann ist $K$ offen, also $K\in\fb_2$ und es gilt:
 \[\partial K=\overline{K}\setminus K=\{(x,y)\in\mdr^2\mid x^2+y^2=r^2\}\in\fb_2\]
@@ -120,7 +120,7 @@ Damit enthält die Menge $(\partial K)_y$ für alle $x\in\mdr$ höchstens zwei E
 Mit $\overline K=(\partial K) \dot\cup K$ folgt dann
 \[\lambda_2(K)=\lambda_2(\partial K)+\lambda_2(\overline K)=\lambda_2(\overline K)=\pi r^2\]
 Sei nun $A\in\fb_2$ mit $K\subseteq A\subseteq\overline K$, dann ist $\lambda_2(A)=\pi r^2$.
-\item Sei $r>0$ und 
+\item Sei $r>0$ und
 \[K:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2+z^2\le r^2\}\]
 Dann ist $K$ abgeschlossen, also $K\in\fb_3$.\\
 \textbf{Fall $|z|>r$:} Es ist $K_z=\emptyset$, also $\lambda_2(K_z)=0$.\\
@@ -146,7 +146,7 @@ und damit $\lambda_2(V_z)=\pi f(z)^2$.\\
 Aus \ref{Satz 9.1} folgt dann:
 \begin{align*}
 \lambda_3(V)&=\int_\mdr \lambda_2(V_z)\text{ d}z\\
-&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z 
+&= \pi\int_a^b f(z)^2\text{ d}z
 \end{align*}
 \item Sei $h>0$, $I=[0,h]$ und $f(z)=\frac rhz$. Definiere den Kegel
 \[V:=\{(x,y,z)\in\mdr^3\mid x^2+y^2\le \frac{r^2}{h^2}z^2\}\]

documents/Einnahmenueberschussrechnung/EUR.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
     \fancyhead{}
     \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
 }
- 
+
 \setlength{\headheight}{15pt} % fixes \headheight warning
 \lhead{\Vorname{}~\Nachname{}, \Strasse{}, \PLZ{}~\Ort}
 \rhead{Id-Nr. \Idnr}

documents/Einnahmenueberschussrechnung/Einnahmenueberschussrechnung.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 \usepackage[ngerman, num]{isodate} % get DD.MM.YYYY dates
 \usepackage{pdfpages}  % Signatureinbingung und includepdf
 \usepackage{myInformation}
- 
+
 % pdfinfo
 \pdfinfo{
    /Author (\Nachname, \Vorname)
@@ -18,7 +18,7 @@
 \signature{\Vorname~\Nachname}
 \setkomavar{customer}[Steuernummer (Id-Nr.)]{\Idnr}
 \backaddress{\Vorname~\Nachname, \Strasse~\Hausnummer, \PLZ~\Ort}
- 
+
 % Begin document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{document}
     \begin{letter}{\Empfaenger \\ \EStrasse \\ \EPLZ~\EOrt}
@@ -26,7 +26,7 @@
     \subject{Einnahmenüberschussrechnung \Year}
     \opening{Sehr geehrte Damen und Herren,}
 
-    Im Anhang befindet sich die Überschussrechnung von \Year. 
+    Im Anhang befindet sich die Überschussrechnung von \Year.
 
     \closing{Mit freundlichen Grüßen,}
     \end{letter}

documents/Einnahmenueberschussrechnung/README.md

@@ -1,5 +1,5 @@
 * Einmalig müssen Parameter in der `myInformation.tex` bearbeitet werden.
-* Dann nur noch jedes Jahr die vier `.csv`-Dateien und gegebenenfalls 
+* Dann nur noch jedes Jahr die vier `.csv`-Dateien und gegebenenfalls
   unter `Einnahmenueberschussrechnung.tex` Anmerkungen machen
 
 Tags: Steuer, Steuererklärung, LaTeX, Finanzen, EÜR

documents/Feedback/Feedback.tex

@@ -19,10 +19,10 @@
 \newcommand\yourTutorial{10}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
-\hypersetup { 
-  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
-  pdfkeywords = {Feedback}, 
-  pdftitle    = {Feedback} 
+\hypersetup {
+  pdfauthor   = {Martin Thoma},
+  pdfkeywords = {Feedback},
+  pdftitle    = {Feedback}
 }
 
 \pagestyle{fancy}% eigenen Seitestil aktivieren}
@@ -74,7 +74,7 @@ Diese Themen sollten wiederholt werden (z.B. Arrays, for/while Schleifen, Ausdr
   \hfill\vspace{3cm}
 \end{framed}
 
-\noindent \textbf{Andere Kommentare}: z.B. Was ist unklar? 
+\noindent \textbf{Andere Kommentare}: z.B. Was ist unklar?
 Was war heute gut / schlecht?
 \begin{framed}
   \hfill\vspace{3cm}

documents/GeoTopo/Definitionen.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ Folgende Definition wurde dem Skript von Herrn Prof.~Dr.~Leuzinger für
 Lineare Algebra entnommen:
 
 \begin{definition}\xindex{Abbildung!affine}%
-	Es seien $V$ und $W$ $\mdk$-Vektorräume und $\mda(V)$ und $\mda(W)$ die 
+	Es seien $V$ und $W$ $\mdk$-Vektorräume und $\mda(V)$ und $\mda(W)$ die
 	zugehörigen affinen Räume. Eine Abbildung $f:V \rightarrow W$ heißt \textbf{affin},
 	falls für alle $a, b \in V$ und alle $\lambda, \mu \in \mdk$ mit $\lambda + \mu = 1$ gilt:
 	\[f(\lambda a + \mu b) = \lambda f(a) + \mu f(b)\]
@@ -36,13 +36,13 @@ Lineare Algebra entnommen:
 \end{definition}
 
 \begin{satz*}[Zwischenwertsatz]\xindex{Zwischenwertsatz}%
-	Sei $a<b$ und $f \in\ C[a, b]:=C([a, b])$, weiter sei $y_0 \in \mdr$ und 
-	$f(a) < y_0 < f(b)$ oder $f(b) < y_0 < f(a)$. Dann existiert ein 
+	Sei $a<b$ und $f \in\ C[a, b]:=C([a, b])$, weiter sei $y_0 \in \mdr$ und
+	$f(a) < y_0 < f(b)$ oder $f(b) < y_0 < f(a)$. Dann existiert ein
 	$x_0 \in [a, b]$ mit $f(x_0) = y_0$.
 \end{satz*}
 
 \begin{definition}\xindex{Eigenwert}\xindex{Eigenvektor}%
-	Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mdk$ und $f: V \rightarrow V$ eine 
+	Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mdk$ und $f: V \rightarrow V$ eine
 	lineare Abbildung.
 
 	$v \in V \setminus \Set{0}$ heißt \textbf{Eigenvektor} $:\Leftrightarrow \exists \lambda \in \mdk: f(v) = \lambda v$.

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -39,10 +39,10 @@
 \usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry}
 \usepackage{../shortcuts}
 
-\hypersetup{ 
-  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
-  pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, 
-  pdftitle    = {Fragen zu Definitionen} 
+\hypersetup{
+  pdfauthor   = {Martin Thoma},
+  pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
+  pdftitle    = {Fragen zu Definitionen}
 }
 \allowdisplaybreaks
 
@@ -73,7 +73,7 @@ $f:|K| \rightarrow |L|$
 mit $f(\Delta) \notin L$?}
 
 \section*{18.) ÜB 1, Aufgabe 2}
-\underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$. 
+\underline{Vor.:} Es sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $A \subseteq X$.
 Weiter bezeichne $\fT$ die von $d$ auf $X$ erzeugte Topologie $\fT'$, die von
 der auf $A \times A$ eingeschränkten Metrik $d|_{A \times A}$ erzeugte Topologie.
 
@@ -87,7 +87,7 @@ Sei $U \in \fT|_A = \Set{V \cap A | V \in \fT}$.\\
 Dann ex. also $V \in \fT$ mit
 $U = V \cap A$.\\
 Sei $x \in U$.\\
-Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit 
+Da $V \in \fT$, ex. nach Bemerkung~3 ein $r > 0$ mit
 
 \begin{align*}
     \fB_r(x) := \Set{y \in X | d(x,y) < r} &\subseteq V\\
@@ -123,7 +123,7 @@ Da $x \in U$ beliebig gewählt war gilt: $\fT|_A \subseteq \fT'$
               \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\]
               ein Homöomorphismus ist.
         \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
-              \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn 
+              \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn
               $\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
     \end{defenum}
 \end{definition}
@@ -172,7 +172,7 @@ $\Rightarrow$ Widerspruch
               Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer.
 
               \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
-                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
+                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
                       $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
               \enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung
               direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner
@@ -189,7 +189,7 @@ $\Rightarrow$ Widerspruch
               \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\]
 
               \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
-                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
+                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
                       $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
               \enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz.
 
@@ -207,7 +207,7 @@ $\Rightarrow$ Widerspruch
   \begin{enumerate}
     \item Deformationsretrakt: Das hatten wir nicht in der Vorlesung, oder? Ich meine mich zwar an das Wort zu erinnern (aus einem Übungsblatt? Einem Tutorium?) Könntest du bitte nochmals erklären was das ist?
 Das ist zwar auf Blatt 7 und 8 vorgekommen, aber sonst nie.
-    \item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"? 
+    \item Damit verbunden: Was genau ist eine "Einbettung"?
     \item Was bedeutet der Pfeil: $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2\;\;\;$ Einbettung der Kreislinie in die Ebene
     \item Was ist eine Inklusionsabbildung?
     \item Was ist ein Homotopietyp? (Ist das eventuell die Anzahl der Homotopieklassen?)

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -11,7 +11,7 @@
         \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
               so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
     \end{defenumprops}
-    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$. 
+    Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$.
 
     $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
 \end{definition}
@@ -44,7 +44,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
         \item Jeder metrische Raum $(X, d)$ ist auch ein topologischer Raum.
         \item Für eine Menge $X$ heißt $\fT_{\ts{Diskret}} = \powerset{X}$ \textbf{diskrete Topologie}\xindex{Topologie!diskrete}.
         \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \textbf{Zariski-Topologie} \xindex{Topologie!Zariski}\\
-              Beobachtungen: 
+              Beobachtungen:
             \begin{itemize}
                 \item $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
                 \item Es gibt keine disjunkten offenen Mengen in $\fT_Z$.
@@ -77,10 +77,10 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begin{beispiel}
     \begin{bspenum}
-        \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und 
-              $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und 
+        \item Sei $X = \mdr$ mit euklidischer Topologie und
+              $M = \mdq$. Dann gilt: $\overline{M} = \mdr$ und
               $M^\circ = \emptyset$
-        \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt: 
+        \item Sei $X = \mdr$ und $M=(a,b)$. Dann gilt:
               $\overline{M} = [a,b]$
         \item Sei $X = \mdr, \fT = \fT_Z$ und $M = (a,b)$. Dann gilt:
               $\overline{M} = \mdr$
@@ -102,14 +102,14 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \begin{beispiel}[Basis und Subbasis]
     \begin{bspenum}
         \item Jede Basis ist auch eine Subbasis, z.B.\\
-              $S=\Set{ (a,b) | a,b \in \mdr, a<b }$ ist für $\mdr$ mit der 
+              $S=\Set{ (a,b) | a,b \in \mdr, a<b }$ ist für $\mdr$ mit der
               Standardtopologie sowohl Basis als auch Subbasis.
         \item Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
               \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
               ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
-        \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit 
+        \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit
               $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, \Set{0,2}, X}$.\\
-              Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von 
+              Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von
               $\fT$, da gilt:
               \begin{itemize}
                 \item $\calS \subseteq \fT$
@@ -132,11 +132,11 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $Y \subseteq X$.\\
     $\fT_Y := \Set{U \cap Y | U \in \fT}$ ist eine Topologie auf $Y$.
 
-    $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein 
+    $\fT_Y$ heißt \textbf{Teilraumtopologie} und $(Y, \fT_Y)$ heißt ein
     \textbf{Teilraum} von $(X, \fT)$.
 \end{definition}
 
-Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder 
+Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 \textit{Unterraumtopologie} genannt.
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -190,14 +190,14 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 
 \begin{beispiel}
     $X = \mdr, a \sim b :\Leftrightarrow a-b \in \mdz$
-    
+
     \input{figures/number-ray-circle-topology}
 
     $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}\xindex{Torus}%
-    Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$ 
+    Sei $X = \mdr^2$ und $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \gdw x_1 - x_2 \in \mdz$
     und $y_1 - y_2 \in \mdz$. Dann ist $X /_\sim$ ein Torus.
 \end{beispiel}
 
@@ -234,7 +234,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 
 \begin{definition}\xindex{Isometrie}\label{def:Isometrie}%
     Seien $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ metrische Räume und $\varphi: X \rightarrow Y$
-    eine Abbildung mit 
+    eine Abbildung mit
     \[\forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1, x_2) = d_Y(\varphi(x_1), \varphi(x_2)) \]
 
     Dann heißt $\varphi$ eine \textbf{Isometrie} von $X$ nach $Y$.
@@ -252,7 +252,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     0 & \text{falls } x=y\\
     1 & \text{falls } x \neq y
     \end{cases}\]
-    die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die 
+    die \textbf{diskrete Metrik}. Die Metrik $d$ induziert die
     \textbf{diskrete Topologie}.
 \end{beispiel}
 \clearpage
@@ -280,7 +280,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 \end{beispiel}
 \clearpage
 \begin{beispiel}[SNCF-Metrik\footnotemark]\xindex{Metrik!SNCF}
-    $X = \mdr^2$ 
+    $X = \mdr^2$
 
     \input{figures/sncf-metrik}
 \end{beispiel}
@@ -293,7 +293,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft}
-    Metrische Räume sind hausdorffsch, wegen 
+    Metrische Räume sind hausdorffsch, wegen
     \[d(x, y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon > 0: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
 \end{bemerkung}
 
@@ -337,7 +337,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     Sei $(x_n)$ eine konvergierende Folge und $x$ und $y$ Grenzwerte der Folge.
 
     Da $X$ hausdorffsch ist, gibt es Umgebungen $U_x$ von $x$ und $U_y$
-    von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$ falls $x \neq y$. Da 
+    von $y$ mit $U_x \cap U_y = \emptyset$ falls $x \neq y$. Da
     $(x_n)$ gegen $x$ und $y$ konvergiert, existiert ein
     $n_0$ mit $x_n \in U_x \cap U_y$ für alle $n \geq n_0$
     $\Rightarrow x = y \qed$
@@ -345,14 +345,14 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 
 \section{Stetigkeit}\index{Stetigkeit|(}
 \begin{definition}
-    Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und 
+    Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und
     $f:X \rightarrow Y$ eine Abbildung.
 
     \begin{defenum}
         \item \label{def:stetigkeit} $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige}
               $:\gdw \forall U \in \fT_Y: f^{-1} (U) \in \fT_X$.
         \item \label{def:homoeomorphismus} $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
-              und es eine 
+              und es eine
               stetige Abbildung  $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
               $g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$.
     \end{defenum}
@@ -378,9 +378,9 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     \enquote{$\Rightarrow$}: Sei $x \in X, \varepsilon > 0$ gegeben
     und $U := \fB_\varepsilon(f(x))$.\\
     Dann ist $U$ offen in $Y$.\\
-    $\xRightarrow{\crefabbr{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$  ist 
+    $\xRightarrow{\crefabbr{def:stetigkeit}} f^{-1}(U)$  ist
     offen in $X$. Dann ist $x \in f^{-1}(U)$.\\
-    $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass 
+    $\Rightarrow \exists \delta > 0$, sodass
     $\fB_\delta(x) \subseteq f^{-1} (U)$\\
     $\Rightarrow f(\fB_\delta(x)) \subseteq U$\\
     $\Rightarrow \Set{y \in X | d_X(x,y) < \delta} \Rightarrow$ Beh.
@@ -415,18 +415,18 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
               \begin{figure}[htp]
                 \centering
                 \input{figures/topology-continuous-mapping}
-                \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren 
+                \caption{Beispiel einer stetigen Funktion $f$, deren
                          Umkehrabbildung $g$ nicht stetig ist.}
                 \label{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}
               \end{figure}
-              
+
               Die Umkehrabbildung $g$ ist nicht stetig, da $g^{-1}(U)$
               nicht offen ist (vgl. \cref{fig:nicht-stetige-umkehrabbildung}).
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 
 \begin{bemerkung}[Verkettungen stetiger Abbildungen sind stetig]
-    Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und 
+    Seien $X, Y, Z$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ und
     $g:Y \rightarrow Z$ stetige Abbildungen.
 
     Dann ist $g \circ f: X \rightarrow Z$ stetig.
@@ -449,10 +449,10 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 
 \begin{bemerkung}
     \begin{bemenum}
-        \item \xindex{Homöomorphismengruppe}Für jeden topologischen Raum $X$ ist 
+        \item \xindex{Homöomorphismengruppe}Für jeden topologischen Raum $X$ ist
               \[\Homoo(X) := \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist Homöomorphismus}}\]
               eine Gruppe.
-        \item \xindex{Isometrie}Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen 
+        \item \xindex{Isometrie}Jede Isometrie $f:X \rightarrow Y$ zwischen metrischen
               Räumen ist ein Homöomorphismus.
         \item \xindex{Isometriegruppe}$\Iso(X) := \Set{f:X \rightarrow X | f \text{ ist Isometrie}}$ ist
               eine Untergruppe von $\Homoo(X)$ für jeden
@@ -462,7 +462,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 
 \begin{bemerkung}[Projektionen sind stetig]
     Seien $X, Y$ topologische Räume. $\pi_X: X \times Y \rightarrow X$
-    und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen 
+    und $\pi_Y: X \times Y \rightarrow Y$ die Projektionen
     \[\pi_X: (x,y) \mapsto x \text{ und } \pi_Y: (x,y) \mapsto y\]
     Wird $X \times Y$ mit der Produkttopologie versehen, so sind $\pi_X$
     und $\pi_Y$ stetig.
@@ -482,8 +482,8 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
-    Nach Definition ist 
-    $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$ 
+    Nach Definition ist
+    $U \subseteq \overline{X}$ offen $\gdw \pi^{-1}(U) \subseteq X$
     offen. $\qed$
 \end{beweis}
 
@@ -498,7 +498,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
         S^n &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \|x\| = 1}\\
             &= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2 = 1}
     \end{align*}
-    
+
     \Obda sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 0\\1\end{pmatrix}$. Die
     Gerade durch $N$ und $P$ schneidet die Ebene $H$ in genau einem
     Punkt $\hat{P}$. $P$ wird auf $\hat{P}$ abgebildet.
@@ -523,7 +523,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     schneiden sich $L_P$ und $H$ in genau einem Punkt $\hat{P}$.
 
     Es gilt: $f$ ist bijektiv und die Umkehrabbildung ist ebenfalls
-    stetig.    
+    stetig.
 \end{beispiel}
 \index{Stetigkeit|)}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -533,7 +533,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \begin{definition}\xindex{Raum!zusammenhaengender@zusammenhängender}\xindex{Menge!zusammenhaengende@zusammenhängende}%
     \begin{defenum}
         \item Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen,
-              nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit 
+              nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit
               $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ und $U_1 \cup U_2 = X$.
         \item Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$
               als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist.
@@ -542,7 +542,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 
 \begin{bemerkung}
     $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine abgeschlossenen,
-    nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ 
+    nichtleeren Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$
     und $A_1 \cup A_2 = X$.
 \end{bemerkung}
 
@@ -553,20 +553,20 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
             \underline{Annahme}: $\mdr^n = U_1 \dcup U_2$ mit $\emptyset \neq U_1, U_2 \in \fT_{\ts{Euklid}}$ existieren.
 
             Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$
-            und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als 
+            und $y$. Sei $V = [x,y]$. Nun betrachten wir $V \subsetneq \mdr^n$ als
             (metrischen) Teilraum mit der Teilraumtopologie $\fT_V$.
-            Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der 
+            Somit gilt $U_1 \cap [x,y] \in \fT_V$ wegen der Definition der
             Teilraumtopologie.
 
             Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$,
-            aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von 
+            aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von
             $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen.
         \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn
               $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$
         \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend.
-        \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da 
+        \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da
               $(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq$
-        \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$, 
+        \item $\Set{x}$ ist zusammenhängend für jedes $x \in X$,
               wobei $X$ ein topologischer Raum ist.
         \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend.\xindex{Topologie!Zariski}
     \end{bspenum}
@@ -590,7 +590,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     $\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2$\\
     $\Rightarrow A_1 = \emptyset$\\
     $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A_1 \neq \emptyset$\\
-    $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog 
+    $\Rightarrow A \cap A_1 \neq \emptyset$ und analog
                 $A \cap A_2 \neq \emptyset$\\
     $\Rightarrow$ Widerspruch zu $A$ ist zusammenhängend. $ \qed$
 \end{beweis}
@@ -614,7 +614,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 
 \begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum.
-    
+
     Für $x \in X$ sei $Z(x) \subseteq X$ definiert durch
     \[Z(x) := \bigcup_{\mathclap{\substack{A \subseteq X \text{zhgd.}\\ x \in A}}} A\]
 
@@ -647,7 +647,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
               \begin{align*}
                 \Rightarrow Z(x) \cup Z(y) &\subseteq Z(x) \Rightarrow Z(y) \subseteq Z(x)\\
                                            &\subseteq Z(y) \Rightarrow Z(x) \subseteq Z(y)
-              \end{align*} 
+              \end{align*}
     \end{enumerate}
 
     $\qed$
@@ -678,7 +678,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede
     offene Überdeckung von $X$
     \[\fU = \Set{U_i}_{i \in I} \text{ mit } U_i \text{ offen in } X\]
-    eine endliche Teilüberdeckung 
+    eine endliche Teilüberdeckung
     \[\bigcup_{\mathclap{i \in J \subseteq I}} U_i = X \text{ mit } |J| \in \mdn\]
     besitzt.
 \end{definition}
@@ -688,24 +688,24 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 \begin{bemerkung}\label{abgeschlossen01IstKompakt}
-    Das Einheitsintervall $I := [0,1]$ ist kompakt bezüglich der 
+    Das Einheitsintervall $I := [0,1]$ ist kompakt bezüglich der
     euklidischen Topologie.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
 Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Überdeckung von $I$.
 
-Es genügt zu zeigen, dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass jedes 
+Es genügt zu zeigen, dass es ein $\delta > 0$ gibt, sodass jedes
 Teilintervall der Länge $\delta$ von $I$ in einem der $U_i$ enthalten ist.
-Wenn es ein solches $\delta$ gibt, kann man $I$ in endlich viele 
+Wenn es ein solches $\delta$ gibt, kann man $I$ in endlich viele
 Intervalle der Länge $\delta$ unterteilen und alle $U_i$ in die endliche
 Überdeckung aufnehmen, die Teilintervalle enthalten.
 
-Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes 
+Angenommen, es gibt kein solches $\delta$. Dann gibt es für jedes
 $n \in \mdn$ ein Intervall $I_n \subseteq [0,1]$ der Länge $\nicefrac{1}{n}$
 sodass $I_n \subsetneq U_i$ für alle $i \in J$.
 
-Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen 
+Sei $x_n$ der Mittelpunkt von $I_n$. Die Folge $(x_n)$ hat einen
 Häufungspunkt $x \in [0,1]$. Dann gibt es $i \in J$ mit $x \in U_i$.
 Da $U_i$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon > 0$, sodass $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$.
 Dann gibt es $n_0$, sodass gilt:
@@ -713,7 +713,7 @@ $\nicefrac{1}{n_0} < \nicefrac{\varepsilon}{2}$ und für unendlich viele\footnot
 $n\geq n_0: |x - x_n| < \nicefrac{\varepsilon}{2}$, also $I_n \subseteq (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U_i$
 für mindestens ein $n \in \mdn$.\footnote{Sogar für unendlich viele.}
 
-$\Rightarrow$ Widerspruch 
+$\Rightarrow$ Widerspruch
 
 Dann überdecke $[0,1]$ mit endlich vielen Intervallen $I_1, \dots, I_d$
 der Länge $\delta$. Jedes $I_j$ ist in $U_{ij}$ enthalten.
@@ -727,7 +727,7 @@ $\qed$
         \item $\mdr$ ist nicht kompakt.
         \item $(0,1)$ ist nicht kompakt.\\
               $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$
-        \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede 
+        \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede
               Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski}
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
@@ -770,12 +770,12 @@ $\qed$
 
     Die offenen Mengen $U_{x_0, y} \times V_{x_0, y}$ für festes $x_0$
     und alle $y \in Y$ überdecken $\Set{x_0} \times y$. Da $Y$ kompakt
-    ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es 
-    $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit 
+    ist, ist auch $\Set{x_0} \times Y$ kompakt. Also gibt es
+    $y_1, \dots, y_{m(x_0)}$ mit
     $\bigcup_{i=1}^{m(x_0)} U_{x_0, y_i} \times V_{x_0, y_i} \supseteq \Set{x_0} \times Y$.
 
     Sei ${\color{blue} U_{x_0}} := \bigcap_{i=1}^{m(x)} U_{x_0, y_i}$.
-    Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit 
+    Da $X$ kompakt ist, gibt es $x_1, \dots, x_n \in X$ mit
     $\bigcup_{j=1}^n U_{x_j} = X$\\
     $\Rightarrow \bigcup_{j=1}^k \bigcup_{i=1}^{m(x_j)} \underbrace{\left ( U_{x_j, y_i} \times V_{x_j, y_i} \right)}_{\mathclap{\text{Ein grün-oranges Kästchen}}} \supseteq X \times Y$\\
     $\Rightarrow \bigcup_j \bigcup_i W_i (x_j, y_i) = X \times Y \qed$
@@ -789,7 +789,7 @@ $\qed$
 \begin{beweis}
     \underline{z.~Z.:} Komplement ist offen
 
-    Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei 
+    Ist $X = K$, so ist $K$ abgeschlossen in $X$. Andernfalls sei
     $y \in X \setminus K$. Für jedes $x \in K$ seien $U_x$ bzw. $V_y$
     Umgebungen von $x$ bzw. von $y$, sodass $U_x \cap V_y = \emptyset$.
 
@@ -819,10 +819,10 @@ $\qed$
 \begin{beweis}
     Sei $(V_i)_{i \in I}$ offene Überdeckung von $f(K)$\\
     $\xRightarrow{f \text{ stetig}} (f^{-1}(V_i))_{i \in I}$ ist offene Überdeckung von $K$\\
-    $\xRightarrow{\text{Kompakt}}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$, 
+    $\xRightarrow{\text{Kompakt}}$ es gibt $i_1, \dots, i_n$,
     sodass $f^{-1}(V_{i_1}), \dots, f^{-1}(V_{i_n})$ Überdeckung von
     $K$ ist.\\
-    $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$ 
+    $\Rightarrow f(f^{-1}( V_{i_1})), \dots, f(f^{-1}(V_{i_n}))$
     überdecken $f(K)$.
 
     Es gilt: $f(f^{-1}(V)) = V \cap f(X) \qed$
@@ -839,7 +839,7 @@ $\qed$
 
     Da $\mdr^n$ und $\mdc^n$ hausdorffsch sind, ist $K$ nach
     \cref{hausdorffraumKompakteTeilmengeAbgeschlossen} abgeschlossen.
-    Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von 
+    Nach Voraussetzung kann $K$ mit endlich vielen offenen Kugeln von
     Radien 1 überdeckt werden $\Rightarrow K$ ist beschränkt.
 
     \enquote{$\Leftarrow$} Sei $A \subseteq \mdr^n$ (oder $\mdc^n$)
@@ -852,7 +852,7 @@ $\qed$
     Nach \cref{kompaktTimesKompaktIstKompakt} und
     \cref{abgeschlossen01IstKompakt} ist $W$ kompakt, also ist $A$
     nach \cref{abgeschlossenInKomaktIstKompakt} auch kompakt.
-    Genauso ist $Z$ kompakt, weil 
+    Genauso ist $Z$ kompakt, weil
     \[\Set{z \in \mdc | |z| \leq 1}\]
     homöomorph zu
     \[\Set{(x,y) \in \mdr^2 | \|(x,y)\| \leq 1}\]
@@ -864,11 +864,11 @@ $\qed$
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Wege und Knoten}\index{Knoten|(}
 \begin{definition}\xindex{Weg}\xindex{Weg!geschlossener}\xindex{Weg!einfacher}%
-    Sei $X$ ein topologischer Raum. 
+    Sei $X$ ein topologischer Raum.
     \begin{defenum}
         \item Ein \textbf{Weg} in $X$ ist eine stetige Abbildung $\gamma:[0,1] \rightarrow X$.
         \item $\gamma$ heißt \textbf{geschlossen}, wenn $\gamma(1) = \gamma(0)$ gilt.
-        \item $\gamma$ heißt \textbf{einfach}, wenn $\gamma|_{[0,1)}$ 
+        \item $\gamma$ heißt \textbf{einfach}, wenn $\gamma|_{[0,1)}$
               injektiv ist.
     \end{defenum}
 \end{definition}
@@ -901,11 +901,11 @@ $\qed$
     $A_1 \cup A_2 = X$. Sei $x \in A_1, y \in A_2, \gamma:[0,1] \rightarrow X$
     ein Weg von $x$ nach $y$.
 
-    Dann ist $C:= \gamma([0,1]) \subseteq X$ zusammenhängend, weil 
+    Dann ist $C:= \gamma([0,1]) \subseteq X$ zusammenhängend, weil
     $\gamma$ stetig ist.
     \[C = \underbrace{(C \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(C \cap A_2)}_{\ni y}\]
     ist Zerlegung in nichtleere, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen
-    $\Rightarrow$ Widerspruch 
+    $\Rightarrow$ Widerspruch
 
     \item Sei $X = \Set{(x,y) \in \mdr^2| x^2 + y^2 = 1 \lor y = 1 +2\cdot e^{-\frac{1}{10} x}}$.
 
@@ -943,7 +943,7 @@ $\qed$
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}[Hilbert-Kurve]\xindex{Hilbert-Kurve}%
-    Es gibt stetige, surjektive Abbildungen 
+    Es gibt stetige, surjektive Abbildungen
     $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$. Ein Beispiel ist die
     in \cref{fig:hilbert-curve} dargestellte Hilbert-Kurve.
 
@@ -952,7 +952,7 @@ $\qed$
 
 \begin{definition}\xindex{Jordankurve}\xindex{Jordankurve!geschlossene}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine
-    \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus 
+    \textbf{Jordankurve} in $X$ ist ein Homöomorphismus
     $\gamma: [0,1] \rightarrow C \subseteq X$ bzw.
     $\gamma: S^1 \rightarrow C \subseteq X$, wobei $C := \Bild{\gamma}$.
 \end{definition}
@@ -967,7 +967,7 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg.
 
 \begin{figure}[htp]
     \centering
-    \input{figures/topology-jordan} 
+    \input{figures/topology-jordan}
     \label{fig:jordan-kurvensatz}
     \caption{Die unbeschränkte Zusammenhangskomponente wird häufig inneres, die beschränkte äußeres genannt.}
 \end{figure}
@@ -993,15 +993,15 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg.
             \label{fig:knot-unknot}
         }%
         \subfloat[Kleeblattknoten]{
-            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png} 
+            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-trefoil-knot.png}
             \label{fig:knot-trefoil}
         }%
         \subfloat[Achterknoten]{
-            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png} 
+            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-eight-knot.png}
             \label{fig:knot-eight-knot}
         }%
         \subfloat[$6_2$-Knoten]{
-            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png} 
+            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-6-2-knot.png}
             \label{fig:knot-6-2}
         }
 
@@ -1014,20 +1014,20 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg.
     Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
     \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
     \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]
-    gibt mit 
+    gibt mit
     \begin{align*}
         H(z,0) &= \gamma_1(z) \;\;\;\forall z \in S^1\\
         H(z,1) &= \gamma_2(z) \;\;\;\forall z \in S^1
     \end{align*}
     und für jedes
-    feste $t \in [0,1]$ ist 
+    feste $t \in [0,1]$ ist
     \[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^3, z \mapsto H(z,t)\]
     ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen
     $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
-    Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und 
+    Sei $\gamma: [0,1] \rightarrow \mdr^3$ ein Knoten, $E$ eine Ebene und
     $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ eine Projektion auf $E$.
 
     $\pi$ heißt \textbf{Knotendiagramm} von $\gamma$, wenn gilt:
@@ -1047,16 +1047,16 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg.
 \begin{figure}[htp]
     \centering
     \subfloat[$\Omega_1$]{
-        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-1.png} 
+        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-1.png}
         \label{fig:reidemeister-1}
     }\qquad\qquad%
     \subfloat[$\Omega_2$]{
-        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-2.png} 
+        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-2.png}
         \label{fig:reidemeister-2}
     }
 
     \subfloat[$\Omega_3$]{
-        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-3.png} 
+        \includegraphics[height=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/reidemeister-move-3.png}
         \label{fig:reidemeister-3}
     }
 
@@ -1069,15 +1069,15 @@ Jede Jordankurve ist also ein einfacher Weg.
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}\xindex{Färbbarkeit}%
-    Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar}, 
-    wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann, 
-    dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3 
+    Ein Knotendiagramm heißt \textbf{3-färbbar},
+    wenn jeder Bogen von $D$ so mit einer Farbe gefärbt werden kann,
+    dass an jeder Kreuzung eine oder 3 Farben auftreten und alle 3
     Farben auftreten.
 \end{definition}
 
 \begin{figure}[htp]
     \centering
-    \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png} 
+    \includegraphics[height=0.3\linewidth, keepaspectratio]{figures/tricoloring.png}
 
     \caption{Ein 3-gefärber Kleeblattknoten}
     \label{fig:treefoil-knot-three-colors}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
               Familie $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$ von Karten auf $X$,
               sodass $\bigcup_{i \in I} U_i = X$.
         \item $X$ heißt (topologische) $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit},
-              wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der 
+              wenn $X$ hausdorffsch ist, eine abzählbare Basis der
               Topologie hat und einen $n$-dimensionalen Atlas besitzt.
     \end{defenum}
 \end{definition}
@@ -27,13 +27,13 @@ Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ä
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
-    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $(U, \varphi)$ mit $U \in \fT$ 
+    Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum und $(U, \varphi)$ mit $U \in \fT$
     und $\varphi:U \rightarrow V \subseteq \mdr^n$,
     wobei $V$ offen und $\varphi$ ein Homöomorphismus ist, eine Karte auf $X$.
 
     Da jede offene Teilmenge des $\mdr^n$ genauso mächtig ist wie der $\mdr^n$,
-    $\varphi$ als Homöomorphismus insbesondere bijektiv ist und Mengen, zwischen 
-    denen eine Bijektion existiert, gleich mächtig sind, ist $U$ genauso mächtig 
+    $\varphi$ als Homöomorphismus insbesondere bijektiv ist und Mengen, zwischen
+    denen eine Bijektion existiert, gleich mächtig sind, ist $U$ genauso mächtig
     wie der $\mdr^n$. Da jede Mannigfaltigkeit mindestens eine Karte hat, muss
     jede Mannigfaltigkeit $X$ mindestens so mächtig sein wie der $\mdr^n$. $\qed$
 \end{beweis}
@@ -59,8 +59,8 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
 
 \begin{beispiel}[Mannigfaltigkeiten]
     \begin{bspenum}
-        \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine 
-              $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus 
+        \item Jede offene Teilmenge $U \subseteq \mdr^n$ ist eine
+              $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einem Atlas aus
               einer Karte.
         \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
               mit einem Atlas aus einer Karte:
@@ -106,7 +106,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
               Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph
               zu einem offenem Intervall ist.
         \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist
-              keine Mannigfaltigkeit. 
+              keine Mannigfaltigkeit.
 
               Das Problem ist $(0,0)$. Wenn man diesen Punkt entfernt,
               zerfällt der Raum in 4 Zusammenhangskomponenten.
@@ -116,7 +116,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
               Mannigfaltigkeit.
         \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (0_1, 0_2)$ \label{bsp:mannigfaltigkeit8}
 
-              \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw 
+              \[U \subseteq X \text{ offen } \gdw
                 \begin{cases}
                     U \text{ offen in } \mdr \setminus \Set{0}, &\text{falls } 0_1 \notin U, 0_2 \in U\\
                     \exists \varepsilon > 0: (-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U &\text{falls } 0_1 \in U, 0_2 \in U
@@ -128,7 +128,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
               \underline{Aber:} $X$ ist nicht hausdorffsch!
               Denn es gibt keine disjunkten Umgebungen von $0_1$ und
               $0_2$.
-        \item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 
+        \item \label{bsp:gln-ist-mf}\xindex{Gruppe!allgemeine lineare}$\GL_n(\mdr)$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension
               $n^2$, weil offene Teilmengen von $\mdr^{n^2}$ eine
               Mannigfaltigkeit bilden.
     \end{bspenum}
@@ -141,12 +141,12 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
     Seien $X, Y$ $n$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, $U \subseteq X$
     und $V \subseteq Y$ offen, $\Phi: U \rightarrow V$ ein Homöomorphismus
     $Z = (X \dcup Y) /_\sim$ mit der von $u \sim \Phi(u)\;\forall{u \in U}$
-    erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten 
+    erzeugten Äquivalenzrelation und der von $\sim$ induzierten
     Quotiententopologie.
 
     $Z$ heißt \textbf{Verklebung} von $X$ und $Y$ längs $U$ und $V$.
     $Z$ besitzt einen Atlas aus $n$-dimensionalen Karten.
-    Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale 
+    Falls $Z$ hausdorffsch ist, ist $Z$ eine $n$-dimensionale
     Mannigfaltigkeit.
 \end{definition}
 
@@ -210,7 +210,7 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
               $G: U \rightarrow \mdr^n, \; u \mapsto (g(u), u)$
               eine stetige Abbildung auf eine offene Umgebung $V$ von
               $x$ in $X$ ist.
-    \end{enumerate}  
+    \end{enumerate}
     $\qed$
 \end{beweis}
 
@@ -244,8 +244,8 @@ Mannigfaltigkeiten können beliebig viele Elemente haben.
     Sei $X$ ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.
     $X$ heißt $n$-dimensionale \textbf{Mannigfaltigkeit mit Rand},
     wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
-    offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene 
-    Teilmenge von 
+    offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene
+    Teilmenge von
     \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\]
     ist.
 \end{definition}
@@ -275,7 +275,7 @@ $\mdr_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}.
 
 \begin{definition}\xindex{Rand}%
     Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand und
-    Atlas $\atlas$. Dann heißt 
+    Atlas $\atlas$. Dann heißt
     \[\partial X := \bigcup_{(U, \varphi) \in \atlas} \Set{x \in U | \varphi (x) = 0}\]
     \textbf{Rand} von $X$.
 \end{definition}
@@ -322,7 +322,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \textit{glatt} genannt.
 
 \begin{definition}%
-    Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ 
+    Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$
     ($k \in \mdn \cup \Set{\infty}$) mit Atlas $\atlas = (U_i, \varphi_i)_{i \in I}$.
 
     \begin{defenum}
@@ -330,10 +330,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
               mit $\atlas$, wenn alle Kartenwechsel $\varphi \circ \varphi_i^{-1}$
               und $\varphi_i \circ \varphi^{-1}$ ($i \in I$ mit $U_i \cap U \neq \emptyset$)
               differenzierbar von Klasse $C^k$ sind.
-        \item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf 
+        \item Die Menge aller mit $\atlas$ verträglichen Karten auf
               $X$ bildet einen maximalen Atlas der Klasse $C^k$. Er
               heißt \textbf{$C^k$-Struktur}\xindex{Ck-Struktur@$C^k$-Struktur} auf $X$.
-            
+
               Eine $C^\infty$-Struktur heißt auch \textbf{differenzierbare Struktur}\xindex{Struktur!differenzierbare}
               auf $X$.
     \end{defenum}
@@ -357,7 +357,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
               gibt, sodass $\psi \circ f \circ \varphi^{-1}$ stetig
               differenzierbar von Klasse $C^k$ in $\varphi(x)$ ist.
         \item $f$ heißt \textbf{differenzierbar}
-              (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$ 
+              (von Klasse $C^k$), wenn $f$ in jedem $x \in X$
               differenzierbar ist.
         \item $f$ heißt \textbf{Diffeomorphismus}\xindex{Diffeomorphismus},
               wenn $f$ differenzierbar von Klasse $C^\infty$ ist und
@@ -375,7 +375,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \begin{beweis}
     Seien $(U', \varphi')$ und $(V', \psi')$ Karten von $X$ bzw. $Y$
     um $x$ bzw. $f(x)$ mit $f(U') \subseteq V'$.
-    
+
     $\Rightarrow \psi' \circ f \circ (\varphi')^{-1}$\\
     $= \psi' \circ ( \psi^{-1} \circ \psi) \circ f \circ (\varphi^{-1} \circ \varphi ) \circ (\varphi')^{-1}$
 
@@ -397,8 +397,8 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 
 \begin{definition}\label{def:8.5}\xindex{Fläche!reguläre}\xindex{Parametrisierung!reguläre}%
     $S \subseteq \mdr^3$ heißt \textbf{reguläre Fläche} $:\gdw$
-    $\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen: 
-    $\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$: 
+    $\forall s \in S\;\exists $ Umgebung $V(s) \subseteq \mdr^3$ $\exists U \subseteq \mdr^2$ offen:
+    $\exists \text{ differenzierbare Abbildung } F: U \rightarrow V \cap S$:
     $\text{Rg}(J_F(u)) = 2\;\;\;\forall u \in U$.
 
     $F$ heißt (lokale) \textbf{reguläre Parametrisierung} von $S$.
@@ -440,7 +440,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
                 %\caption{}
             \end{figure}
 
-            \[J_F(u,v) = 
+            \[J_F(u,v) =
             \begin{pmatrix}
                 -r(v) \sin u & r'(v) \cos u\\
                 r(v) \cos u  & r'(v) \sin u\\
@@ -449,7 +449,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
             hat Rang 2 für alle $(u,v) \in \mdr^2$.
         \item Kugelkoordinaten: $F: \mdr^2 \rightarrow \mdr^3$,\\
               $(u, v) \mapsto (R \cos v \cos u, R \cos v \sin u, R \sin v)$\\
-              Es gilt: $F(u,v) \in S_R^2$, denn 
+              Es gilt: $F(u,v) \in S_R^2$, denn
                 \begin{align*}
                     & R^2 \cos^2(v) \cos^2(u) + R^2 \cos^2(v) \sin^2(u) + R^2 \sin^2(v)\\
                     =& R^2 (\cos^2(v) \cos^2(u) + \cos^2(v) \sin^2(u) + \sin^2(v))\\
@@ -459,7 +459,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
                 \end{align*}
 
                 Die Jacobi-Matrix
-                \[J_F(u,v) = 
+                \[J_F(u,v) =
                 \begin{pmatrix}
                     -R \cos v \sin u & -R \sin v \cos u\\
                     R \cos v \cos u  & -R \sin v \sin u\\
@@ -480,10 +480,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 
 \begin{beweis}\leavevmode
 
-    $S \subseteq \mdr^3$ ist als reguläre Fläche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. 
+    $S \subseteq \mdr^3$ ist als reguläre Fläche eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit.
     Aus der Definition von regulären Flächen folgt direkt, dass Karten $(U_i, F_i)$ und
     $(U_j \subseteq \mdr^2, F_j:\mdr^2 \rightarrow \mdr^3)$ von $S$ mit
-    $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ existieren, wobei $F_i$ und $F_j$ nach 
+    $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ existieren, wobei $F_i$ und $F_j$ nach
     Definition differenzierbare Abbildungen sind.
 
     \underline{z.Z.:} $F_j^{-1} \circ F_i$ ist ein Diffeomorphismus.
@@ -494,15 +494,15 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
         \caption{Reguläre Fläche $S$ zum Beweis von \cref{kor:regular-surface-mannigfaltigkeit}}
         \label{fig:parametric-surface-mapping}
     \end{figure}
-    
+
 
     \underline{Idee:} Finde differenzierbare Funktion $\widetilde{F_j^{-1}}$
     in Umgebung $W$ von $s$, sodass $\widetilde{F_j^{-1}}|_{S \cap W} = F_j^{-1}$.
 
     \underline{Ausführung:} Sei $u_0 \in U_i$, $v_0 \in U_j$ mit $F_i(u_0) = s = F_j(v_0)$.
 
-    Da $\rang(J_{F_j}(v_0)) = 2$ ist, ist \obda 
-    \[\det 
+    Da $\rang(J_{F_j}(v_0)) = 2$ ist, ist \obda
+    \[\det
         \begin{pmatrix}
             \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\
             \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
@@ -513,10 +513,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 
     Definiere $\widetilde{F_j}: U_j \times \mdr \rightarrow \mdr^3$ durch
     \[\widetilde{F_j} (u, v, t) := \left(x(u,v), y(u,v), z(u,v)+t \right )\]
-    
+
     Offensichtlich: $\widetilde{F_j} |_{U_j \times \Set{0}} = F_j$
 
-    \[J_{\widetilde{F_j}} = 
+    \[J_{\widetilde{F_j}} =
     \begin{pmatrix}
         \frac{\partial x}{\partial u}   & \frac{\partial x}{\partial v} & 0\\
         \frac{\partial y}{\partial u}   & \frac{\partial y}{\partial v} & 0\\
@@ -553,7 +553,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \begin{beispiel}[Lie-Gruppen]
     \begin{bspenum}
         \item Alle endlichen Gruppen sind 0-dimensionale Lie-Gruppen.
-        \item $\GL_n(\mdr)$ 
+        \item $\GL_n(\mdr)$
               % ist eine Lie-Gruppe, da sie nach \cref{bsp:gln-ist-mf} eine Mannigfaltigkeit ist.
               % $\det: \GL_n \rightarrow \mdr$ ist eine stetige Abbildung.
         \item $(\mdr^\times, \cdot)$
@@ -653,10 +653,10 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
             \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumii.\roman*]
                 \item Für $\Delta \in K$ und $S \subseteq \Delta$ Teilsimplex
                       ist $S \in K$.
-                \item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist 
-                      $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein 
-                        Teilsimplex von $\Delta_1$ und von 
-                      $\Delta_2$. 
+                \item \label{def:simplizialkomplex.ii} Für $\Delta_1, \Delta_2 \in K$ ist
+                      $\Delta_1 \cap \Delta_2$ leer oder ein
+                        Teilsimplex von $\Delta_1$ und von
+                      $\Delta_2$.
             \end{enumerate}
         \item $|K| := \bigcup_{\Delta \in K} \Delta$ (mit Teilraumtopologie)
               heißt \textbf{geometrische Realisierung}\xindex{Realisierung!geometrische}
@@ -723,7 +723,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 
               \input{figures/topology-linear-mapping.tex}
 
-        \item Folgende Abbildung $\varphi: \Delta^n \rightarrow \Delta^{n-1}$ 
+        \item Folgende Abbildung $\varphi: \Delta^n \rightarrow \Delta^{n-1}$
               ist simplizial:
 
               \input{figures/topology-triangle-to-line.tex}
@@ -742,7 +742,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
     Sei $K$ ein endlicher Simplizialkomplex. Für $n \geq 0$ sei
     $a_n(K)$ die Anzahl der $n$-Simplizes in $K$.
 
-    Dann heißt 
+    Dann heißt
     \[\chi(K) := \sum_{n=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\]
     \textbf{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}})
     von $K$.
@@ -842,7 +842,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 
 \begin{bemerkung}\label{kor:simplex-unterteilung}
     Sei $\Delta$ ein $n$-Simplex und $x \in \Delta^\circ \subseteq \mdr^n$.
-    Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch 
+    Sei $K$ der Simplizialkomplex, der aus $\Delta$ durch
     \enquote{Unterteilung} in $x$ entsteht. Dann ist $\chi(K) = \chi(\Delta) = 1$.
 \end{bemerkung}
 
@@ -920,7 +920,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
               $\partial P$ von $0$ aus auf $\partial \fB_1(0) = S^2$.
               Erhalte Triangulierung von $S^2$.
         \item Sind $P_1$ und $P_2$ konvexe Polygone und $T_1, T_2$
-              die zugehörigen Triangulierungen von $S^2$, so gibt es 
+              die zugehörigen Triangulierungen von $S^2$, so gibt es
               eine Triangulierung $T$, die sowohl um $T_1$ als
               auch um $T_2$ Verfeinerung ist (vgl. \cref{fig:topology-3}).
 
@@ -947,7 +947,7 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
     und $C_n(K)$ der $\mdr$-Vektorraum mit Basis $A_n(K)$, d.~h.
     \[C_n(K) = \Set{\sum_{\sigma \in A_n(K)} c_\sigma \cdot \sigma | c_\sigma \in \mdr}\]
 
-    Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass 
+    Sei $\sigma = \Delta(x_0, \dots, x_n) \in A_n(K)$, sodass
     $x_0 < x_1 < \dots < x_n$.
 
     Für $i = 0, \dots, n$ sei $\partial_i \sigma := \Delta(x_0, \dots, \hat{x_i}, \dots, x_n)$
@@ -1001,14 +1001,14 @@ Differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse $C^\infty$ werden auch
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}%
-    Sei $K$ ein Simplizialkomplex, 
-    $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n$ und 
+    Sei $K$ ein Simplizialkomplex,
+    $Z_n := \text{Kern}(d_n) \subseteq C_n$ und
     $B_n := \text{Bild}(d_{n+1}) \subseteq C_n$.
 
     \begin{defenum}
-        \item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te 
+        \item $H_n = H_n(K, \mdr) := Z_n / B_n$ heißt $n$-te
               \textbf{Homologiegruppe}\xindex{Homologiegruppe} von $K$.
-        \item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te 
+        \item $b_n(K) := \dim_{\mdr} H_n$ heißt $n$-te
               \textbf{Betti-Zahl}\xindex{Betti-Zahl} von $K$.
     \end{defenum}
 \end{definition}

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 \section{Homotopie von Wegen}
 \begin{figure}[ht]
     \centering
-    \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie 
+    \subfloat[$\gamma_1$ und $\gamma_2$ sind homotop, da man sie
              \enquote{zueinander verschieben} kann.]{
         \input{figures/topology-homotop-paths.tex}
         \label{fig:homotope-wege-anschaulich}
@@ -20,7 +20,7 @@
 \end{figure}
 
 \begin{definition}%
-    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$,
     $\gamma_1, \gamma_2: I \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
     d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
 
@@ -38,7 +38,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}
-    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$, 
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$,
     $\gamma_1, \gamma_2: I \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$
     und $H$ eine Homotopie zwischen $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
 
@@ -70,7 +70,7 @@
               H'(t, 2s)    &\text{falls } 0 \leq s \leq \frac{1}{2}\\
               H''(t, 2s-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq s \leq 1\end{cases}$
 
-              $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach 
+              $\Rightarrow$ $H$ ist stetig und Homotopie von $\gamma_1$ nach
               $\gamma_3$.
     \end{itemize}
     $\qed$
@@ -78,12 +78,12 @@
 
 \begin{beispiel}
     \begin{bspenum}
-        \item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus 
+        \item Sei $X = S^1$. $\gamma_1$ und $\gamma_2$ aus
               \cref{fig:circle-two-paths} nicht homotop.
         \item Sei $X = T^2$. $\gamma_1, \gamma_2$ und $\gamma_3$
               aus \cref{fig:torus-three-paths} sind paarweise
               nicht homotop.
-        \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$. 
+        \item Sei $X = \mdr^2$ und $a=b=(0,0)$.
 
               Je zwei Wege im $\mdr^2$ mit Anfangs- und Endpunkt $(0,0)$
               sind homotop.
@@ -99,7 +99,7 @@
               $\gamma_0(t) = (0,0) \; \forall t \in I$. Sei
               $\gamma(0) = \gamma(1) = (0,0)$.
 
-              $H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig, 
+              $H(t,s) := (1-s) \gamma(t)$ ist stetig,
               $H(t,0) = \gamma(t)\; \forall t \in I$ und
               $H(t,1) = (0,0) \; \forall t \in I$.
     \end{bspenum}
@@ -123,7 +123,7 @@
 % Mitschrieb vom 05.12.2013                                         %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{bemerkung}\label{kor:homotope-wege}
-    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein 
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein
     Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
     $\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
     homotop.
@@ -139,7 +139,7 @@
 
 \begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}%
     Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
-    Dann ist 
+    Dann ist
     \[\gamma (t) = \begin{cases}
         \gamma_1(2t)   &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
         \gamma_2(2t-1) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
@@ -149,7 +149,7 @@
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
-    Das Zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf 
+    Das Zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
     Homotopie assoziativ, d.~h.:
     \begin{align*}
         \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
@@ -203,13 +203,13 @@
     Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$,
     $i=1,2$.
 
-    Dann ist 
+    Dann ist
     \[H(t,s) := \begin{cases}
         H_1(2t, s)  &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\
         H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
     \end{cases}\]
 
-    eine Homotopie zwischen 
+    eine Homotopie zwischen
     $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$.
 \end{beweis}
 
@@ -219,7 +219,7 @@ Eine spezielle Homotopieäquivalenz sind sog. Deformationsretraktionen:
     und $\iota = (\id_X)|_A$.
 
     \begin{defenum}
-        \item $\iota: A \rightarrow X$ mit $\iota(x) = x$ heißt die 
+        \item $\iota: A \rightarrow X$ mit $\iota(x) = x$ heißt die
               \textbf{Inklusionsabbildung}\xindex{Inklusionsabbildung} und
               man schreibt: $\iota: A \hookrightarrow X$.
         \item $r$ heißt \textbf{Retraktion}\xindex{Retraktion}, wenn $r|_A = \id_A$ ist.
@@ -264,7 +264,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
         \item Assoziativität folgt aus \cref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
         \item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
               $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
-        \item \xindex{Weg!inverser} Inverses Element  $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$, 
+        \item \xindex{Weg!inverser} Inverses Element  $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$,
               denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
@@ -280,7 +280,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
               $[\gamma^k] \mapsto k$ ist ein Isomorphismus.
         \item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
         \item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
-        \item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$, 
+        \item $G \subseteq \mdr^n$ heißt \textbf{sternförmig}\xindex{sternförmig} bzgl. $x \in G$,
             wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$
             ist.
 
@@ -338,7 +338,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     für ein $x \in X$.
 \end{definition}
 
-Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen 
+Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 \cref{kor:gruppenisomorphismus-wege} sogar für alle $x \in X$.
 
 \begin{bemerkung}\label{korr:11.5}
@@ -359,7 +359,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
         \item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope
               Wege von $x$. z.Z.: $f \circ \gamma_1 \sim f \circ \gamma_2$:
               Nach Voraussetzung gibt es stetige Abbildungen $H:I\times I \rightarrow X$
-              mit 
+              mit
               \begin{align*}
                 H(t,0) &= \gamma_1(t),\\
                 H(t,1) &= \gamma_2(t),\\
@@ -376,7 +376,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 
 \begin{beispiel}
     \begin{bspenum}
-        \item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber 
+        \item $f:S^1 \hookrightarrow \mdr^2$ ist injektiv, aber
               $f_*:\pi_1(S^1, 1) \cong \mdz \rightarrow \pi_1(\mdr^2, 1) = \Set{e}$
               ist nicht injektiv.
         \item $f: \mdr \rightarrow S^1, t \mapsto (\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t)$
@@ -406,7 +406,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
     stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.
 
     $f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige
-    Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ mit 
+    Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ mit
     \begin{align*}
         H(x,0)    &= f(x) \; \forall x \in X\\
         H(x,1)    &= g(x) \; \forall x \in X\\
@@ -426,7 +426,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
     Z.~z.: $f \circ \gamma \sim g \circ \gamma$
 
     Sei dazu $H_\gamma: I \times I \rightarrow Y, (t,s) \mapsto H(\gamma(t), s)$.
-    Dann gilt: 
+    Dann gilt:
         \begin{align*}
             H_\gamma(t,0) &= H(\gamma(t), 0) = (f \circ \gamma)(t) \;\forall t \in I\\
             H_\gamma(1,s) &= H(\gamma(1), s) = H(x_0, s) = y_0\;\forall s \in I\\
@@ -450,7 +450,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 \end{beispiel}
 
 \begin{satz}[Satz von Seifert und van Kampen \enquote{light}]\label{thm:seifert-van-kampen}
-    Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit 
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $U, V \subseteq X$ offen mit
     $U \cup V = X$ und $U \cap V$ wegzusammenhängend.
 
     Dann wird $\pi_1(X,x)$ für $x \in U \cap V$ erzeugt von geschlossenen
@@ -460,14 +460,14 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 \begin{beweis}
     Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg um $x$.
     Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen
-    $I_1, I_2, \dots, I_n$, die ganz in 
+    $I_1, I_2, \dots, I_n$, die ganz in
     $\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen.
 
     \Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc.
 
     Wähle $t_i \in I_i \cap I_{i+1}$, also $\gamma(t_i) \in U \cap V$.
     Sei $\sigma_i$ Weg in $U \cap V$ von $x_0$ nach $\gamma(t_i) \Rightarrow \gamma$
-    ist homotop zu 
+    ist homotop zu
     \[\underbrace{\gamma_1 * \overline{\sigma_1}}_{\text{in } U} * \underbrace{\sigma_1 * \gamma_2 * \overline{\sigma_2}}_{\text{in } V} * \dots * \sigma_{n-1} * \gamma_2 \text{ mit } \gamma_i := \gamma |_{I_i}\]
 \end{beweis}
 
@@ -547,17 +547,17 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 \begin{beweis}
     Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung und $x \in X$ beliebig.
     Dann existiert eine offene Umgebung $U(x) \subseteq X$ und offene
-    Teilmengen $V_j \subseteq X$ mit 
+    Teilmengen $V_j \subseteq X$ mit
     $p^{-1}(U) = \Dcup V_j$ und
     $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ist Homöomorphismus.
 
     D.~h. es existiert ein $y \in V_j$, so dass $p|_{V_j}(y) = x$.
-    Da $x \in X$ beliebig war und ein $y \in Y$ existiert, mit 
+    Da $x \in X$ beliebig war und ein $y \in Y$ existiert, mit
     $p(y) = x$, ist $p$ surjektiv.    $\qed$
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}%
-    Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine 
+    Seien $(X, \fT_X), (Y, \fT_Y)$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine
     Abbildung.
 
     $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall U \in \fT_X: f(U) \in \fT_Y$.
@@ -600,7 +600,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 \begin{definition}\xindex{diskret}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$.
 
-    $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen 
+    $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen
     Häufungspunkt hat.
 \end{definition}
 
@@ -628,11 +628,11 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
         $\Rightarrow V_{j_1} \cap V_{j_2} = \emptyset$ nach Voraussetzung.
 
         \underline{2. Fall}: $p(y_1) \neq p(y_2)$.
-        
+
         Dann seien $U_1$ und $U_2$ disjunkte Umgebungen von $p(y_1)$
         und $p(y_2)$.
 
-        $\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind disjunkte 
+        $\Rightarrow p^{-1}(U_1)$ und $p^{-1}(U_2)$ sind disjunkte
         Umgebungen von $y_1$ und $y_2$.
 
         \item Sei $x \in X$ beliebig, aber fest.
@@ -717,7 +717,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
 
     Sei $q:U \rightarrow V$ die Umkehrabbildung zu $p|_V$.
 
-    Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist 
+    Sei $W:= f^{-1}(U) \cap f_0^{-1}(V) \cap f_1^{-1}(V)$. $W$ ist
     offene Umgebung in $Z$ von $z$.
 
     \underline{Behauptung:} $W \subseteq T$
@@ -749,7 +749,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 \begin{bemerkung}%Bemerkung 12.6 der Vorlesung
     Wege in $X$ lassen sich zu Wegen in $Y$ liften.
 
-    Zu jedem $y \in p^{-1}(\gamma(0))$ gibt es genau einen Lift von 
+    Zu jedem $y \in p^{-1}(\gamma(0))$ gibt es genau einen Lift von
     $\gamma$.
 \end{bemerkung}
 
@@ -757,7 +757,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     Seien $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $a,b \in X$,
     $\gamma_0, \gamma_1: I \rightarrow X$ homotope Wege von $a$ nach
     $b$, $\tilde{a} \in p^{-1}(a), \tilde{\gamma_0}, \tilde{\gamma_1}$
-    Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit 
+    Liftungen von $\gamma_0$ bzw. $\gamma_1$ mit
     $\tilde{\gamma_i}(0) = \tilde{a}$.
 
     Dann ist $\tilde{\gamma_0}(1) = \tilde{\gamma_1}(1)$ und
@@ -784,7 +784,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 
     Da $p^{-1}(b)$ diskrete Teilmenge von $Y$ ist\\
     $\Rightarrow \tilde{b_s} = \tilde{H}(1,s) = \tilde{H}(1,0) \;\forall s \in I$\\
-    $\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $\tilde{H}$ ist Homotopie 
+    $\Rightarrow \tilde{b_0} = \tilde{b_1}$ und $\tilde{H}$ ist Homotopie
     zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
 \end{beweis}
 
@@ -801,7 +801,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
         \item Sei $\tilde{\gamma}$ ein Weg in $Y$ um $y_0$ und
               $p_* ([\tilde{\gamma}]) = e$, also $p \circ \tilde{\gamma} \sim \gamma_{x_0}$
 
-              Nach \cref{proposition:12.7} ist dann 
+              Nach \cref{proposition:12.7} ist dann
               $\tilde{\gamma}$ homotop zum Lift des konstanten Wegs
               $\gamma_{x_0}$ mit Anfangspunkt $y_0$, also zu
               $\gamma_{y_0} \Rightarrow [\tilde{\gamma}] = e$
@@ -823,9 +823,9 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 
               Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es Weg $\delta_i$ in
               $Y$ mit $\delta_i(0) = y_0$ und $\delta_i(1) = y_i$\\
-              $\Rightarrow p \cup \delta_i$ ist geschlossener Weg in 
+              $\Rightarrow p \cup \delta_i$ ist geschlossener Weg in
               $X$ um $x_0$.\\
-              $\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist 
+              $\Rightarrow$ Jedes $y_i$ mit $i=0, \dots, d-1$ ist
               $\tilde{\gamma}(1)$ für ein $[\gamma] \in \pi_1(X,x_0)$.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
@@ -885,7 +885,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     Offensichtlich ist $q(\tilde{p}(z)) = p(z)$.
 
     \underline{Zu zeigen:} $\tilde{p}$ ist stetig in $z \in \tilde{X}$:
-    
+
     Sei $W \subseteq Y$ offene Umgebung von $\tilde{p}(z)$.
 
     $\xRightarrow{q \text{ offen}} q(W)$ ist offene Umgebung von $p(z) \cdot d(\tilde{p}(z))$.
@@ -915,8 +915,8 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 \end{folgerung}
 
 \begin{beweis}
-    Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit 
-    $p(\tilde{x_0}) = x_0$ und 
+    Seien $x_0 \in X, \tilde{x_0} \in \tilde{X}$ mit
+    $p(\tilde{x_0}) = x_0$ und
     $\tilde{y_0} \in q^{-1}(x_0) \subseteq \tilde{Y}$.
 
     Nach \cref{thm:12.11} gibt es genau eine Überlagerung
@@ -925,7 +925,7 @@ $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     \[g: \tilde{Y} \rightarrow \tilde{X} \text{ mit } g(\tilde{y_0}) = \tilde{x_0} \text{ und } p \circ g = q\]
 
     Damit gilt: $p \circ q \circ f = q \circ f = p$, $q \circ f \circ g = p \circ g = q$.
-    Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von 
+    Also ist $g \circ f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X}$ Lift von
     $p:\tilde{X} \rightarrow X$ mit $(g \circ f) (\tilde{x_0}) = \tilde{x_0}$.
 
     Da auch $\id_{\tilde{x}}$ diese Eigenschaft hat, folgt mit
@@ -961,7 +961,7 @@ der folgende Satz:
     \[\tilde{U} = \tilde{U}(x, [\gamma]) := \Set{(y, [\gamma * \alpha]) | y \in U, \alpha \text{ Weg in } U \text{ von } x \text{ nach } y} \]
 
     $p$ ist Überlagerung: $p|_{\tilde{U}} : \tilde{U} \rightarrow U$
-    bijektiv. $p$ ist stetig und damit $p|_{\tilde{U}}$ ein 
+    bijektiv. $p$ ist stetig und damit $p|_{\tilde{U}}$ ein
     Homöomorphismus.
 
     Sind $\gamma_1, \gamma_2$ Wege von $x_0$ nach $x$ und $\gamma_1 \sim \gamma_2$,
@@ -990,7 +990,7 @@ der folgende Satz:
 
     \begin{defenum}
         \item $f$ heißt \textbf{Decktransformation} von $p :\gdw p \circ f = p$.
-        \item Die Decktransformationen von $p: Y \rightarrow X$ bilden mit der Verkettung eine Gruppe, 
+        \item Die Decktransformationen von $p: Y \rightarrow X$ bilden mit der Verkettung eine Gruppe,
           die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}.
           Man schreibt:
           $\Deck(p)$, $\Deck(Y/X)$ oder $\Deck(Y \rightarrow X)$.
@@ -1023,10 +1023,10 @@ der folgende Satz:
             \end{itemize}
         \item Die Menge
               \[\Fix(f) = \Set{y \in Y | f(y) = y}\]
-              ist abgeschlossen als Urbild der Diagonale 
+              ist abgeschlossen als Urbild der Diagonale
               $\Delta \subseteq Y \times Y$ unter der stetigen
               Abbildung $y \mapsto (f(y),y)$. Außerdem ist $\Fix(f)$
-              offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine 
+              offen, denn ist $y \in \Fix(f)$, so sei $U$ eine
               Umgebung von $p(y) \in X$ wie in \cref{def:12.1}
               und $U \subseteq p^{-1}(U)$ die Komponente, die $y$
               enthält; also $p:V \rightarrow U$ ein Homöomorphismus.
@@ -1041,7 +1041,7 @@ der folgende Satz:
         \item Es sei $x_0 \in X$, $\deg(p) = d$ und $p^{-1}(x_0) = \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$.
               Für $f \in \Deck(Y/X)$ ist $f(y_0)= \Set{y_0, \dots, y_{d-1}}$.
 
-              Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein 
+              Zu $i \in \Set{0, \dots, d-1}$ gibt es höchstens ein
               $f \in \Deck(Y/X)$ mit $f(y_0) = y_1$, denn ist
               $f(y_0) = g(y_0)$, so ist $(g^{-1} \circ f)(y_0) = y_0$,
               also nach \cref{kor:12.14c} $g^{-1} \circ f = \id_Y$.
@@ -1061,7 +1061,7 @@ Nun werden wir eine Verbindung zwischen der Decktransformationsgruppe
 und der Fundamentalgruppe herstellen:
 
 \begin{satz}\label{thm:12.15}%In Vorlesung: Satz 12.15
-    Ist $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung, 
+    Ist $p: \tilde{X} \rightarrow X$ eine universelle Überlagerung,
     so gilt:
     \[\Deck(\tilde{X}/X) \cong \pi_1(X, x_0)\;\;\;\forall x_0 \in X\]
 \end{satz}
@@ -1074,11 +1074,11 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
     eindeutig bestimmt und damit auch $\rho$ wohldefiniert.
 
     \begin{itemize}
-        \item \underline{$\rho$ ist Gruppenhomomorphismus}: Seien 
+        \item \underline{$\rho$ ist Gruppenhomomorphismus}: Seien
             $f, g \in \Deck(\tilde{X}/ X) \Rightarrow \gamma_{g \circ f} = \gamma_g * g(\gamma_f)$
             $\Rightarrow p(\gamma_{g \circ f}) = p(\gamma_g) * \underbrace{(p \circ g)}_{=p} (\gamma_f) = \rho(g) \neq \rho(f)$
         \item \underline{$\rho$ ist injektiv}: $\rho(f) = e \Rightarrow p (\gamma_f) \sim \gamma_{x_0}$
-            $\xRightarrow{\cref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$ 
+            $\xRightarrow{\cref{thm:ueberlagerung-weg-satz-12.6}} \gamma_f \sim \gamma_{\tilde{x_0}}$
             $\Rightarrow f(x_0) = \tilde{x_0} \xRightarrow{\crefabbr{kor:12.14c}} f = \id_{\tilde{x}}$.
         \item \underline{$\rho$ ist surjektiv}: Sei $[\gamma] \in \pi_1(X, x_0)$,
             $\tilde{\gamma}$ Lift von $\gamma$ nach $\tilde{x}$ mit
@@ -1086,7 +1086,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
             sei $\tilde{x_1}$.
 
             \underline{$p$ ist reguläre Überlagerung}: Seien
-            $\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit 
+            $\tilde{x_0}, \tilde{x_1} \in \tilde{X}$ mit
             $p(\tilde{x_0}) = p(\tilde{x_1})$. Nach \cref{thm:12.11}
             gibt es genau eine Überlagerung $\tilde{p}: \tilde{X} \rightarrow X$
             mit $p=p \circ \tilde{p}$ und $\tilde{p}(\tilde{x_0}) = \tilde{x_1}$.
@@ -1163,7 +1163,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
               \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x\]
               ein Homöomorphismus ist.
         \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
-              \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn 
+              \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn
               \[\forall g \in G: m_g \text{ ist stetig}\]
               gilt.
     \end{defenum}
@@ -1175,7 +1175,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
 \begin{beweis}\leavevmode
     Nach Voraussetzung ist $m_g := \circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
 
-    Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$: 
+    Die Umkehrabbildung zu $m_g$ ist $m_{g^{-1}}$:
     \begin{align*}
         (m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\
             &= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\
@@ -1196,7 +1196,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
     \begin{bemenum}
         \item Die Gruppenoperation von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
               den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$
-        \item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei 
+        \item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei
               die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
               $G \rightarrow \Homoo(X)$
     \end{bemenum}
@@ -1213,7 +1213,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
 
           Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$.
 
-          z.~z. \cref{def:gruppenoperation.2}: 
+          z.~z. \cref{def:gruppenoperation.2}:
           \begin{align*}
             g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
             &= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
@@ -1222,8 +1222,8 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
             &= (g_1 \cdot g_2) \circ x
           \end{align*}
 
-            z.~z. \cref{def:gruppenoperation.1}: 
-            $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ ein 
+            z.~z. \cref{def:gruppenoperation.1}:
+            $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ ein
             Homomorphismus ist.
 \end{beweis}
 
@@ -1253,7 +1253,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
     \begin{enumerate}[label=\roman*)]
         \item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$
         \item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\
-              $\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$ 
+              $\gamma_1 * \gamma_2 * \delta(1) = [\gamma_1] \circ (\tilde{\gamma_2 * \delta})(1) = [\gamma_1] \circ ([\gamma_2] \circ \tilde{x})$
     \end{enumerate}
 \end{beispiel}
 

documents/GeoTopo/Kapitel4-UB.tex

@@ -18,7 +18,7 @@
 \end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}\label{ub11:aufg3}
-    Sei $(X, d)$ eine absolute Ebene. Der \textit{Abstand}\xindex{Abstand} eines 
+    Sei $(X, d)$ eine absolute Ebene. Der \textit{Abstand}\xindex{Abstand} eines
     Punktes $P$ zu einer Menge $Y \subseteq X$ von Punkten ist
     definiert durch $d(P, Y) := \inf{d(P, y) | y \in Y}$.
 
@@ -27,13 +27,13 @@
         \item \label{ub11:aufg3.a} Ist $\triangle ABC$ ein Dreieck, in dem die Seiten
               $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$ kongruent sind, so
               sind die Winkel $\angle ABC$ und $\angle BCA$ gleich.
-        \item \label{ub11:aufg3.b} Ist $\triangle ABC$ ein beliebiges Dreieck, so liegt 
+        \item \label{ub11:aufg3.b} Ist $\triangle ABC$ ein beliebiges Dreieck, so liegt
               der längeren Seite der größere Winkel gegenüber und
               umgekehrt.
         \item \label{ub11:aufg3.c} Sind $g$ eine Gerade und $P \notin g$ ein Punkt, so gibt
               es eine eindeutige Gerade $h$ mit $P \in h$ und die
-              $g$ im rechten Winkel schneidet. Diese Grade heißt 
-              \textit{Lot}\xindex{Lot} von $P$ auf $g$ und der 
+              $g$ im rechten Winkel schneidet. Diese Grade heißt
+              \textit{Lot}\xindex{Lot} von $P$ auf $g$ und der
               Schnittpunkt des Lots mit $g$ heißt \textit{Lotfußpunkt}\xindex{Lotfußpunkt}.
     \end{aufgabeenum}
 \end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -12,25 +12,25 @@
 \section{Axiome für die euklidische Ebene}
 Axiome\xindex{Axiom} bilden die Grundbausteine jeder mathematischen Theorie. Eine
 Sammlung aus Axiomen nennt man Axiomensystem\xindex{Axiomensystem}.
-Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch 
+Da der Begriff des Axiomensystems so grundlegend ist, hat man auch
 ein paar sehr grundlegende Forderungen an ihn: Axiomensysteme sollen
 \textbf{widerspruchsfrei} sein, die Axiome sollen möglichst
 \textbf{unabhängig} sein und \textbf{Vollständigkeit} wäre auch toll.
 Mit Unabhängigkeit ist gemeint, dass kein Axiom sich aus einem anderem
 herleiten lässt. Dies scheint auf den ersten Blick eine einfache
-Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen, 
-dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom 
-unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht 
+Eigenschaft zu sein. Auf den zweiten Blick muss man jedoch einsehen,
+dass das Parallelenproblem, also die Frage ob das Parallelenaxiom
+unabhängig von den restlichen Axiomen ist, über 2000 Jahre nicht
 gelöst wurde. Ein ganz anderes Kaliber ist die Frage nach der
 Vollständigkeit. Ein Axiomensystem gilt als Vollständig, wenn
 jede Aussage innerhalb des Systems verifizierbar oder falsifizierbar
-ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz, 
+ist. Interessant ist hierbei der Gödelsche Unvollständigkeitssatz,
 der z.~B. für die Arithmetik beweist, dass nicht alle Aussagen
 formal bewiesen oder widerlegt werden können.
 
-Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner 
+Kehren wir nun jedoch zurück zur Geometrie. Euklid hat in seiner
 Abhandlung \enquote{Die Elemente} ein Axiomensystem für die Geometrie
-aufgestellt. 
+aufgestellt.
 
 \textbf{Euklids Axiome}
 \begin{itemize}
@@ -39,11 +39,11 @@ aufgestellt.
     \item \textbf{Kreis} (um jeden Punkt mit jedem Radius)
     \item Je zwei rechte Winkel sind gleich (Isometrie, Bewegung)
     \item Parallelenaxiom von Euklid:\xindex{Parallelenaxiom}\\
-        Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die 
+        Wird eine Gerade so von zwei Geraden geschnitten, dass die
         Summe der Innenwinkel kleiner als zwei Rechte ist, dann schneiden sich
         diese Geraden auf der Seite dieser Winkel.\\
         \\
-        Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist, 
+        Man mache sich klar, dass das nur dann nicht der Fall ist,
         wenn beide Geraden parallel sind und senkrecht auf die erste stehen.
 \end{itemize}
 
@@ -60,7 +60,7 @@ aufgestellt.
             \end{enumerate}
         \item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2}
               genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$,
-              wenn gilt: 
+              wenn gilt:
               \begin{itemize}[]
                 \item $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$ oder
                 \item $d(P, Q) = d(P, R) + d(R, Q)$ oder
@@ -72,7 +72,7 @@ aufgestellt.
 \begin{definition}
     Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie und seien $P, Q, R \in X$.
     \begin{defenum}
-        \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear}, 
+        \item $P, Q, R$ liegen \textbf{kollinear}\xindex{kollinear},
               wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
         \item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
               und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
@@ -103,10 +103,10 @@ aufgestellt.
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
-              \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$ 
+              \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$
               sind kollinear.\\
               $\overset{\ref{axiom:2}}{\Rightarrow}
-              \begin{cases} 
+              \begin{cases}
                 Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR\\
                 R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q \Rightarrow Q \in PR\\
                 P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R \Rightarrow Q \in PR
@@ -133,21 +133,21 @@ aufgestellt.
     \begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*,start=3]
         \item \label{axiom:3}\textbf{Anordnungsaxiome}\xindex{Anordnungsaxiome}
             \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theenumi{} (\roman*)]
-                \item \label{axiom:3.1} Zu jeder 
-                      Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P \in X$ und jedem 
-                      $r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein 
+                \item \label{axiom:3.1} Zu jeder
+                      Halbgerade $H$ mit Anfangspunkt $P \in X$ und jedem
+                      $r \in \mdr_{\geq 0}$ gibt es genau ein
                       $Q \in H$ mit $d(P,Q) = r$.
-                \item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt 
-                      $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei 
+                \item \label{axiom:3.2} Jede Gerade zerlegt
+                      $X \setminus g = H_1 \dcup H_2$ in zwei
                       nichtleere Teilmengen $H_1, H_2$,
                       sodass für alle $A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
-                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
+                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
                       $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$.\\
-                      Diese Teilmengen $H_i$ heißen 
-                      \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl. 
+                      Diese Teilmengen $H_i$ heißen
+                      \textbf{Halbebenen}\xindex{Halbebene} bzgl.
                       $g$.
             \end{enumerate}
-        \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}: 
+        \item \label{axiom:4}\textbf{Bewegungsaxiom}\xindex{Bewegungsaxiom}:
             Zu $P, Q, P', Q' \in X$
             mit $d(P,Q) = d(P', Q')$ gibt es mindestens 2 Isometrien $\varphi_1, \varphi_2$
             mit $\varphi_i (P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ mit $i=1,2$.\footnote{Die \enquote{Verschiebung} von $P'Q'$ nach $PQ$ und die Isometrie, die zusätzlich an der Gerade durch $P$ und $Q$ spiegelt.}
@@ -163,14 +163,14 @@ aufgestellt.
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \begin{satz}[Satz von Pasch]\label{satz:pasch} %In Vorlesung: Bemerkung 14.5
     Seien $P$, $Q$, $R$ nicht kollinear, $g \in G$ mit $g \cap \Set{P, Q, R} = \emptyset$
-    und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$. 
+    und $g \cap \overline{PQ} \neq \emptyset$.
 
-    Dann ist entweder $g \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ oder 
+    Dann ist entweder $g \cap \overline{PR} \neq \emptyset$ oder
                       $g \cap \overline{QR} \neq \emptyset$.
 \end{satz}
 
-Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks 
-(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite 
+Dieser Satz besagt, dass Geraden, die eine Seite eines Dreiecks
+(also nicht nur eine Ecke) schneiden, auch eine weitere Seite
 schneiden.
 
 \begin{beweis}
@@ -182,7 +182,7 @@ schneiden.
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkung}\label{kor:beh3}
-    Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$ 
+    Sei $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ sowie $A, B \in X \setminus PQ$
     mit $A \neq B$.
     Außerdem seien $A$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ sowie
     $Q$ und $B$ in der selben Halbebene bzgl. $PA$.
@@ -197,8 +197,8 @@ schneiden.
     \label{fig:geometry-5}
 \end{figure}
 
-Auch \cref{kor:beh3} lässt sich umgangssprachlich sehr viel 
-einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks 
+Auch \cref{kor:beh3} lässt sich umgangssprachlich sehr viel
+einfacher ausdrücken: Die Diagonalen eines konvexen Vierecks
 schneiden sich.
 
 \begin{beweis}%In Vorlesung: Behauptung 3
@@ -217,7 +217,7 @@ schneiden sich.
               $\overline{AP'}$ liegt in der anderen Halbebene
               bzgl. $PA \Rightarrow C \notin \overline{P'A} \Rightarrow C \in \overline{AQ}$
     \end{enumerate}
-    Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt: 
+    Da $C \in PB^+$ und $C \in \overline{AQ}$ folgt nun direkt:
     $\emptyset \neq \Set{C} \subseteq PB^+ \cap \overline{AQ} \qed$
 \end{beweis}
 
@@ -286,7 +286,7 @@ schneiden sich.
 
 \begin{bemerkung}\label{kor:beh2'}
     Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:3}
-    erfüllt, $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $\varphi$ eine Isometrie mit 
+    erfüllt, $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $\varphi$ eine Isometrie mit
     $\varphi(P) = P$ und $\varphi(Q) = Q$.
 
     Dann gilt $\varphi(S) = S\;\;\;\forall S \in PQ$.
@@ -302,7 +302,7 @@ schneiden sich.
         &\overset{\mathclap{\ref{axiom:3.1}}}{\Rightarrow} \varphi(S) = S
     \end{align*}
 
-    $\qed$ 
+    $\qed$
 \end{beweis}
 
 \begin{proposition}\label{satz:14.4}%In Vorlesung: Satz 14.4
@@ -310,7 +310,7 @@ schneiden sich.
     gibt es zu $P, P', Q, Q'$ mit $d(P, Q) = d(P', Q')$ höchstens
     zwei Isometrien mit $\varphi(P) = P'$ und $\varphi(Q) = Q'$
 
-    Aus den Axiomen  folgt, dass es in 
+    Aus den Axiomen  folgt, dass es in
     der Situation von \ref{axiom:4} höchstens zwei Isometrien mit
     $\varphi_i(P) = P'$ und $\varphi_i(Q) = Q'$ gibt.
 \end{proposition}
@@ -332,11 +332,11 @@ schneiden sich.
 
     Nun zu den Beweisen der Teilaussagen:
     \begin{enumerate}[label=(Teil \roman*),ref=(Teil \roman*)]
-        \item Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten 
+        \item Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten
             $\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei
             in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$.
 
-            \Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der 
+            \Obda seien $\varphi_1(R)$ und $\varphi_2(R)$ in der
             selben Halbebene.
 
             Es gilt: $\begin{aligned}[t]
@@ -392,7 +392,7 @@ schneiden sich.
 
     Also gilt insbesondere $\varphi(\triangle A'B'C') = \triangle ABC$. $\qed$
 \end{beweis}
-    
+
 \begin{bemerkung}[WSW-Kongruenzsatz]\xindex{Kongruenzsatz!WSW}%
     Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie, die \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} erfüllt.
     Seien außerdem $\triangle ABC$ und $\triangle A'B'C'$ Dreiecke, für die gilt:
@@ -424,15 +424,15 @@ schneiden sich.
 
 \begin{definition}\label{def:14.8}%In Vorlesung: 14.8
     \begin{defenum}
-        \item \label{def:14.8a} Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$ 
+        \item \label{def:14.8a} Ein \textbf{Winkel}\xindex{Winkel} ist ein Punkt $P \in X$
               zusammen mit $2$ Halbgeraden mit Anfangspunkt $P$.\\
               Man schreibt: $\angle R_1 P R_2$ bzw. $\angle R_2 P R_1$\footnote{Für dieses Skript gilt: $\angle R_1 P R_2 = \angle R_2 P R_1$. Also sind insbesondere alle Winkel $ \leq 180^\circ$.}
-        \item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt, 
+        \item Zwei Winkel sind \textbf{gleich}, wenn es eine Isometrie gibt,
               die den einen Winkel auf den anderen abbildet.
         \item \label{def:14.8c} $\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als
               $\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$
               gibt, mit $\varphi(P') = P$, $\varphi(P'R'^{+}_{1}) = PR_{1}^{+}$
-              und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene 
+              und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene
               bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene
               bzgl. $PR_2$ wie $R_1$
         \item \label{def:14.8d} Im Dreieck $\triangle PQR$ gibt es \textbf{Innenwinkel}\xindex{Innenwinkel} und
@@ -455,7 +455,7 @@ schneiden sich.
 \end{figure}
 
 \begin{bemerkung}\label{bem:14.9}%In Vorlesung: Bemerkung 14.9
-    In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht 
+    In einem Dreieck ist jeder Innenwinkel kleiner als jeder nicht
     anliegende Außenwinkel.
 \end{bemerkung}
 
@@ -481,7 +481,7 @@ schneiden sich.
         \caption{Situation aus \cref{bem:14.9}}
     \end{figure}
 
-    Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie 
+    Es gilt: $d(Q,M) = d(M,R)$ und $d(P,M) = d(M,A)$ sowie
     $\angle PMR = \angle AMQ \Rightarrow \triangle MRQ$ ist
     kongruent zu $\triangle AMQ$, denn eine der beiden Isometrien, die
     $\angle PMR$ auf $\angle AMQ$ abbildet, bildet $R$ auf $Q$ und
@@ -496,7 +496,7 @@ schneiden sich.
 \begin{proposition}[Existenz der Parallelen]\label{prop:14.7}%In Vorlesung: Proposition 14.7
     Sei $(X, d, G)$ eine Geometrie mit den Axiomen \ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4}.
 
-    Dann gibt es zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt $P \in X \setminus g$ 
+    Dann gibt es zu jeder Geraden $g \in G$ und jedem Punkt $P \in X \setminus g$
     mindestens eine Parallele $h \in G$ mit $P \in h$ und $g \cap h = \emptyset$.
 \end{proposition}
 
@@ -535,7 +535,7 @@ Halbebene bzgl. $PQ$ liegt wie $R$.
 
 \begin{figure}[htp]
     \centering
-    \includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/Spherical_triangle_3d_opti.png} 
+    \includegraphics[width=0.4\linewidth, keepaspectratio]{figures/Spherical_triangle_3d_opti.png}
     \caption{In der sphärischen Geometrie gibt es, im Gegensatz zur euklidischen Geometrie, Dreiecke mit drei $90^\circ$-Winkeln.}
     \label{fig:spherical-triangle}
 \end{figure}
@@ -567,7 +567,7 @@ Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
     Sei $\alpha$ ein Innenwinkel von $\triangle$.
 
     \begin{behauptung}
-        Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit 
+        Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit
         $\IWS(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel
         $\alpha' \leq \frac{\alpha}{2}$.
 
@@ -579,8 +579,8 @@ Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
     \end{behauptung}
 
     \begin{beweis}
-        Es seien $A, B, C \in X$ und $\triangle $ das Dreieck mit den 
-        Eckpunkten $A, B, C$ und $\alpha$ sei der Innenwinkel bei $A$, 
+        Es seien $A, B, C \in X$ und $\triangle $ das Dreieck mit den
+        Eckpunkten $A, B, C$ und $\alpha$ sei der Innenwinkel bei $A$,
         $\beta$ der Innenwinkel bei $B$ und $\gamma$ der Innenwinkel bei $C$.
 
         Sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$. Sei außerdem
@@ -613,7 +613,7 @@ Sei im Folgenden \enquote{$\IWS$} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
 \end{figure}
 
 \begin{beweis}
-    Sei $g$ eine Parallele von $AB$ durch $C$. 
+    Sei $g$ eine Parallele von $AB$ durch $C$.
 
     \begin{itemize}
         \item Es gilt $\alpha' = \alpha$ wegen \cref{prop:14.7}.
@@ -639,7 +639,7 @@ WSW.\xindex{Kongruenzsatz!SWW}
     \label{fig:hyperbolische-geometrie-2}
 \end{figure}
 
-Der Beweis wird hier nicht geführt. Für Beweisvorschläge wäre ich 
+Der Beweis wird hier nicht geführt. Für Beweisvorschläge wäre ich
 dankbar.
 
 \begin{figure}[htp]
@@ -730,10 +730,10 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
         \item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene.
         \item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden
               in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel
-              schneiden. 
+              schneiden.
 
-              Sei $P \in X \setminus (g_1 \cup g_2)$ ein Punkt und $P_X$ der 
-              Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}) 
+              Sei $P \in X \setminus (g_1 \cup g_2)$ ein Punkt und $P_X$ der
+              Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c})
               und $P_Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$.
 
               Sei $x_P := d(P_X, 0)$ und $y_P := d(P_Y, 0)$.
@@ -754,11 +754,11 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
                 \label{fig:14.13.0.1}
             \end{figure}
 
-            
+
               Sei $h:X \rightarrow \mdr^2$ eine Abbildung mit
               $h(P) := (x_P, y_P)$
               Dadurch wird $h$ auf dem Quadranten
-              definiert, in dem $P$ liegt, d.~h. 
+              definiert, in dem $P$ liegt, d.~h.
               \[\forall Q \in X \text{ mit } \overline{PQ} \cap g_1 = \emptyset = \overline{PQ} \cap g_2\]
 
               Fortsetzung auf ganz $X$ durch konsistente Vorzeichenwahl.
@@ -833,7 +833,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
                     Betrachte nun $z_1$ und $z_2$ als Punkte in der
                     euklidischen Ebene. Die Mittelsenkrechte zu diesen
                     Punkten schneidet die $x$-Achse. Alle Punkte auf
-                    der Mittelsenkrechten zu $z_1$ und $z_2$ sind gleich 
+                    der Mittelsenkrechten zu $z_1$ und $z_2$ sind gleich
                     weit von $z_1$ und $z_2$ entfernt. Daher ist
                     der Schnittpunkt mit der $x$-Achse der Mittelpunkt
                     eines Kreises durch $z_1$ und $z_2$ (vgl. \cref{fig:hyperbolische-geometrie-axiom-1-2})
@@ -867,7 +867,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
 
               \underline{Zu zeigen:}
               $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
-                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
+                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt:
                       $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
               \enquote{$\Leftarrow$}: $A \in H_1, B \in H_2: \overline{AB} \cap g \neq \emptyset$
 
@@ -882,10 +882,10 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
 
               Sei $h$ die Gerade, die durch $A$ und $B$ geht.
 
-              Da $A,B \notin g$, aber $A, B \in h$ gilt, haben $g$ und $h$ 
+              Da $A,B \notin g$, aber $A, B \in h$ gilt, haben $g$ und $h$
               insbesondere
               mindestens einen unterschiedlichen Punkt. Aus \ref{axiom:1.1} folgt, dass sich
-              $g$ und $h$ in höchstens einen Punkt schneiden. Sei $C$ dieser 
+              $g$ und $h$ in höchstens einen Punkt schneiden. Sei $C$ dieser
               Punkt.
 
               Aus $A,B \notin g$ folgt: $C \neq A$ und $C \neq B$. Also liegt
@@ -903,8 +903,8 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
 \end{beweis}
 
 \begin{definition}\xindex{Möbiustransformation}%
-    Es seien $a,b,c,d \in \mdr$ mit $ad - bc \neq 0$ und 
-    $\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch 
+    Es seien $a,b,c,d \in \mdr$ mit $ad - bc \neq 0$ und
+    $\sigma: \mdc \rightarrow \mdc$ eine Abbildung definiert durch
     \[\sigma(z) := \frac{az + b}{cz+d}\]
 
     $\sigma$ heißt \textbf{Möbiustransformation}.
@@ -953,7 +953,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
                     &= \frac{a(a'z+b')+b(c'z+d')}{c(a'z+b') + d(c'z+d')}\\
                     &= \frac{(aa'+bc')z + ab' + bd'}{(ca'+db')z + cb' + dd'}\\
                     &= \begin{pmatrix}aa'+bc'&ab'+bd'\\ca'+db'&cb'+dd'\end{pmatrix} \circ z\\
-                    &= \left ( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right ) \circ z 
+                    &= \left ( \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a'&b'\\c'&d'\end{pmatrix} \right ) \circ z
               \end{align*}
         \item Es gilt $\sigma(z) = (-\sigma)(z)$ für alle $\sigma \in \SL_2(\mdr)$
               und $z \in \mdh$.
@@ -975,7 +975,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
 
               Daher genügt es zu zeigen, dass man mit $A_{\lambda}$, $B_t$ und $C$ alle Matrizen
               aus $\SL_2(\mdr)$ erzeugen kann, genügt es also von einer beliebigen
-              Matrix durch Multiplikation mit Matrizen der Form $A_{\lambda}$, 
+              Matrix durch Multiplikation mit Matrizen der Form $A_{\lambda}$,
               $B_t$ und $C$ die Einheitsmatrix zu generieren.
 
               Sei also
@@ -1056,9 +1056,9 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
 \begin{definition}\xindex{Doppelverhältnis}%In Vorlesung: Def+Prop 15.4
     Seien $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \mdc$ paarweise verschieden.
 
-    Dann heißt 
+    Dann heißt
     \[\DV(z_1, z_2, z_3, z_4) := \frac{\frac{z_1 - z_4}{z_1 - z_2}}{\frac{z_3 - z_4}{z_3 - z_2}} = \frac{(z_1 - z_4) \cdot (z_3 - z_2)}{(z_1 - z_2) \cdot (z_3 - z_4)}\]
-    \textbf{Doppelverhältnis} von 
+    \textbf{Doppelverhältnis} von
     $z_1, \dots, z_4$.
 \end{definition}
 
@@ -1071,7 +1071,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
               oder wenn zwei der $z_i$ gleich sind.
         \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = z_4$ (Der Fall $z_4 \in \Set{0, 1, \infty}$ ist zugelassen).
         \item \label{bem:15.4d} Für $\sigma \in \PSL_2(\mdc)$ und $z_1, \dots, z_4 \in \mdc \cup \Set{\infty}$
-              ist 
+              ist
               \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \DV(z_1, z_2, z_3, z_4)\]
               und für $\sigma(z) = \frac{1}{\overline{z}}$ gilt
               \[\DV(\sigma(z_1), \sigma(z_2), \sigma(z_3), \sigma(z_4)) = \overline{\DV(z_1, z_2, z_3, z_4)}\]
@@ -1110,7 +1110,7 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
                     Durch Einsetzen ergibt sich $\DV(z_1, \dots, z_4)=1$.
             \end{itemize}
 
-            Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist 
+            Im Fall, dass ein $z_i = \infty$ ist, ist
             entweder $\DV(0, 1, \infty, z_4) = 0$ oder $\DV(0, 1, \infty, z_4) \pm \infty$
         \item $\DV(0, 1, \infty, z_4) = \frac{(0- z_4) \cdot (\infty - 1)}{(0 -1) \cdot (\infty - z_4)} = \frac{z_4 \cdot (\infty - 1)}{\infty - z_4} = z_4$
         \item Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de schicken.%TODO

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -12,16 +12,16 @@
 \section{Krümmung von Kurven}\label{sec:Kurvenkrümmung}
 \begin{definition}%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1
     Sei $\gamma: I = [a, b] \rightarrow \mdr^n$ eine Kurve.
-    
+
     \begin{defenum}
-        \item Die Kurve $\gamma$ heißt 
+        \item Die Kurve $\gamma$ heißt
               \textbf{durch Bogenlänge parametrisiert}\xindex{parametrisiert!durch Bogenlänge},
               wenn gilt:
               \[\|\gamma'(t)\|_2 = 1 \;\;\; \forall t \in I\]
               Dabei ist $\gamma'(t) = \left (\gamma_1'(t), \gamma_2'(t), \dots, \gamma_n'(t) \right)$.
         \item $l(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\| \mathrm{d} t$ heißt
               \textbf{Länge von $\gamma$}\xindex{Kurve!Länge einer}.
-    \end{defenum}    
+    \end{defenum}
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}[Eigenschaften von Kurven I]%In Vorlesung: Def.+Bem. 16.1
@@ -29,7 +29,7 @@
 
     \begin{bemenum}
         \item Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist $l(\gamma) = b-a$.
-        \item \label{bem:16.1d} Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist 
+        \item \label{bem:16.1d} Ist $\gamma$ durch Bogenlänge parametrisiert, so ist
               $\gamma'(t)$ orthogonal zu $\gamma''(t)$ für alle $t \in I$.
     \end{bemenum}
 \end{bemerkung}
@@ -85,8 +85,8 @@ Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear
     da gilt:
 
     \begin{align*}
-        \langle n(t), \gamma'(t) \rangle &= 
-        \left \langle 
+        \langle n(t), \gamma'(t) \rangle &=
+        \left \langle
             \begin{pmatrix}- \cos \frac{t}{r}\\ - \sin \frac{t}{r}\end{pmatrix},
             \begin{pmatrix}- \sin \frac{t}{r}\\ \cos \frac{t}{r}\end{pmatrix}
         \right \rangle\\
@@ -128,7 +128,7 @@ Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear
               Also gilt:
               \[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\]
               $b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor},
-              die Orthonormalbasis 
+              die Orthonormalbasis
               \[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\]
               heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begleitendes}.
     \end{defenum}
@@ -185,16 +185,16 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$.
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item \label{bew:tangentialebene.a} $J_F$ ist eine $3 \times 2$-Matrix, die mit einem $2 \times 1$-Vektor
-              multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der 
+              multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der
               linearen Algebra ist bekannt, das das Bild ein Vektorraum ist.
               Da $\rang(J_F) = 2$, ist auch $\dim (T_s S) = 2$.
         \item Hier kann man wie in \cref{bew:tangentialebene.a} argumentieren
-        \item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } 
-          \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S 
-          \text{ für ein } \varepsilon > 0 
+        \item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve }
+          \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S
+          \text{ für ein } \varepsilon > 0
           \text{ mit } \gamma(0) = s \text{ und } \gamma'(0) = x
           \}$\\
-          Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de 
+          Wenn jemand diesen Beweis führt, bitte an info@martin-thoma.de
           schicken.%TODO
         \item Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$
     eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$,
@@ -231,7 +231,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
               von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$
               von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$
               ein stetiges Normalenfeld existiert.
-        \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen 
+        \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen
               differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen
               $F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass
               für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$
@@ -256,7 +256,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
 
 \begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband}
     \centering
-    \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf} 
+    \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf}
     \caption{Möbiusband}
     \label{fig:moebius-strip}
 \end{figure}
@@ -266,7 +266,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
     Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor
     in $s$, $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$.
 
-    Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale 
+    Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale
     Untervektorraum von $\mdr^3$.
 
     Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass
@@ -277,7 +277,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
-    \enquote{Satz über implizite Funktionen}\footnote{Siehe z.~B. 
+    \enquote{Satz über implizite Funktionen}\footnote{Siehe z.~B.
     \url{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}}
 \end{beweis}
 
@@ -362,18 +362,18 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
 \end{beweis}
 
 \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6
-    Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an 
+    Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an
     $S$ in $s$.
 
     Sei $T_{s}^{1} S = \Set{x \in T_s S | \|x\| = 1} \cong S^1$.
-    Dann ist 
+    Dann ist
     \[ \kappanor^n(s): T^1_s S \rightarrow \mdr, \;\;\; x \mapsto \kappanor(s,x)\]
-    eine glatte Funktion und 
+    eine glatte Funktion und
     $\Bild \kappanor^n(s)$ ist ein abgeschlossenes Intervall.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}\xindex{Hauptkrümmung}\xindex{Gauß-Krümmung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6
-    Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an 
+    Sei $S$ eine reguläre Fläche und $n=n(s)$ ein Normalenvektor an
     $S$ in $s$.
 
     \begin{defenum}
@@ -388,7 +388,7 @@ Im Folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bem.+Def. 18.6
-    Ersetzt man $n$ durch $-n$, so gilt: 
+    Ersetzt man $n$ durch $-n$, so gilt:
 
     \begin{align*}
                 \kappanor^{-n}(s, x) &= - \kappanor^n(x)\; \forall x \in T_s^1 S\\
@@ -457,7 +457,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
         \item \label{bem:19.1a} Die Einschränkung des Standardskalarproduktes des $\mdr^3$ auf
               $T_s S$ macht $T_s S$ zu einem euklidischen Vektorraum.
         \item $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ ist eine Basis von $T_s S$.
-        \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das 
+        \item Bzgl. der Basis $\Set{D_p F(e_1), D_p F(e_2)}$ hat das
               Standardskalarprodukt aus \cref{bem:19.1a} die Darstellungsmatrix
               $I_S$.
         \item $g_{i,j}(s)$ ist eine differenzierbare Funktion von $s$.
@@ -465,7 +465,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
-    \[\det(I_S) = \left \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) \right \|^2\] 
+    \[\det(I_S) = \left \| \frac{\partial F}{\partial u_1}(p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2}(p) \right \|^2\]
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
@@ -495,7 +495,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
     \begin{defenum}
         \item Das Differential $\mathrm{d} A = \sqrt{\det (I)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2$
               heißt \textbf{Flächenelement} von $S$ bzgl. der Parametrisierung $F$.
-        \item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt 
+        \item \label{def:berechenbares-integral}Für eine Funktion $f: V \rightarrow \mdr$ heißt
               \[\int_V f \mathrm{d} A := \int_U f(\underbrace{F(u_1, u_2)}_{=: s}) \sqrt{\det I(s)} \mathrm{d} u_1 \mathrm{d} u_2\]
               der \textbf{Wert des Integrals} von $f$ über $V$, falls das Integral rechts
               existiert.
@@ -535,7 +535,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
 
     \begin{propenum}
         \item \label{prop:5.1a} $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_s n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$
-              durch 
+              durch
               \[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\]
               Die Abbildung $d_s n$ heißt \textbf{Weingarten-Abbildung}
         \item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$.
@@ -560,7 +560,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
 
         Sei $x_i = D_p F(e_i) = \frac{\partial F}{\partial u_i} (p)\;\;\; i = 1,2$
 
-        \underline{Beh.:} 
+        \underline{Beh.:}
           $\langle x_i, d_s n(x_j) \rangle = \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle$
 
         $\Rightarrow \langle \frac{\partial^2 F}{\partial u_i \partial u_j} (p), d_s n (x_i) \rangle = \langle x_j, d_s n (x_i) \rangle$
@@ -597,9 +597,9 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
 
 \begin{beweis}
     Nach \cref{def:18.4} ist $\kappanor(s, \gamma) = \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$.
-    Nach Voraussetzung gilt 
+    Nach Voraussetzung gilt
     \[n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0\]
-    Die Ableitung nach $t$ ergibt 
+    Die Ableitung nach $t$ ergibt
     \begin{align*}
         0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\
         &= \left \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \right \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\
@@ -629,7 +629,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
               Eigenvektoren $y_1, y_2$ von $II_s$. Ist $x \in T_s S$, $\|x\| = 1$,
               so gibt es $\varphi \in [0,2\pi)$ mit $x = \cos \varphi \cdot y_1 + \sin \varphi \cdot y_2$.
 
-              Seien $\lambda_1, \lambda_2$ die Eigenwerte von $II_s$, also 
+              Seien $\lambda_1, \lambda_2$ die Eigenwerte von $II_s$, also
               $II_s(y_i, y_i) = \lambda_i$. Dann gilt:
               \begin{align*}
                   II_s (x,x) &= \cos^2 \varphi \lambda_1 + \sin^2 \varphi \lambda_2\\

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -20,13 +20,13 @@
     $(X, \fT_X)$ ist also nicht hausdorffsch.
 
     \textbf{Teilaufgabe c)} Nach Bemerkung \ref{Trennungseigenschaft}
-    sind metrische Räume hausdorffsch. Da $(X, \fT_X)$ nach (b) nicht 
+    sind metrische Räume hausdorffsch. Da $(X, \fT_X)$ nach (b) nicht
     hausdorffsch ist, liefert die Kontraposition der Trennungseigenschaft,
     dass $(X, \fT_X)$ kein metrischer Raum sein kann.
 \end{solution}
 
 \begin{solution}[\ref{ub1:aufg4}]
-    \textbf{Teilaufgabe a)} 
+    \textbf{Teilaufgabe a)}
 
     \textbf{Beh.:}  $\forall a \in \mdz: \Set{a}$ ist abgeschlossen.
 
@@ -35,7 +35,7 @@
     Wenn jemand diese Aufgabe gemacht hat, bitte die Lösung an info@martin-thoma.de
     schicken.%TODO
 
-    \textbf{Teilaufgabe b)} 
+    \textbf{Teilaufgabe b)}
 
     \textbf{Beh.:} $\Set{-1, 1}$ ist nicht offen
 
@@ -50,7 +50,7 @@
     in dieser Topologie offen sein $\Rightarrow \Set{-1,1}$ ist
     nicht offen. $\qed$
 
-    \textbf{Teilaufgabe c)} 
+    \textbf{Teilaufgabe c)}
 
     \textbf{Beh.:} Es gibt unendlich viele Primzahlen.
 
@@ -58,7 +58,7 @@
 
     Annahme:  Es gibt nur endlich viele Primzahlen $p \in \mdp$
 
-    Dann ist 
+    Dann ist
     \[\mdz \setminus \Set{-1, +1} \overset{\text{FS d. Arithmetik}}= \bigcup_{p \in \mdp} U_{0,p}\]
     endlich. Das ist ein Widerspruch zu $|\mdz|$ ist unendlich und
     $|\Set{-1,1}|$ ist endlich. $\qed$
@@ -67,7 +67,7 @@
 \begin{solution}[\ref{ub2:aufg4}]
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item \textbf{Beh.:} Die offenen Mengen von $P$ sind
-              Vereinigungen von Mengen der Form 
+              Vereinigungen von Mengen der Form
               \[\prod_{j \in J} U_j \times \prod_{i \in \mdn, i \neq j} P_i\]
               wobei $J \subseteq \mdn$ endlich und $U_j \subseteq P_j$
               offen ist.
@@ -79,7 +79,7 @@
                 $\forall{j \in J}$
                 eine Basis der Topologie.
 
-                Damit sind die offenen 
+                Damit sind die offenen
                 Mengen von $P$ Vereinigungen von Mengen der obigen
                 Form. $\qed$
               \end{beweis}
@@ -95,10 +95,10 @@
                 für alle $i \in \mdn$ gilt entweder $p_i(Z) \subseteq \Set{0}$
                 oder $p_i(Z) \subseteq \Set{1}$. Es sei $z_i \in \Set{0,1}$
                 so, dass $p_i(Z) \subseteq \Set{z_i}$ für alle $i \in \mdn$.
-                Dann gilt also: 
+                Dann gilt also:
                 \[\underbrace{p_i(x)}_{= x_i} = z_i = \underbrace{p_i(y)}_{= y_i} \forall i \in \mdn\]
                 Somit folgt: $x = y \qed$
-                
+
               \end{beweis}
     \end{enumerate}
 \end{solution}
@@ -107,9 +107,9 @@
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item \textbf{Beh.:} $\GL_n(\mdr)$ ist nicht kompakt.\\
             \textbf{Bew.:} $\det: \GL_n(\mdr) \rightarrow \mdr \setminus \Set{0}$
-                ist stetig. Außerdem ist 
-                $\det(\GL_n(\mdr)) = \mdr \setminus \Set{0}$ nicht 
-                kompakt. $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$ 
+                ist stetig. Außerdem ist
+                $\det(\GL_n(\mdr)) = \mdr \setminus \Set{0}$ nicht
+                kompakt. $\overset{\ref{kor:5.6}}{\Rightarrow}$
                 $\GL_n(\mdr)$ ist nicht kompakt. $\qed$
         \item \textbf{Beh.:} $\SL_1(\mdr)$ ist nicht kompakt, für $n > 1$ ist $\SL_n(\mdr)$ kompakt.\\
             \textbf{Bew.:} Für $\SL_1(\mdr)$ gilt:
@@ -119,7 +119,7 @@
 
                 $\SL_n(\mdr) \subseteq \GL_n(\mdr)$ lässt sich mit einer
                 Teilmenge des $\mdr^{n^2}$ identifizieren. Nach \cref{satz:heine-borel}
-                sind diese genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und 
+                sind diese genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und
                 abgeschlossen sind. Definiere nun für für $n \in \mdn_{\geq 2}, m \in \mdn$:
                 \[A_m = \text{diag}_n(m, \frac{1}{m}, \dots, 1)\]
                 Dann gilt: $\det A_m = 1$, d.~h. $A_m \in \SL_n(\mdr)$,
@@ -138,7 +138,7 @@
     nachgelesen werden.
 
     \begin{definition}\xindex{Homomorphismus}%
-        Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und 
+        Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und
         $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung.
 
         $\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}, wenn
@@ -161,16 +161,16 @@
 \begin{solution}[\ref{ub3:meinsExtra2}]
     Die Definition einer Isotopie kann auf \cpageref{def:Isotopie} nachgelesen
     werden, die einer Isometrie auf \cpageref{def:Isometrie}.
-    
+
     \begin{definition}\xindex{Isomorphismus}%
-        Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und 
+        Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und
         $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung.
 
         $\varphi$ heißt \textbf{Isomorphismus}, wenn $\varphi$ ein bijektiver
         Homomorphismus ist.
     \end{definition}
 
-    Eine Isotopie ist also für Knoten definiert, Isometrien machen nur in 
+    Eine Isotopie ist also für Knoten definiert, Isometrien machen nur in
     metrischen Räumen Sinn und ein Isomorphismus benötigt eine Gruppenstruktur.
 \end{solution}
 
@@ -180,7 +180,7 @@
               \textbf{Beh.:} $M$ ist wegzusammehängend $\gdw M$ ist zusammenhängend
               \begin{beweis}
                 \enquote{$\Rightarrow$}: Da $M$ insbesondere ein
-                topologischer Raum ist folgt diese Richtung direkt 
+                topologischer Raum ist folgt diese Richtung direkt
                 aus \cref{kor:wegzusammehang-impliziert-zusammenhang}.
 
                 \enquote{$\Leftarrow$}: Seien $x,y \in M$ und
@@ -192,7 +192,7 @@
                     \item $Z^C := \Set{\tilde{z} \in M | \nexists \text{Weg von } x \text{ nach } \tilde{z}}$ ist offen
 
                     Da $M$ eine Mannigfaltigkeit ist, existiert zu jedem
-                    $\tilde{z} \in Z^C$ eine offene und wegzusammenhängende Umgebung 
+                    $\tilde{z} \in Z^C$ eine offene und wegzusammenhängende Umgebung
                     $U_{\tilde{z}} \subseteq M$.
 
                     Es gilt sogar $U_{\tilde{z}} \subseteq Z^C$, denn
@@ -226,7 +226,7 @@
                 Da $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_1}$ homöomorph
                 zu $\mdr$ ist, exisitert ein Weg $\gamma_1$ von $0_1$
                 zu einem beliebigen Punkt $a \in \mdr \setminus \Set{0}$.
-                
+
                 Da $(\mdr \setminus \Set{0}) \cup \Set{0_2}$ ebenfalls
                 homöomorph zu $\mdr$ ist, existiert außerdem ein Weg
                 $\gamma_2$ von $a$ nach $0_2$. Damit existiert ein
@@ -241,18 +241,18 @@
 %    \textbf{Beh.:} $H_k = \begin{cases}\mdr &\text{für } k\in \Set{0,1}\\
 %                                       0    &\text{für } k \geq 2$
 %    \newcommand{\triangleSimplizialkomplex}{\mathord{\includegraphics[height=5ex]{figures/triangleSimplizialkomplex.pdf}}}
-%    \textbf{Bew.:} $S^1$ ist homöomorph zum Simplizialkomplex 
+%    \textbf{Bew.:} $S^1$ ist homöomorph zum Simplizialkomplex
 %                   $X = \triangleSimplizialkomplex$, d.~h. dem Rand
 %                   von $\Delta^2$. Es gilt:
 %            \[X = \Set{\underbrace{v_0, v_1, v_2}_{A_0(X)}, \underbrace{\Delta (v_1, v_2)}_{=: a_0}, \underbrace{\underbrace{\Delta (v_0, v_2)}_{=: a_1}, \underbrace{\Delta(v_0, v_1)}_{=: a_2}}_{A_1(X)}}\]
-%            Damit folgt: 
+%            Damit folgt:
 %        \begin{enumerate}
-%            \item Für $k \geq 2$ ist $C_k(X) \cong 0$, da es in diesen 
+%            \item Für $k \geq 2$ ist $C_k(X) \cong 0$, da es in diesen
 %                Dimensionen keine Simplizes gibt, d.~h. $A_k(X) = \emptyset$ gilt.\\
 %                Also: $H_k(X) \cong 0 \; \forall k \geq 2$
-%            \item $C_0(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i v_i | c_i \in \mdr}$, da 
+%            \item $C_0(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i v_i | c_i \in \mdr}$, da
 %                $A_0(x)$ Basis von $C_0(X)$ ist;\\
-%                $C_1(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i a_i | c_i \in \mdr}$, da 
+%                $C_1(X) = \Set{\sum_{i=0}^2 c_i a_i | c_i \in \mdr}$, da
 %                $A_1(X)$ Basis von $C_1(X)$ ist.
 %            \item Für die Randabbildungen $d_i: C_i(X) \rightarrow C_{i-1}(X)$ gilt:
 %                $d_0 \equiv 0$, $d_1: C_1(X) \rightarrow C_0(X)$ ist definiert durch
@@ -287,7 +287,7 @@
               $\angle BCA \xRightarrow{\crefabbr{bem:14.9}} \measuredangle BC' A > \measuredangle BCA$\\
               $\Rightarrow \measuredangle BCA < \measuredangle BC' A = \measuredangle ABC' < \measuredangle ABC $
               Sei umgekehrt $\measuredangle ABC > \measuredangle BCA$,
-              kann wegen 1. Teil von \cref{ub11:aufg3.b} nicht 
+              kann wegen 1. Teil von \cref{ub11:aufg3.b} nicht
               $d(A,B) > d(A,C)$ gelten.\\
               Wegen \cref{ub11:aufg3.a} kann nicht $d(A,B) = d(A,C)$
               gelten.\\
@@ -343,7 +343,7 @@
         d(B, C)  &= d(B', C')
     \end{align*}
 
-    Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A) = A'$, $\varphi(B) = B'$ und 
+    Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A) = A'$, $\varphi(B) = B'$ und
     $\varphi(C')$ liegt in der selben Halbebene bzgl. $AB$ wie $C$. Diese
     Isometrie existiert wegen \ref{axiom:4}.
 

documents/GeoTopo/README.md

@@ -5,23 +5,23 @@ wird, die die Inhalte noch lernen, sind sehr wahrscheinlich einige
 Fehler im Skript. Das können Übertragungsfehler, Tippfehler oder
 Verständnisprobleme sein.
 
-Verbesserungsvorschläge (auch wenn es nur einzelne Textsetzungsprobleme oder 
+Verbesserungsvorschläge (auch wenn es nur einzelne Textsetzungsprobleme oder
 Rechtschreibfehler sind) bitte immer direkt melden oder verbessern!
 
-Den Verbesserungsvorschlag kann man 
-* entweder direkt selbst umsetzen und einen pull request machen oder 
-* mir per Email (info@martin-thoma.de) schicken. 
+Den Verbesserungsvorschlag kann man
+* entweder direkt selbst umsetzen und einen pull request machen oder
+* mir per Email (info@martin-thoma.de) schicken.
 
 Ich werde dann versuchen die Verbesserungsvorschläge zeitnah einzuarbeiten.
 
 Zeichnungen
 ===========
-Das erstellen der Zeichnungen ist sehr zeitaufwendig. Das ist der 
+Das erstellen der Zeichnungen ist sehr zeitaufwendig. Das ist der
 Grund, warum manchmal nur ein "TODO" im Dokument steht.
 
 Ihr könnt mir gerne Zeichnungen schicken (entweder schön auf Papier
 Zeichnen und abfotographieren / einscannen oder schon mit Inscape /
-Gimp / ... oder sogar mit TikZ erstellen). 
+Gimp / ... oder sogar mit TikZ erstellen).
 
 Akzeptable Formate sind: .jpg, .pdf, .svg, .png, .gif, .tex, .sketch
 Alles andere kann ich vermutlich nicht einbinden.
@@ -37,8 +37,8 @@ Rechtliches
 ===========
 Die Autoren kann man über Git ermitteln. Ich schreibe meist nur den
 Tafelanschrieb der Vorlesung ab; eventuell noch mit ein paar
-Notizen meinerseits. Wenn mir Verbesserungsvorschläge per Email 
-geschickt werden, ist der Autor sowie das Datum der Email in der 
+Notizen meinerseits. Wenn mir Verbesserungsvorschläge per Email
+geschickt werden, ist der Autor sowie das Datum der Email in der
 Commit-Nachricht von Git zu sehen.
 
 Bilder habe ich entweder selbst erstellt oder von tex.stackexchange.com.

documents/GeoTopo/Vorwort.tex

@@ -6,19 +6,19 @@ der Vorlesung von Prof.~Dr.~Herrlich sowie die Mitschriften einiger
 Übungen und Tutorien.
 
 Das Skript ist kostenlos über \href{http://martin-thoma.com/geotopo/}{martin-thoma.com/geotopo}
-verfügbar. Wer es gerne in A5 (Schwarz-Weiß, Ringbindung) für 10 Euro hätte, 
+verfügbar. Wer es gerne in A5 (Schwarz-Weiß, Ringbindung) für 10 Euro hätte,
 kann mir eine E-Mail schicken (info@martin-thoma.de).
 
 \section*{Danksagungen}
-An dieser Stelle möchte ich Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich für einige 
-Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten Tafelanschrieb 
+An dieser Stelle möchte ich Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich für einige
+Korrekturvorschläge und einen gut strukturierten Tafelanschrieb
 danken, der als Vorlage für dieses Skript diente. Tatsächlich basiert
 die Struktur dieses Skripts auf der Vorlesung von Herrn~Prof.~Dr.~Herrlich
 und ganze Abschnitte konnten direkt mit \LaTeX{} umgesetzt werden.
 Vielen Dank für die Erlaubnis, Ihre Inhalte in diesem Skript einbauen
 zu dürfen!
 
-Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt 
+Vielen Dank auch an Frau Lenz und Frau Randecker, die es mir erlaubt
 haben, ihre Übungsaufgaben und Lösungen zu benutzen.
 
 Jérôme Urhausen hat durch viele Verbesserungsvorschläge und Beweise zu einer erheblichen
@@ -70,11 +70,11 @@ der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$, deren Betrag, Folgen und
 Häufungspunkten nicht weiter schwer fallen.
 Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt.
 
-Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume, 
+Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume,
 lineare Unabhängigkeit, der Spektralsatz und der projektive Raum $\praum(\mdr)$ aus
 \enquote{Lineare Algebra I} bekannt sind. In \enquote{Lineare Algebra II}
 wird der Begriff der Orthonormalbasis eingeführt.
 
 Obwohl es nicht vorausgesetzt wird, könnte es von Vorteil sein
-\enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu 
+\enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu
 haben.

documents/GeoTopo/definitions/flashcards-try.tex

@@ -46,10 +46,10 @@
 %%
 \usepackage{../shortcuts}
 
-\hypersetup{ 
-  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
-  pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, 
-  pdftitle    = {Geometrie und Topologie - Definitionen} 
+\hypersetup{
+  pdfauthor   = {Martin Thoma},
+  pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
+  pdftitle    = {Geometrie und Topologie - Definitionen}
 }
 \allowdisplaybreaks
 

documents/GeoTopo/definitions/mathe-vorlage.tex

@@ -38,10 +38,10 @@
 \usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry}
 \usepackage{../shortcuts}
 
-\hypersetup{ 
-  pdfauthor   = {Martin Thoma}, 
-  pdfkeywords = {Geometrie und Topologie}, 
-  pdftitle    = {Geometrie und Topologie - Definitionen} 
+\hypersetup{
+  pdfauthor   = {Martin Thoma},
+  pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
+  pdftitle    = {Geometrie und Topologie - Definitionen}
 }
 \allowdisplaybreaks
 

documents/GeoTopo/figures/2d-semicubical-parabola.tex

@@ -18,15 +18,15 @@
         tick align=outside,
         %minor tick num=-3,
         enlargelimits=true]
-      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5}; 
-      \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5}; 
-      \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {1/3*x^1.5};
+      \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {1*x^1.5};
+      \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {2*x^1.5};
 
-      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5}; 
-      \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5}; 
-      \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5}; 
+      \addplot[domain=0:12, red, thick,samples=500] {-1/3*x^1.5};
+      \addplot[domain=0:12, dotted, orange, thick,samples=500] {-1*x^1.5};
+      \addplot[domain=0:12, dashed, blue, thick,samples=500] {-2*x^1.5};
       \addlegendentry{$a=\frac{1}{3}$}
       \addlegendentry{$a=1$}
       \addlegendentry{$a=2$}
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/3d-function-semicubical-parabola.tex

@@ -27,5 +27,5 @@
     }
     ]
       \addplot3[surf] {y*y-x*x*x};
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex

@@ -14,13 +14,13 @@
     \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper}
     \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp}
     \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}]
-        (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] 
+        (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm]
         {\footnotesize $x_P$};
 
     \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper}
     \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp}
     \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}]
-        (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] 
+        (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm]
         {\footnotesize $y_P$};
 
     \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp)

documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-3.tex

@@ -10,13 +10,13 @@
     \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,X) \tkzGetPoint{helper}
     \tkzInterLL(O,X)(P,helper) \tkzGetPoint{xp}
     \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt,mirror}]
-        (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm] 
+        (O) -- (xp) node [black,midway,xshift=0cm, yshift=-0.3cm]
         {\footnotesize $x_P$};
 
     \tkzDefLine[orthogonal=through P,/tikz/overlay](O,Y) \tkzGetPoint{helper}
     \tkzInterLL(O,Y)(P,helper) \tkzGetPoint{yp}
     \draw [decorate,decoration={brace,amplitude=4pt}]
-        (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm] 
+        (O) -- (yp) node [black,midway,xshift=-0.4cm]
         {\footnotesize $y_P$};
 
     \tkzDrawPolygon(O,xp,P,yp)

documents/GeoTopo/figures/cube.tex

@@ -18,9 +18,9 @@
    \path[name path=trpath] (tl) -- (fr);
    \path[name path=tlpath] (tr) -- (fl);
 
-   \draw[name intersections={of=brpath and rbpath}] (intersection-1)coordinate (br){}; 
-   \draw[name intersections={of=blpath and lbpath}] (intersection-1)coordinate (bl){}; 
-   \draw[name intersections={of=trpath and tlpath}] (intersection-1)coordinate (tb){}; 
+   \draw[name intersections={of=brpath and rbpath}] (intersection-1)coordinate (br){};
+   \draw[name intersections={of=blpath and lbpath}] (intersection-1)coordinate (bl){};
+   \draw[name intersections={of=trpath and tlpath}] (intersection-1)coordinate (tb){};
 
    \shade[right color=gray!10, left color=black!50, shading angle=105] (tf) -- (bf) -- (bl) -- (tl) -- cycle;
    \shade[left color=gray!10, right color=black!50, shading angle=75] (tf) -- (bf) -- (br) -- (tr) -- cycle;

documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology-open.tex

@@ -63,5 +63,5 @@
         \node at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$y$};
         \node at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x$};
 
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/neighbourhood-topology.tex

@@ -43,5 +43,5 @@
         \node[blue] at (axis cs:0,3) [anchor=east] {$x_2$};
         \node[blue] at (axis cs:2,0) [anchor=north] {$x_1$};
 
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/number-ray-circle-topology.tex

@@ -9,7 +9,7 @@
     },
 }
 \begin{tikzpicture}
-  
+
   \draw[->] (-1.5,0) -- (5.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$};
 
   \foreach \x in {-1,...,5}

documents/GeoTopo/figures/open-square.tex

@@ -23,5 +23,5 @@
         % Draw axis text
         \node at (axis cs:-1,0.5) [anchor=east] {$\mathfrak{B}_r(0) = $};
 
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/plane-r2.tex

@@ -12,10 +12,10 @@
 			\draw[grid] (\x,-0.5) -- (\x,2.5);
 			\draw[grid] (-0.5,\y) -- (2.5,\y);
 		}
-			
+
 
 	%draw the axes
 	\draw[axis] (-1,0,0) -- (3,0,0) node[anchor=west]{$y$};
 	\draw[axis] (0,-1,0) -- (0,3,0) node[anchor=west]{$x$};
-	
+
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/pyramid.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \begin{tikzpicture}[scale=.5, z={(.707,.3)}]
-    \draw (2,3,2) -- (0,0,0) -- (4,0,0) -- (4,0,4) -- (2,3,2) 
+    \draw (2,3,2) -- (0,0,0) -- (4,0,0) -- (4,0,4) -- (2,3,2)
       -- (4,0,0);
-    \draw[color=gray, style=dashed] (2,3,2) -- (0,0,4) 
+    \draw[color=gray, style=dashed] (2,3,2) -- (0,0,4)
       -- (0,0,0);
     \draw[color=gray, style=dashed] (0,0,4) -- (4,0,4);
   \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/sncf-metrik.tex

@@ -28,14 +28,14 @@
         enlargelimits=true,
         tension=0.08]
       % plot the stirling-formulae
-      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; 
-      \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; 
-      \addplot[domain=-4:4, red, thick,samples=500] {x}; 
-      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; 
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x};
+      \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x};
+      \addplot[domain=-4:4, red, thick,samples=500] {x};
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x};
       \addplot[color=red,only marks,mark=o]
         plot coordinates {
             (1.5,3)
             (1.5,1.5)
         };
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topo-halbgerade.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
     \node (Rright) at (6,0) {};
     \draw[dashed,very thick] (Pleft) -- (P);
     \draw[dotted,very thick] (P) -- (R) -- (Rright);
-    \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (Pleft) -- (P) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$PR^-$}; 
-    \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (P) -- (R) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$\overline{PR}$}; 
-    \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.8cm},decorate] (P) -- (Rright) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.85cm] {$PR^+$}; 
+    \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (Pleft) -- (P) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$PR^-$};
+    \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.2cm},decorate] (P) -- (R) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.25cm] {$\overline{PR}$};
+    \draw [thick,decoration={brace,mirror,raise=0.8cm},decorate] (P) -- (Rright) node [pos=0.5,anchor=north,yshift=-0.85cm] {$PR^+$};
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-1.tex

@@ -29,5 +29,5 @@
         \node at (axis cs:0.8,1.2) [anchor=-90] {$y$};
         \draw (axis cs:0.8,1.2) circle[radius=0.6];
         \addplot[mark=*] coordinates {(0.8,1.2)};
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-continuous-mapping.tex

@@ -9,7 +9,7 @@
     },
 }
 \begin{tikzpicture}
-  
+
     \draw[->] (-0.5,0) -- (1.5,0) node [below] {$\mathbb{R}$};
 
     \foreach \x in {0,...,1}

documents/GeoTopo/figures/topology-metric-hausdorff.tex

@@ -63,7 +63,7 @@
         \addplot[hatchcolor=red,mark=none, pattern=custom north west lines, draw=none] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5) (5.5,5) (5.5,0) };
         \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(4.5, 0) (4.5,5)};
         \addplot[red,mark=none, thick] coordinates {(5.5, 0) (5.5,5)};
- 
+
 
         \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(1, 0) (1,3)};
         \addplot[mark=none, dashed] coordinates {(5, 0) (5,3)};
@@ -78,5 +78,5 @@
 
         \node[red] at (axis cs:1,-0.3) [anchor=north] {$U_1 \times X_2$};
         \node[red] at (axis cs:5,-0.3) [anchor=north] {$U_2 \times X_2$};
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-paths-in-r2.tex

@@ -23,5 +23,5 @@
    (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)};
         \addplot[mark=none, blue, smooth cycle, thick, tension=3] coordinates {%
    (0,0) (-1,1) (-2,2) (-1,3) (0, 3) (1, 4)};
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-1.tex

@@ -21,5 +21,5 @@
       \addplot[domain=0:2.5, red, thick,samples=20] {-x+2.5};
       \node[point,label={[label distance=0cm]45:$e_0$}] at (axis cs:2.5,0) {};
       \node[point,label={[label distance=0cm]0:$e_1$}] at (axis cs:0,2.5) {};
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-simplex-2.tex

@@ -20,5 +20,5 @@
         \node (b)[point,label={[label distance=0cm]5:$e_1$}] at (axis cs:0,2.5) {};
         \node (c)[point,label={[label distance=0cm]0:$e_2$}] at (axis cs:2,2) {};
         \draw[thick,fill=orange!50] (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle;
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-sinx.tex

@@ -21,6 +21,6 @@
       \addplot[domain=0.0105:0.011, blue, thick,samples=20] {10};
       \addlegendentry{$\{(x, \sin(\frac{1}{x})) \in X \times Y\}$}
       \addlegendentry{$(-1,1) \subseteq Y$}
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
       \draw[ultra thick,blue] (0,0.5) -- (0,4);
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-no-simplicial-complex.tex

@@ -9,7 +9,7 @@
     \node (e)[point] at (0,2) {};
     \node (f)[point] at (4,2) {};
     \end{scope}
-    
+
     \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {};
 
     \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (b.center) -- (c.center) -- cycle;

documents/GeoTopo/figures/topology-triangle-simplicial-complex.tex

@@ -9,7 +9,7 @@
     \node (e)[point] at (0,2) {};
     \node (f)[point] at (4,2) {};
     \end{scope}
-    
+
     \node (p)[point,label={[label distance=0cm]5:$P$}] at (1.5,0.5) {};
 
     \draw[pattern=north east lines] (a.center) -- (p.center) -- (b.center) -- cycle;

documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-1.tex

@@ -14,7 +14,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center);
         \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center);
     \end{scope}
@@ -22,7 +22,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center);
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center);
     \end{scope}

documents/GeoTopo/figures/torus-invalid-triangulation-2.tex

@@ -21,7 +21,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center);
         \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center);
     \end{scope}
@@ -29,7 +29,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center);
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center);
     \end{scope}

documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation-minimal.tex

@@ -38,7 +38,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center);
         \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center);
     \end{scope}
@@ -46,7 +46,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center);
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center);
     \end{scope}

documents/GeoTopo/figures/torus-triangulation.tex

@@ -36,7 +36,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.6 with {\arrow{>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (b.center);
         \draw[postaction={decorate}] (d.center) -- (c.center);
     \end{scope}
@@ -44,7 +44,7 @@
     \begin{scope}[decoration={
         markings,
         mark=at position 0.55 with {\arrow{>>}}}
-    ] 
+    ]
         \draw[postaction={decorate}] (b.center) -- (c.center);
         \draw[postaction={decorate}] (a.center) -- (d.center);
     \end{scope}

documents/GeoTopo/figures/triangle-similar.tex

@@ -13,8 +13,8 @@
     \node at ($(C')+(0,0.4)$)  {$C'$};
     \node at ($(B)+(0.2,-0.2)$)  {$B$};
     \node at ($(C)+(0.28,0.5)$)  {$C$};
-    \tkzDrawPolygon[ultra thick,color=blue,fill=blue!20](A,B',C') 
-    \tkzDrawPolygon[line width=0.3pt,color=red,fill=red!20](A,B,C) 
+    \tkzDrawPolygon[ultra thick,color=blue,fill=blue!20](A,B',C')
+    \tkzDrawPolygon[line width=0.3pt,color=red,fill=red!20](A,B,C)
     \tkzDrawPoints(A,B',C',B,C)
     \tkzLabelSegment[below,red](A,B){$c$}
     \tkzLabelSegment[left,red](A,C){$b$}

documents/GeoTopo/figures/two-perpendiculars.tex

@@ -18,7 +18,7 @@
     \tkzDrawLines(A,B)
     \tkzDrawLine[dashed,color=orange,add=0.5 and 0.2](F,P)
     \tkzDrawLine[dashed,color=blue,add=0.5 and 0.2](G,P)
-    % 
+    %
     \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
     \tkzLabelPoint[below left](G){$G$}
     \tkzLabelPoint[above left](P){$P$}

documents/GeoTopo/figures/ursprungsgeraden.tex

@@ -18,8 +18,8 @@
         enlargelimits=true,
         tension=0.08]
       % plot the stirling-formulae
-      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x}; 
-      \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x}; 
-      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x}; 
-    \end{axis} 
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {0.5*x};
+      \addplot[domain=-2:2, red, thick,samples=500] {2*x};
+      \addplot[domain=-4:8, red, thick,samples=500] {-0.5*x};
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/zariski-topology.tex

@@ -29,5 +29,5 @@
             \addplot[mark=none] coordinates {(\i,-0.2) (\i,5.2)};
         }
         \addplot[mark=none] coordinates {(0,2) (5,2)};
-    \end{axis} 
+    \end{axis}
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md

@@ -68,7 +68,7 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |07.02.2014 | 11:15 - 11:20 |   5 | Definitionen vereinfacht
 |07.02.2014 | 11:35 - 11:45 |  10 | Definition "operiert durch Homöomorphismen" korrigiert
 |07.02.2014 | 15:00 - 15:30 |  30 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email vom 08.02.2014, umgesetzt.
-|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 |  15 | Verbesserungen 
+|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 |  15 | Verbesserungen
 |07.02.2014 | 19:30 - 21:20 | 110 | Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes
 |10.02.2014 | 10:30 - 11:05 |  35 | Formulierung in Definitionen vereinfacht; Textsetzung
 |10.02.2014 | 11:05 - 11:20 |  15 | Verbesserungsvorschläge von Marco, Email 1 vom 10.02.2014, umgesetzt.
@@ -92,6 +92,6 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |20.02.2014 | 12:00 - 13:00 |  60 | Verbesserungsvorschläge von Jonathan (Facebook, 20.02.2014) eingearbeitet.
 |20.02.2014 | 13:00 - 13:45 |  45 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email 1 vom 20.02.2014, umgesetzt.
 |20.02.2014 | 19:30 - 20:15 |  45 | Verbesserungsvorschläge von Jérôme Urhausen, Email 2 vom 20.02.2014, umgesetzt.
-| Zwischenstand | ---       | --- | 6081 Minuten => Über 100 Stunden! 
+| Zwischenstand | ---       | --- | 6081 Minuten => Über 100 Stunden!
 |17.03.2014 | 16:00 - 18:00 | 120 | Textsetzung
 |19.03.2014 | 08:00 - 10:00 | 120 | Verbesserung des Symbolverzeichnisses

documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-Zu diesem Skript haben einige Leute beigetragen. Die Personen, die am 
+Zu diesem Skript haben einige Leute beigetragen. Die Personen, die am
 meisten beigetragen haben, stehen direkt im Skript unter "Danksagungen".
 
 Hier ist eine (hoffentlich bald) vollständige Liste der Mitwirkenden (alphabetisch geordnet) mit

documents/GeoTopo/meta/README.md

@@ -4,7 +4,7 @@ bitte ich um eine Email.
 
 Konventionen
 ============
-* `\mathbb{N}` sollte vermieden werden. Stattdessen wird 
+* `\mathbb{N}` sollte vermieden werden. Stattdessen wird
   `\mathbb{N}_0` und `\mathbb{N}_+` verwendet.
 * `\subset` sollte vermieden werden. Stattdessen wird
   `\subseteq` bzw. `\subsetneq` verwendet.

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \subsection*{Teilaufgabe a}
 \textbf{Gegeben:}
 
-\[A = 
+\[A =
 \begin{pmatrix}
     3 & 15 & 13 \\
     6 & 6  & 6  \\
@@ -11,7 +11,7 @@
 
 \textbf{Aufgabe:} LR-Zerlegung von $A$ mit Spaltenpivotwahl
 
-\textbf{Lösung:} 
+\textbf{Lösung:}
 
 \begin{align*}
 	&
@@ -85,7 +85,7 @@ Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com
 
 \textbf{Gegeben:}
 
-\[A = 
+\[A =
 \begin{pmatrix}
     9 & 4 & 12 \\
     4 & 1  & 4 \\
@@ -111,7 +111,7 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
 
 \begin{align}
 	\det(A_1) &= 9 > 0\\
-	\det(A_2) &= 
+	\det(A_2) &=
 		\begin{vmatrix}
 			9 & 4 \\
 			4 & 1 \\

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist.
 
 Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.
 
-\textbf{Lösung:} 
+\textbf{Lösung:}
 \[y_i = \frac{b_i - \sum_{k=1}^{i-1} l_{ik} \cdot y_k}{l_{ii}}\]
 
 \begin{algorithm}[H]

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -33,7 +33,7 @@ mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf.
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		1      & 0\\
 		\frac{1}{9} & 1
-	\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot 
+	\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		3 & 1\\
 		0      & \frac{8}{9}
@@ -81,7 +81,7 @@ Anschließend berechnen wir
 	\begin{pmatrix}
 		x_1\\
 		y_1
-	\end{pmatrix} &= 
+	\end{pmatrix} &=
 	\begin{pmatrix}
 		x_0\\
 		y_0
@@ -89,7 +89,7 @@ Anschließend berechnen wir
 	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
 		x_1\\
 		y_1
-	\end{pmatrix} &= 
+	\end{pmatrix} &=
 	\begin{pmatrix}
 		-\frac{1}{3}\\
 		0
@@ -102,7 +102,7 @@ Anschließend berechnen wir
 	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
 		x_1\\
 		y_1
-	\end{pmatrix} &= 
+	\end{pmatrix} &=
 	\begin{pmatrix}
 		-\nicefrac{13}{18}\\
 		-\nicefrac{15}{18}
@@ -124,7 +124,7 @@ also ausführlich:
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		1      & 0\\
 		l_{12} & 1
-	\end{pmatrix}}^L \cdot 
+	\end{pmatrix}}^L \cdot
 	\overbrace{\begin{pmatrix}
 		r_{11} & r_{12}\\
 		0      & r_{22}
@@ -139,7 +139,7 @@ also ausführlich:
 	\begin{pmatrix}
 		1      & 0\\
 		l_{12} & 1
-	\end{pmatrix} \cdot 
+	\end{pmatrix} \cdot
 	\begin{pmatrix}
 		3 & \cos y\\
 		0 & r_{22}
@@ -156,7 +156,7 @@ also ausführlich:
 	\begin{pmatrix}
 		1   & 0\\
 		x^2 & 1
-	\end{pmatrix} \cdot 
+	\end{pmatrix} \cdot
 	\begin{pmatrix}
 		3 & \cos y\\
 		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe4.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \section*{Aufgabe 4}
-\textbf{Aufgabe}: 
+\textbf{Aufgabe}:
 
 \[I(f) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x \]
 

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex

@@ -15,7 +15,7 @@ maximaler Ordnung zu erhalten. Wie hoch ist die Ordnung?
 
 \paragraph{Lösung}
 
-Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch 
+Nach VL kann bei Vorgabe von $s$ Knoten auch die Ordnung $s$ durch
 geschickte Wahl der Gewichte erreicht werden. Nach Satz 27 ist diese
 Wahl eindeutig.
 Also berechnen wir die Gewichte, um die Ordnung $p=2$ zu sichern.
@@ -56,7 +56,7 @@ LGS lösen können:
 \begin{align}
     \begin{pmatrix}
         c_1^0 & c_2^0\\
-        c_1^1 & c_2^1 
+        c_1^1 & c_2^1
     \end{pmatrix}
     \cdot x
     =

documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex

@@ -26,10 +26,10 @@
 \title{Numerik Klausur 1 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe1.tex

@@ -83,5 +83,5 @@ Das Verfahren ist also:
 
 Alternativ kann man auch in einer angepassten LR-Zerlegung direkt die
 Anzahl an Zeilenvertauschungen zählen. Dann benötigt man $P$ nicht mehr.
-Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt 
+Ist die Anzahl der Zeilenvertauschungen ungerade, muss das Produkt
 der $r_ii$ negiert werden.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \section*{Aufgabe 2}
 
-\paragraph{Voraussetzung:} 
+\paragraph{Voraussetzung:}
 Gegeben sei eine Funktion $F$:
 \begin{align*}
     F: \mathbb{R} &\rightarrow [-1, 1]\\
@@ -32,23 +32,23 @@ Sei $0 \leq x < y \leq 1$. Dann folgt:\marginnote{Teil 2: $F$ ist auf $[0,1]$ ei
 \end{align}
 
 Da $F|_{[0,1]}$ eine Selbstabbildung und eine Kontraktion ist und
-offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der 
+offensichtlich $[0,1]$ abgeschlossen ist, greift der
 Banachsche Fixpunktsatz. Es folgt direkt, dass auch für alle $x \in [0,1]$
 die Folge $(x)_k$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^*$ konvergiert.
 \end{proof}
 
 \subsection*{Anmerkung}
-Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt, 
-braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen, 
+Um zu zeigen, dass es genau einen Fixpunkt $x^*$ in $(0,1)$ gibt,
+braucht man den Banachschen Fixpunktsatz nicht. Nur um zu zeigen,
 dass die Fixpunktiteration auf für jedes $x \in \mathbb{R}$ gegen
 diesen Fixpunkt $x^*$ konvergiert, braucht man ihn.
 
 So kann man die existenz eines Fixpunktes zeigen:
 
-Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der 
+Offensichtlich ist $F(0) \neq 0$ und $F(1) \neq 1$, also ist der
 Fixpunkt - falls vorhanden - in $(0,1)$. $F$ ist in $(0,1)$ stetig
 und streng monoton fallend. Da auch $-x$ in $(0,1)$ streng monoton
-fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton 
+fallend ist, folgt, dass $\cos(x) - x$ in $(0,1)$ streng monoton
 fallend ist.
 
 $x=0 \Rightarrow \cos(x) - x = \cos(0) - 0 = 1$

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe4.tex

@@ -36,11 +36,11 @@ ist. Wenn diese nun auf $N$ Intervalle aufgepflittet wird gilt folgendes:
 \end{align}
 
 $\sum_{i=1}^{N-1} f(a + i \cdot h)$ steht für die Grenzknoten
- (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es 
-insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$ 
+ (deshalb werden sie doppelt gezählt). Von den Grenzknoten gibt es
+insgesamt $N-2$ Stück, da die tatsächlichen Integralgrenzen $a$ und $b$
 nur einmal in die Berechnung mit einfließen.
 
-$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen 
+$\sum_{l=0}^{N-1} f(a + \frac{1}{2} \cdot h + l \cdot h)$ sind die jeweiligen
 mittleren Knoten der Intervalle. Davon gibt es $N$ Stück.
 
 \subsection*{Teilaufgabe c)}

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex

@@ -18,12 +18,12 @@ $c_1 = 0$ nicht die Gauss-Quadratur sein kann (Satz 31), kommt nur Ordnung $p=4$
 und $p=5$ in Frage.
 
 In dieser Aufgabe sind nur die symmetrischen QF, also die von Ordnung
-$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur 
+$p=4$ explizit anzugeben. Für die QF von Ordnung $p=5$ hätte man nur
 die Gewichte in Abhängigkeit der Knoten darstellen müssen und
 eine Bedinung nur an die Knoten herleiten müssen.
 
 \subsection*{Ordnung 4}
-Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist. 
+Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist.
 Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
 \begin{align}
 	 \int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
@@ -56,7 +56,7 @@ Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 1$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ se
 Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.
 
 \subsection*{Ordnung 5}
-Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist. 
+Es gilt $g(x) = ax+c$ für Konstanten $a \neq 0, c$, da $\text{Grad}(g(x))=1$ ist.
 Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
 \begin{align}
 	 \int_0^1 M(x) \cdot (ax+c) \mathrm{d}x &= 0 \\

documents/Numerik/Klausur2/Klausur2.tex

@@ -28,10 +28,10 @@
 \title{Numerik Klausur 2{} - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe3.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
 	\end{align}
 
 \item Abgeschlossenheit: $D$ ist offentsichtlich abgeschlossen.
-\item Kontraktion: \\ %TODO: 
+\item Kontraktion: \\ %TODO:
     %\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
     %\textbf{Beweis:}
     %z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$

documents/Numerik/Klausur3/Aufgabe5.tex

@@ -14,7 +14,7 @@ Für die ersten 3. Ordnungsbedingungen gilt:
 \end{align*}
 
 \subsection*{Teilaufgabe c}
-Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und 
+Wähle die Simpson-Regel, also $c_1=0, c_2 = \frac{1}{2}, c_3 = 1$ und
 $b_1 = b_3 = \frac{1}{6}$ und $b_2 = \frac{4}{6}$.
 
 Überprüfe nun Ordnungsbedingungen 1-4 $\Rightarrow$ Simpson-Regel hat Ordnung 4

documents/Numerik/Klausur3/Klausur3.tex

@@ -25,10 +25,10 @@
 \title{Numerik Klausur 3 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Felix Benz-Baldas, Martin Thoma, Peter Merkert},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
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   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \section*{Aufgabe 1}
 \textbf{Gegeben:}
 
-\[A = 
+\[A =
 \begin{pmatrix}
     6 & -6 & 0 \\
    -3 & 7  & 2  \\
@@ -15,7 +15,7 @@ b =\begin{pmatrix}
 
 \textbf{Aufgabe:} $Ax = b$ mit Gaußelimination und Spaltenpivotwahl lösen
 
-\textbf{Lösung:} 
+\textbf{Lösung:}
 
 \begin{align}
 	\begin{gmatrix}[p]

documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex

@@ -25,10 +25,10 @@
 \title{Numerik Klausur 4 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
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   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe2.tex

@@ -25,7 +25,7 @@ Für alle tridiagonalen Matrizen gilt:
 
 Offensichtlich ändert diese Operation nur Zeile 2. $a_{21}$ wird zu 0,
 $a_{22}$ ändert sich irgendwie, alles andere bleibt unverändert.
-Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die 
+Die gesammte Matrix ist keine tridiagonale Matrix mehr, aber die
 um Submatrix  in $R^{(n-1) \times (n-1)}$ ist noch eine.
 
 Muss man zuvor Zeile 1 und 2 tauschen (andere Zeilen kommen nicht in
@@ -35,7 +35,7 @@ an der tridiagonalen Struktur der Submatrix.
 
 \paragraph{Teil 2: (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$}
 Sei $\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$
-beliebig. 
+beliebig.
 
 O.B.d.A sei die Spaltenpivotwahl bereits durchgeführt, also $|a_{11}| \geq |a_{21}|$.
 
@@ -55,7 +55,7 @@ Nun folgt:
     \end{gmatrix}
 \end{align}
 
-Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt: 
+Wegen $|a_{11}| \geq |a_{21}|$ gilt:
 \begin{align}
     \|\frac{a_{21}}{a_{11}}\| \leq 1
 \end{align}
@@ -71,7 +71,7 @@ Damit ist Aussage (ii) für $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ gezeigt.
 \paragraph{Teil 3: (ii) für allgemeinen Fall}
 
 Aus Teil 2 folgt die Aussage auch direkt für größere Matrizen.
-Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine 
+Der worst case ist, wenn man beim Addieren einer Zeile auf eine
 andere mit $\max_{i,j}|a_{ij}|$ multiplizieren muss um das erste nicht-0-Element
 der Zeile zu entfernen und das zweite auch $\max_{i,j}|a_{ij}|$ ist.
 Dann muss man aber im nächsten schritt mit einem Faktor $\leq \frac{1}{2}$

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe5.tex

@@ -4,14 +4,14 @@ Bestimme alle Quadraturformeln mit $s=3$ und Knoten
 $0 = c_1 < c_2, c_3$ und Ordnung $p \geq 4$.
 
 Schreiben Sie ein Programm in Pseudocode, welches zu vorgegebenem
-$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient 
+$c_2$ den Knoten $c_3$ und die Gewichte $b_i$ möglichst effizient
 berechnet.
 
 Wie viele symmetrische Quadraturformeln gibt es mit diesen Eigneschaften?
 
 \subsection*{Lösung}
-Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann 
-die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also 
+Da $c_1 = 0$ kann es keine Gauß-Quadraturformel sein. Daher kann
+die Ordnung nicht $2 \cdot s = 6$ sein. Interessant sind also
 \begin{itemize}
     \item[(A)] Symmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4
     \item[(B)] Unsymmetrische Quadraturformeln der Ordnung 4

documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex

@@ -26,10 +26,10 @@
 \title{Numerik Klausur 5 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -34,10 +34,10 @@ und diese liegt in $[0,1]$.
     \Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
     \end{align}
 
-Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
 Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
 
-Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der
 Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
 gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
 irrelevant.
@@ -49,7 +49,7 @@ Rechenungenauigkeit)
 
 $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
 
-Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass 
+Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass
 gilt:
 
 

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -28,10 +28,10 @@
 \title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung}
 \makeatletter
 \AtBeginDocument{
-	\hypersetup{ 
+	\hypersetup{
 	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
-	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
-	  pdftitle    = {\@title} 
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur},
+	  pdftitle    = {\@title}
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}

documents/Numerik/README.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 Diese Lösungen sind noch im Aufbau.
 
 Wenn du einen Fehler findest (auch Textsetzungs- und Rechtschreibfehler
-oder missverständliche Stellen) 
+oder missverständliche Stellen)
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