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+\chapter{Topologische Grundbegriffe}
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+\section{Topologische Räume}
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+\begin{definition} \index{Topologischer Raum} \index{offen}
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+ Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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+ aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
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+ folgenden Eigenschaften
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+ \begin{enumerate}[(i)]
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+ \item $\emptyset, X \in \fT$
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+ \item Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
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+ \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
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+ so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
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+ \end{enumerate}
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+ Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{beispieleX}
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+ \begin{enumerate}[1)]
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+ \item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\
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+ $U \subseteq \mdr^n$ offen $\gdw$ für jedes $x \in U$
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+ gibt es $r > 0$, sodass $B_r(x) = \Set{y \in \mdr^n | d(x,y) < r} \subseteq U$
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+ \item Allgemeiner: $(X, d)$ metrischer Raum
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+ \item $X$ Menge, $\fT = \Set{\emptyset, X}$ heißt \enquote{triviale Menge} \index{Menge!triviale}
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+ \item $X$ Menge, $\fT = \powerset{X}$ heißt \enquote{diskrete Topologie} \index{Topologie!diskrete}
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+ \item $X :=\mdr, \fT_Z := \Set{U \subseteq \mdr | \mdr \setminus U \text{ endlich}} \cup \Set{\emptyset}$ heißt \enquote{Zariski-Topologie} \index{Topologie!Zariski}\\
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+ Beobachtung: $U \in \fT_Z \gdw \exists f \in \mdr[X]$, sodass $\mdr \setminus U = V(f) = \Set{x \in \mdr | f(x) = 0}$
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+ \item $X := \mdr^n, \fT_Z = \{U \subseteq \mdr^n | \text{Es gibt Polynome } f_1, \dots, f_r \in \mdr[X_1, \dots, X_n] \text{ sodass }\\\mdr^n \setminus U = V(f_1, \dots, f_r)\}$
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+ \item $X = \Set{0,1}, \fT = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0}}$\\
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+ abgeschlossene Mengen: $\emptyset, \Set{0,1}, \Set{1}$
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispieleX}
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+
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+\begin{definition} \index{Umgebung}
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+ Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $x \in X$.
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+
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+ Eine Teilmenge $U \subseteq X$ heißt \textbf{Umgebung} von $x$,
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+ wenn es ein $U_0 \in \fT$ gibt mit $x \in U_0$ und $U_0 \subseteq U$.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{definition}
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+ Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum, $M \subseteq X$ eine Teilmenge.
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+ \begin{enumerate}[a)]
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+ \item $M^\circ := \Set{x \in M | M \text{ ist Umgebung von } x}$ heißt \textbf{Inneres} oder \textbf{ offener Kern} von $M$. \index{Inneres} \index{Kern!offener}
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+ \item $\displaystyle \overline{M} := \bigcup_{\stackrel{M \subseteq A}{A \text{ abgeschlossen}}} A$ heißt \textbf{abgeschlossene Hülle} oder \textbf{Abschluss} von $M$. \index{Abschluss}
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+ \item $\partial M := \overline{M} \setminus M^\circ$ heißt \textbf{Rand} von $M$. \index{Rand}
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+ \item $M$ heißt \textbf{dicht} in $X$, wenn $\overline{M} = X$ ist. \index{dicht}
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+ \end{enumerate}
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+\end{definition}
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Martin Thoma