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@@ -17,6 +17,11 @@ Da eine Quadraturformel höchstens Grad $2s=6$ (Satz 30) haben kann und es wegen
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$c_1 = 0$ nicht die Gauss-Quadratur sein kann (Satz 31), kommt nur Ordnung $p=4$
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und $p=5$ in Frage.
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+Da nur die symmetrischen QF angeben werden sollen und symmetrische
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+QF nach Satz 27 gerade Ordnung haben, ist in dieser Aufgabe
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+auch nur die QF mit Ordnung $p=4$ verlangt. Dennoch zeige ich,
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+dass es auch eine QF mit Ordnung $p=5$ gibt.
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+
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\subsection*{Ordnung 4}
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Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante $c$, da $\text{Grad}(g(x))=0$ ist.
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Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
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@@ -85,9 +90,9 @@ Wegen der Ordnungsbedingungen gilt nun:
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\Leftrightarrow b_3 &= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 10 \cdot (6 - \sqrt{6})}{6\cdot (6 - \sqrt{6}) \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
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&= \frac{(3 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 20) \cdot 5}{3 \cdot (30-(6+\sqrt{6})^2)}\\
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&= \frac{15 \cdot (6 - \sqrt{6}) - 100}{90-3 \cdot (6+\sqrt{6})^2}\\
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-&= \frac{16-\sqrt{6}}{36} \approx 0.3764\\
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- b_2 &= \frac{16+\sqrt{6}}{36} \approx 0.5125\\
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- \stackrel{\text{Ordnungsbedinung 1}}{\Rightarrow} b_1 &= \frac{1}{9}\\
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+ \Aboxed{b_3 &= \frac{16-\sqrt{6}}{36}} \approx 0.3764\\
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+ \Aboxed{b_2 &= \frac{16+\sqrt{6}}{36}} \approx 0.5125\\
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+ \stackrel{\text{Ordnungsbedinung 1}}{\Rightarrow} \Aboxed{b_1 &= \frac{1}{9}}\\
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\frac{1}{4} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^3 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^3 \text{ \cmark}\\
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\frac{1}{5} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^4 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^4 \text{ \cmark}\\
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\frac{1}{6} &\stackrel{?}{=} \frac{16+\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6-\sqrt{6}}{10} \right )^5 + \frac{16-\sqrt{6}}{36} \cdot \left (\frac{6+\sqrt{6}}{10} \right)^5 = \frac{33}{200} \text{ \xmark}
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Martin Thoma