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\chapter{Programmiertechniken}
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\section{Rekursion}
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-\todo[inline]{Tail-Recursion}
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+\index{Rekursion|(}
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+
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+\begin{definition}[rekursive Funktion]\xindex{Funktion!rekursive}
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+ Eine Funktion $f: X \rightarrow X$ heißt rekursiv definiert,
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+ wenn in der Definition der Funktion die Funktion selbst wieder
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+ steht.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{beispiel}[rekursive Funktionen]
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+ \begin{bspenum}
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+ \item Fibonacci-Funktion:\xindex{Fibonacci-Funktion}
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+ \begin{align*}
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+ fib: \mdn_0 &\rightarrow \mdn_0\\
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+ fib(n) &= \begin{cases}
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+ n &\text{falls } n \leq 1\\
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+ fib(n-1) + fib(n-2) &\text{sonst}
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+ \end{cases}
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+ \end{align*}
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+ \item Fakultät:\xindex{Fakultät}
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+ \begin{align*}
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+ !: \mdn_0 &\rightarrow \mdn_0\\
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+ n! &= \begin{cases}
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+ 1 &\text{falls } n \leq 1\\
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+ n\cdot (n-1)! &\text{sonst}
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+ \end{cases}
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+ \end{align*}
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+ \item \label{bsp:binomialkoeffizient} Binomialkoeffizient:\xindex{Binomialkoeffizient}
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+ \begin{align*}
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+ \binom{\cdot}{\cdot}: \mdn_0 \times \mdn_0 &\rightarrow \mdn_0\\
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+ \binom{n}{k} &= \begin{cases}
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+ 1 &\text{falls } k=0 \lor k = n\\
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+ \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k} &\text{sonst}
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+ \end{cases}
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+ \end{align*}
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+ \end{bspenum}
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+\end{beispiel}
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+
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+Ein Problem von rekursiven Funktionen in Computerprogrammen ist der
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+Speicherbedarf. Für jeden rekursiven Aufruf müssen alle Umgebungsvariablen
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+der aufrufenden Funktion (\enquote{stack frame}) gespeichert bleiben,
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+bis der rekursive Aufruf beendet ist. Im Fall der Fibonacci-Funktion
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+sieht ist der Call-Stack in \cref{fig:fib-callstack} abgebildet.
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+
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+\begin{figure}[htp]
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+ \centering
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+ \includegraphics*[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/fib-callstack.png}
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+ \caption{Call-Stack der Fibonacci-Funktion}
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+ \label{fig:fib-callstack}
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+\end{figure}
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+
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+\begin{bemerkung}
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+ Die Anzahl der rekursiven Aufrufe der Fibonacci-Funktion $f_C$ ist:
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+ \[f_C(n) = \begin{cases}
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+ 1 &\text{falls } n=0\\
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+ 2 \cdot fib(n) - 1 &\text{falls } n \geq 1
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+ \end{cases}\]
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+\end{bemerkung}
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+\begin{beweis}\leavevmode
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+ \begin{itemize}
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+ \item Offensichtlich gilt $f_C(0) = 1$
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+ \item Offensichtlich gilt $f_C(1) = 1 = 2 \cdot fib(1) - 1$
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+ \item Offensichtlich gilt $f_C(2) = 3 = 2 \cdot fib(2) - 1$
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+ \item Für $n \geq 3$:
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+ \begin{align*}
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+ f_C(n) &= 1 + f_C(n-1) + f_C(n-2)\\
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+ &= 1 + (2\cdot fib(n-1)-1) + (2 \cdot fib(n-2)-1)\\
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+ &=2\cdot (fib(n-1) + fib(n-2)) - 1\\
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+ &=2 \cdot fib(n) - 1
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+ \end{align*}
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+ \end{itemize}
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+\end{beweis}
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+
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+Mit Hilfe der Formel von Moivre-Binet folgt:
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+
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+\[f_C \in \mathcal{O} \left (\frac{\varphi^n- \psi^n}{\varphi - \psi} \right) \text{ mit } \varphi := \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \text{ und }\psi := 1 - \varphi\]
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+
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+Dabei ist der Speicherbedarf $\mathcal{O}(n)$. Dieser kann durch
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+das Benutzen eines Akkumulators signifikant reduziert werden.\todo{TODO}
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+
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+\begin{definition}[linear rekursive Funktion]\xindex{Funktion!linear rekursive}
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+ Eine Funktion heißt linear rekursiv, wenn in jedem Definitionszweig
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+ der Funktion höchstens ein rekursiver Aufruf vorkommt.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{definition}[endrekursive Funktion]\xindex{Funktion!endrekursive}\xindex{tail recursive}
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+ Eine Funktion heißt endrekursiv, wenn in jedem Definitionszweig
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+ der Rekursive aufruf am Ende des Ausdrucks steht. Der rekursive
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+ Aufruf darf also insbesondere nicht in einen anderen Ausdruck
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+ eingebettet sein.
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+\end{definition}
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+
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+\todo[inline]{Beispiele für linear rekusrive, endrekursive Funktionen (alle Kombinationen+gegenbeispiele}
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+
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+\index{Rekursion|(}
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\section{Backtracking}
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Martin Thoma
