Prjektiver Raum zu index hinzugefügt

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -26,3 +26,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |11.01.2014 | 23:15 - 23:50 | Überarbeitung der Einleitung zum Kapitel "Euklidische und Nichteuklidische Geometrie"
 |12.01.2014 | 16:00 - 16:15 | `cleveref` benutzt
 |12.01.2014 | 22:15 - 22:30 | Beweis erstellt, dass Überlagerungen surjektiv sind
+|12.01.2014 | 23:30 - 00:00 | Gruppenaktion -> Gruppenoperation; Projektiver Raum zu Index hinzugefügt

documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

@@ -38,6 +38,6 @@
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item Ist $\GL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
         \item Ist $\SL_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
-        \item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?
+        \item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?\xindex{Raum!projektiver}
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -176,7 +176,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     $X /_\sim$ ist ein Torus.
 \end{beispiel}
 
-\begin{beispiel}
+\begin{beispiel}\xindex{Raum!projektiver}
     \begin{align*}
         X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
             &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -43,7 +43,7 @@
         \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
               mit einem Atlas aus einer Karte:
               \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
-        \item $\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
+        \item \xindex{Raum!projektiver}$\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
               der Dimension $n$ bzw. $2n$.
 
               $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -452,7 +452,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
         \item siehe \cref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}
         \item siehe \cref{fig:ueberlappung-kaestchen-torus}
         \item $\mdr^n \rightarrow T^n = \mdr^n / \mdz^n$
-        \item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$
+        \item $S^n \rightarrow \praum^n(\mdr)$\xindex{Raum!projektiver}
         \item $S^1 \rightarrow S^1$, $z \mapsto z^2$, siehe \cref{fig:liftung-s1-s1}
     \end{enumerate}
 
@@ -1031,25 +1031,25 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Lea's Mitschrieb vom 07.01.2014                                   %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section{Gruppenaktionen}\index{Gruppenaktion|(}
-\begin{definition}\xindex{Gruppenaktion}% in Vorlesung: Definition 13.1
+\section{Gruppenoperationen}\index{Gruppenoperation|(}\index{Aktion|see{Gruppenoperation}}\index{Gruppenaktion|see{Gruppenoperation}}
+\begin{definition}\xindex{Gruppenoperation}% in Vorlesung: Definition 13.1
     Sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
 
-    Eine \textbf{Gruppenaktion} oder kurz \textbf{Aktion} von $G$ auf
+    Eine \textbf{Gruppenoperation} von $G$ auf
     $X$ ist eine Abbildung $\circ$:
     
-    \[ \circ: G \times X \rightarrow X, (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
+    \[ \circ: G \times X \rightarrow X,\;\;\; (g,x) \mapsto g \cdot x,\]
 
     für die gilt:
     \begin{enumerate}[label=(\roman*),ref=\theplaindefinition.\roman*]
-        \item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.1}
-        \item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenaktion.2}
+        \item $1_G \circ x = x \;\;\; \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.1}
+        \item $(g \cdot h) \circ x = g \circ (h \circ x) \;\;\; \forall g,h \in G \forall x \in X$\label{def:gruppenoperation.2}
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[label=\arabic*),ref=\thebeispiel.\arabic*]
-        \item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenaktion1}
+        \item $G = (\mdz, +), X = \mdr, nx = x + n$\label{bsp:gruppenoperation1}
         \item $G$ operiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h$
         \item $G$ operatiert auf $X = G$ durch $g \circ h := g \cdot h \cdot g^{-1}$, denn
         \begin{enumerate}[label=\roman*)]
@@ -1065,21 +1065,21 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
 
 \begin{definition}
     Sei $G$ eine Gruppe, $X$ ein topologischer Raum und
-    $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenaktion.
+    $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.
 
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $G$ operiert durch Homomorphismen, wenn für jedes $g \in G$
               die Abbildung
               \[m_g: X \rightarrow X, x \mapsto g \cdot X\]
               ein Homöomorphismus ist.
-        \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Aktin $\circ$
-              \textbf{stetig}\xindex{Gruppenaktion!stetige}, wenn 
+        \item Ist $G$ eine topologische Gruppe, so heißt die Gruppenoperation $\circ$
+              \textbf{stetig}\xindex{Gruppenoperation!stetige}, wenn 
               $\circ: G \times X \rightarrow X$ stetig ist.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{korollar}%In Vorlesung: Bemerkung 13.2
-     Jede stetige Aktion ist eine Aktion durch Homöomorphismen.
+     Jede stetige Gruppenoperation ist eine Gruppenoperation durch Homöomorphismen.
 \end{korollar}
 \begin{beweis}
     Nach Voraussetzung ist $\circ |_{\Set{g} \times X} : X \rightarrow X, x \mapsto g \circ x$ stetig.
@@ -1089,30 +1089,30 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
         (m_{g^{-1}} \circ m_g)(x) &= m_{g^{-1}} (m_g (x))\\
             &= m_{g^{-1}} (g \circ x)\\
             &= g^{-1} \circ (g \circ x)\\
-            &\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
+            &\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.2}}{=} (g^{-1} \cdot g) \circ x\\
             &= 1_G \circ x\\
-            &\stackrel{\ref{def:gruppenaktion.1}}{=} x
+            &\stackrel{\ref{def:gruppenoperation.1}}{=} x
     \end{align*}
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}
-    In Beispiel~\ref{bsp:gruppenaktion1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
+    In Beispiel~\ref{bsp:gruppenoperation1} operiert $\mdz$ durch Homöomorphismen.
 \end{beispiel}
 
 \begin{korollar}\label{kor:13.3}%In Vorlesung: Bemerkung 13.3
     Sei $G$ eine Gruppe und $X$ eine Menge.
 
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
-        \item Die Gruppenaktion von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
+        \item Die Gruppenoperation von $G$ auf $X$ entsprechen bijektiv
               den Gruppenhomomorphismen $\varrho: G \rightarrow \Perm(X) = \Sym(X) = \Set{f: X \rightarrow X | f \text{ ist bijektiv}}$
         \item Ist $X$ ein topologischer Raum, so entsprechen dabei 
-              die Aktionen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
+              die Gruppenoperationen durch Homöomorphismus den Gruppenhomomorphismen
               $G \rightarrow \Homoo(X)$
     \end{enumerate}
 \end{korollar}
 
 \begin{beweis}
-    \item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Aktion von $G$
+    \item Sei $\circ: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation von $G$
           auf $X$. Dann sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ definiert
           durch $\varrho(g)(X) = g \cdot x \;\;\; \forall g \in G, x \in X$,
           also $\varrho(g) = m_g$.
@@ -1122,7 +1122,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
 
           Umgekehrt: Sei $\varrho: G \rightarrow \Perm(X)$ Gruppenhomomorphismus. Definiere $\circ: G \times X \rightarrow X$ durch $g \circ x = \varrho (g)(x)$.
 
-          z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.2}: 
+          z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.2}: 
           \begin{align*}
             g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
             &= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
@@ -1131,7 +1131,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
             &= (g_1 \cdot g_2) \circ x
           \end{align*}
 
-            z.~Z. \ref{def:gruppenaktion.1}: 
+            z.~Z. \ref{def:gruppenoperation.1}: 
             $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
 \end{beweis}
 
@@ -1157,7 +1157,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
     also auch $\rtilde{\gamma * \delta}$ und $\rtilde{\gamma * \delta'}$
     homotop.
 
-    Gruppenaktion, denn:
+    Gruppenoperation, denn:
     \begin{enumerate}[label=\roman*)]
         \item $[e] \circ \tilde{x} = \rtilde{e * \delta} = \tilde{x}$
         \item $\rtilde{\gamma_1 * \gamma_2 * \delta}(1) = [\gamma_1 * \gamma_2] \circ \tilde{x} = ([\gamma_1] * [\gamma_2]) \circ \tilde{x}$\\
@@ -1166,7 +1166,7 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
 \end{beispiel}
 
 \textbf{Erinnerung}:% In Vorlesung: Erinnerung 13.5
-Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Aktion
+Die Konstruktion aus Korollar~\ref{kor:13.3} induziert zu der Gruppenoperation
 $\pi_1(X, x_0)$ aus Beispiel~\ref{bsp:13.4} einen Gruppenhomomorphismus
 $\varrho: \pi_1(X, x_0) \rightarrow \Homoo(X)$. Nach Satz~\ref{thm:12.15}
 ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarrow \tilde{X} \text{ Homöomorphismus} | p \circ f = p}$
@@ -1181,6 +1181,6 @@ ist $\varrho(\pi_1(X, x_0)) = \Deck(\tilde{X} / X) = \Set{f: \tilde{X} \rightarr
     Frage: Was ist $S^2 / G$? Ist $S^2 / G$ eine Mannigfaltigkeit?
 \end{beispiel}
 
-\index{Gruppenaktion|)}
+\index{Gruppenoperation|)}
 % Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
 \input{Kapitel3-UB}

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -69,8 +69,9 @@ aufgestellt.
               wenn es $g \in G$ gibt mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$.
         \item $Q$ \textbf{liegt zwischen}\xindex{liegt zwischen} $P$
               und $R$, wenn $d(P, R) = d(P, Q) + d(Q, R)$
-        \item $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$
-        \item $PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
+        \item \textbf{Strecke}\xindex{Strecke} $\overline{PR} := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R}$
+        \item \textbf{Halbgeraden}\xindex{Halbgerade}:\\
+              $PR^+ := \Set{Q \in X | Q \text{ liegt zwischen } P \text{ und } R \text{ oder } R \text{ liegt zwischen } P \text{ und } Q}$\\
               $PR^- := \Set{Q \in X | P \text{ liegt zwischen } Q \text{ und } R}$\\ 
     \end{enumerate}
 \end{definition}