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@@ -474,7 +474,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
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&= \Set{x \in \mdr^{n+1} | \sum_{i=1}^{n+1} x_i^2}
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\end{align*}
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- Sei ohne Einschränkung $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}$.
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+ \OE{} sei $N = \begin{pmatrix}0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}$.
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\begin{align*}
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f: &S^n \setminus \Set{N} \rightarrow \mdr^n\\
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@@ -498,3 +498,171 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
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stetig.
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\end{beispiel}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 31.10.2013 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\section{Zusammenhang}\index{Zusammenhang|(}
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+\begin{definition}\xindex{zusammenhängend}
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+ Ein Raum $X$ heißt \textbf{zusammenhängend}, wenn es keine offenen
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+ nichtleeren Teilmengen $U_1, U_2$ von $X$ gibt mit $U_1 \cap U_2 = \emptyset$
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+ und $U_1 \cup U_2 = X$.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{bemerkung}
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+ $X$ ist zusammenhängend $\gdw$ Es gibt keine nichtleeren abgeschlossenen
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+ Teilmengen $A_1, A_2$ mit $A_1 \cap A_2 = \emptyset$ und $A_1 \cup A_2 = X$.
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+\end{bemerkung}
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|
+
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+\begin{bemerkung}
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+ Eine Teilmenge $Y \subseteq X$ heißt zusammenhängend, wenn $Y$
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+ als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist.
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ $\mdr^n$ ist mit der euklidischen Topologie zusammenhängend,
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+ denn:
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+
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+ Angenommen, $\mdr^n = U_1 \cup U_2$ mit $U_i$ offen, $U_i \neq \emptyset$
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+ und $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ existiert.
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+
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+ Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$
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+ und $y$. Dann ist $U_1 \cap [x,y]$ die Vereinigung von offenen
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+ Intervallen. Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$,
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+ aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von
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+ $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen.
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+\end{beispiel}
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|
+
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+\begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen]
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+ \begin{enumerate}
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+ \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn
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+ $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$
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+ \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend.
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+ \item $\mdq \subsetneq \mdr$ ist nicht zusammenhängend, da
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+ \[(\mdq \cap \mdr_{< \sqrt{2}}) \cup (\mdq \cap \mdr_{> \sqrt{2}}) = \mdq\]
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+ \item $\Set{x}$ ist zusammenhängedn für jedes $x \in X$, wobei $X$ ein
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+ topologischer Raum ist.
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+ \item $\mdr$ mit Zariski-Topologie ist zusammenhängend\xindex{Topologie!Zariski}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{korollar}\label{zusammenhangAbschluss}
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+ Sei $X$ ein topologischer Raum, $A \subseteq X$ zusammenhängend.
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+ Dann ist auch $\overline{A}$ zusammenhängend.
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+\end{korollar}
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|
+
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+\begin{beweis}
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+ Angenommen $\overline{A} = A_1 \cup A_2, A_i$ abgeschlossen, $\neq \emptyset$,
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|
+ $A_1 \cap A_2 = \emptyset$
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|
+ \begin{align*}
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+ &\Rightarrow A = \underbrace{\underbrace{(A \cap A_1)}_\text{abgeschlossen} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_\text{abgeschlossen}}_\text{disjunkt}\\
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|
+ \end{align*}
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|
+
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|
|
+ Wäre $A \cap A_1 = \emptyset$
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+ \begin{align*}
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+ &\Rightarrow A \subseteq A_2\\
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|
+ &\Rightarrow \overline{A} \subseteq A_2\\
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+ &\Rightarrow A_1 = \emptyset
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|
+ &\Rightarrow \text{Widerspruch}
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|
+ \end{align*}
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+ $\qed$
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+\end{beweis}
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|
+
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+\begin{korollar}\label{zusammenhangVereinigung}
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+ Sei $X$ topologischer Raum, $A, B \subseteq X$ zusammenhängend.
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|
|
+
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|
+ Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend.
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|
+\end{korollar}
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|
|
+
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|
|
+\begin{beweis}
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|
+ Sei $A \cup B = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset$ offen, disjunkt
|
|
|
+ \begin{align*}
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|
+ &\stackrel{\text{\OE}}{\Rightarrow} A = (A \cap U_1) \cup (A \cap U_2) \text{ offen, disjunkt}\\
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|
|
+ &\stackrel{A \text{ zhgd.}}{\Rightarrow} A \cap U_1 = \emptyset\\
|
|
|
+ &\stackrel{A \cap B \neq \emptyset}{\Rightarrow} U_1 \subseteq B\\
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|
|
+ &B = \underbrace{(B \cap U_1)}_{= U_1} \cup \underbrace{(B \cap U_2)}_{= \emptyset} \text{ ist unerlaubte Zerlegung}
|
|
|
+ \end{align*}
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|
|
+ $\qed$
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|
|
+\end{beweis}
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|
|
+
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|
|
+\begin{definition}\xindex{Zusammenhangskomponente}
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|
+ Sei $X$ ein topologischer Raum.
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|
|
+
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|
+ Für $x \in X$ sei
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+ \[Z(x) := \bigcup_{\substack{A \subseteq X \text{zhgd.}\\ X \in A}} A\]
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|
+
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|
+ $Z(x)$ heißt \textbf{Zusammenhangskomponente}.
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|
+\end{definition}
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|
|
+
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|
+\begin{korollar}
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|
+ Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann gilt:
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+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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|
+ \item $Z(X)$ ist die größte zusammehängede Teilmenge von $X$,
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|
|
+ die $x$ enthält.
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|
+ \item $Z(X)$ ist abgeschlossen.
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|
+ \item $X$ ist disjunkte Vereinigung von Zusammenhangskomponenten.
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|
+ \end{enumerate}
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|
|
+\end{korollar}
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|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
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|
|
+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
|
|
|
+ \item Sei $Z(x) = A_1 \cup A_2$ mit $A_i \neq \emptyset$ abgeschlossen,
|
|
|
+ disjunkt.
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|
|
+
|
|
|
+ \OE{} sei $x \in A_1$ und $y \in A_2$. $y$ liegt in einer zusammehängenden
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|
|
+ Teilmenge $A$, die auch $x$ enthält.
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|
+ $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap A_1)}_{\ni x} \cup \underbrace{(A \cap A_2)}_{\ni y}$
|
|
|
+ ist unerlaubte Zerlegung.
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|
|
+ \item Nach Korollar \ref{zusammenhangAbschluss} ist $\overline{Z(x)}$
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|
+ zusammenhängend $\Rightarrow \overline{Z(x)} \subseteq Z(x)$
|
|
|
+ $\Rightarrow Z(x) = \overline{Z(x}$
|
|
|
+ \item Ist $Z(y) \cap Z(x) \neq \emptyset \stackrel{\ref{zusammenhangVereinigung}}{\Rightarrow} Z(y) \cup Z(x)$
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|
|
+ ist zusammenhängend. \\
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|
|
+ \begin{align*}
|
|
|
+ \Rightarrow Z(x) \cup Z(y) &\subseteq Z(x) \Rightarrow Z(y) \subseteq Z(x)\\
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|
|
+ &\subseteq Z(y) \Rightarrow Z(x) \subseteq Z(y)
|
|
|
+ \end{align*}
|
|
|
+ \end{enumerate}
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|
|
+
|
|
|
+ $\qed$
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|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
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|
|
+\begin{korollar}
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|
+ Sei $f:X \rightarrow Y$ stetig. Ist $A \subseteq X$ zusammenhängend,
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|
|
+ so ist $f(A) \subseteq y$ zusammenhängend.
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|
|
+\end{korollar}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
|
|
+ Sei $f(A) = U_1 \cup U_2, U_i \neq \emptyset,$ offen, disjunkt.
|
|
|
+
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|
|
+ $\Rightarrow f^{-1} (f(A)) = f^{-1}(U_1) \cup f^{-1}(U_2)$
|
|
|
+
|
|
|
+ $\Rightarrow A = \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_1))}_{\neq \emptyset} \cup \underbrace{(A \cap f^{-1}(U_2))}_{\neq \emptyset} \qed$
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|
+\end{beweis}\index{Zusammenhang|)}
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|
|
+
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|
|
+\section{Kompaktheit}
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+\begin{definition}\xindex{kompakt}
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|
+ Ein topologischer Raum $X$ heißt \textbf{kompakt}, wenn jede
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|
+ offene Überdeckung von $X$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
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+
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|
+ \[\mathfrak{U} = \Set{U_i}_{i \in I},\;\;\;U_i \text{ offen in } X,\;\;\;\bigcup_{i \in I} U_i = X\]
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|
|
+
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|
|
+\end{definition}
|
|
|
+
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|
+\begin{definition}\xindex{Ueberdeckung@""Uberdeckung}
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|
+ Sei $X$ eine Menge und $T \subseteq \powerset{X}$.
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|
+
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|
+ $T$ heißt eine \textbf{Überdeckung} von $X$, wenn gilt:
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+ \[\forall x \in X: \exists M \in T: x \in M\]
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+\end{definition}
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|
+
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+\begin{korollar}
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+ $I = [0, 1]$ ist kompakt bezüglich der euklidischen Topologie.
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+\end{korollar}
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+
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|
+\begin{beweis}
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+ Sei $(U_i)_{i \in J}$ eine offene Überdeckung von $I$.
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|
+
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+ Es gibt ein $\delta > 0$, sodass jedes Teilintervall von $I$
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+ in einem der $U_i$ enthalten ist. Dann überdecken endlich viele
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+ ... \todo{das haben wir nicht mehr geschafft}
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+\end{beweis}
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Martin Thoma