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documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -97,7 +97,7 @@ Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com
 \textbf{Vorüberlegung:}
 Eine Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ heißt positiv Definit $\dots$
 \begin{align*}
-  \dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n: x^T A x > 0\\
+  \dots & \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \Set{0}: x^T A x > 0\\
 	& \Leftrightarrow \text{Alle Eigenwerte sind größer als 0}
 \end{align*}
 
@@ -124,7 +124,7 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
 	l_{11} &= \sqrt{a_{11}} = 3\\
 	l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{4}{3}\\
 	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = \frac{12}{3} = 4\\
-	l_{22} &= \sqrt{a_{21} - {l_{21}}^2} = \sqrt{\frac{4}{3} - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{4}{9}} \notin \mathbb{R}\\
+	l_{22} &= \sqrt{a_{22} - {l_{21}}^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{9}}= \sqrt{-\frac{7}{9}} \notin \mathbb{R}\\
  & \Rightarrow \text{Es ex. keine Cholesky-Zerlegung, aber $A$ ist symmetrisch}\\
- & \Rightarrow \text{$A$ ist nicht pos. Definit}
+ & \Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
 \end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -1,12 +1,115 @@
 \section*{Aufgabe 3}
+Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
 \[f' (x,y) = \begin{pmatrix}
 	3     & \cos y\\
 	3 x^2 & e^y
 \end{pmatrix}\]
+Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
+zweiten Spalte nach $y$.
+
+\subsection*{Lösungsvorschlag 1}
+Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch
+\begin{align}
+x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)
+\end{align}
+gegeben (vgl. Skript, S. 35).
+
+Zur praktischen Durchführung lösen wir
+\[f'(x_0, y_0)\Delta x = -f(x_0,y_0)\]
+mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf:
+
+\begin{align}
+%
+	f'(x_0,y_0)	&= L \cdot R \\
+	\Leftrightarrow f'(-\nicefrac{1}{3}, 0)	&= L \cdot R \\
+	\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
+		3     & 1\\
+		\frac{1}{3} & 1
+	\end{pmatrix}
+	&=
+	\overbrace{\begin{pmatrix}
+		1      & 0\\
+		\frac{1}{9} & 1
+	\end{pmatrix}}^{=: L} \cdot 
+	\overbrace{\begin{pmatrix}
+		3 & 1\\
+		0      & \frac{8}{9}
+	\end{pmatrix}}^{=: R}\\
+%
+	L \cdot c	&= -f(x_0,y_0) \\
+	\Leftrightarrow
+	\begin{pmatrix}
+		1      & 0\\
+		\frac{1}{9} & 1
+	\end{pmatrix}
+	\cdot c
+	&=
+		\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		\frac{26}{27}
+	\end{pmatrix}\\
+	\Rightarrow
+	c &=		\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		\frac{32}{27}
+	\end{pmatrix}\footnotemark\\
+%
+	R\cdot \Delta x &= c\\
+	\Leftrightarrow
+	\begin{pmatrix}
+		3 & 1\\
+		0      & \frac{8}{9}
+	\end{pmatrix}
+	\cdot \Delta x &=
+	\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		\frac{32}{27}
+	\end{pmatrix}\\
+	\Rightarrow \Delta x &= 
+	\begin{pmatrix}
+		-\frac{10}{9}\\
+		\frac{4}{3}
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+\footnotetext{Dieser Schritt wird durch Vorwärtssubsitution berechnet.}
+
+Anschließend berechnen wir
+\begin{align}
+	\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		x_0\\
+		y_0
+	\end{pmatrix}+\Delta x \\
+	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{3}\\
+		0
+	\end{pmatrix} +
+	\begin{pmatrix}
+		-\frac{10}{9}\\
+		\frac{4}{3}
+	\end{pmatrix} \\
+	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		-\frac{7}{9}\\
+		\frac{4}{3}
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
 
-Und jetzt die Berechnung
 
-\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\]
+\subsection*{Lösungsvorschlag 2}
+Und jetzt die Berechnung %TODO: Was ist hiermit gemeint?
+
+\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\] %TODO: Was ist hiermit gemeint?
 
 LR-Zerlegung für $f'(x, y)$ kann durch scharfes hinsehen durchgeführt
 werden, da es in $L$ nur eine unbekannte (links unten) gibt. Es gilt
@@ -59,7 +162,11 @@ also ausführlich:
 		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
 	\end{pmatrix}\\
 	P &= I_2\\
--f ( \frac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} 2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
-c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\
+\end{align}
+
+Es folgt:
+\begin{align}
+-f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
+c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
 (x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{82}{27}\end{pmatrix}
 \end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Klausur1.tex

@@ -15,6 +15,7 @@
 \usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
 \usepackage{gauss}
 \usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{units}
 \usepackage{parskip}
 \usepackage{lastpage}
 \allowdisplaybreaks

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe2.tex

@@ -1,43 +1,30 @@
 \section*{Aufgabe 2}
 \subsection*{Teilaufgabe a)}
-Formel: $y_i = \frac{b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij}}{l_{ii}} $
 
-Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.
+\textbf{Behauptung:} Für $x \in \mathbb{R}$ gilt, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ gegen den einzigen Fixpunkt $x^{*} = cos(x^{*})$ konvergiert.
 
-Algorithmus:
+\textbf{Beweis:} 
+Sei $ D := [-1, 1]$.\\
+Trivial: $D$ ist abgeschlossen.
 
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-    	\For{$i=1$ to $i=n$}
-			\State $sum \gets 0$
-			\For{$j = 1$ to $j = i-1$}
-				\State $sum \gets sum + y_i \cdot l_{ij}$
-			\EndFor
-			\State $y_i \gets \frac{b_i - sum}{l_{ii}}$
-		\EndFor
-    \end{algorithmic}
-\caption{TODO}
-\end{algorithm}
+Sei $ x \in D$, so gilt:
+\begin{align*}
+	0 < cos(x) \leq 1
+\end{align*}
+Also: $cos(x) \in D$.\\ Wenn $x \not\in D$, so gilt $y := cos(x)$ und $cos(y) \in D$. D.h. bereits nach einem Iterationschritt wäre $cos(x) \in D$ für $x \in \mathbb{R}$! Dies ist wichtig, da damit gezeigt ist, dass $cos(x_k) = x_{k+1}$ für jedes $x \in \mathbb{R}$ konvergiert! Es kommt nur dieser einzige Iteratationsschritt für $x \not\in \mathbb{R}$ hinzu.
 
-\subsubsection*{(b)}
-\begin{algorithm}[H]
-    \begin{algorithmic}
-    \Require Matrix $A$, Vektor $b$
-	\Procedure{LoeseLGS}{$A$, $b$}
-    	\State $P, L, R \gets \Call{LRZer}{A}$
-		\State $b^* \gets P \cdot b$
-		\State $c \gets \Call{VorSub}{L, b^*}$
-		\State $x \gets \Call{RueckSub}{R, c}$
-		\State \Return $x$
-	\EndProcedure
-    \end{algorithmic}
-\caption{Löse ein LGS $Ax = b$}
-\end{algorithm}
+Nun gilt mit $ x, y \in D, x < y, \xi \in (x,y) $ und dem Mittelwert der Differentialrechnung:
+\begin{align*}
+	\frac{cos(x) - cos(y)}{x - y} = cos'(\xi) \\
+	\Leftrightarrow cos(x) - cos(y) =  cos'(\xi) * (x - y)  \\
+	\Leftrightarrow | cos(x) - cos(y) | = | cos'(\xi) * (x - y) | \leq | cos'(\xi) | * | (x - y) | 
+\end{align*}
+Da $ \xi \in (0, 1) $ gilt:
+\begin{align*}
+	0 \leq | cos'(\xi) | = | sin(\xi) | < 1 
+\end{align*}
+Damit ist gezeigt, dass $cos(x) : D \rightarrow D$ Kontraktion auf $D$.
 
-\subsection*{Teilaufgabe c)}
-Aufwand:
-\begin{itemize}
-\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
-\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$
-\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
-\end{itemize}
+Damit sind alle Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
+
+Nach dem Banachschen Fixpunktsatz folgt die Aussage.

documents/Numerik/Klausur2/Aufgabe5.tex

@@ -1,9 +1,44 @@
 \section*{Aufgabe 5}
-Es gibt unendlich viele symmetrische QF mit $0=c_1 < c_2 < c_3$ und Ordnung $\geq 4$. Die Knoten müssen nur 
-folgende Eigenschaft erfüllen:
-\[c_i = 1 - c_{s+1-i}\]
-Die Gewichte sind durch Vorgabe der Knoten und der Bedingung, dass 
-die QF die Ordnung von $s \geq 3$ erfüllen soll, nach VL bereits 
-eindeutig bestimmt.
-
-Anmerkung: Es gilt immer $c_2 = \frac{1}{2}$!
+
+Zunächst ist nach der Familie von Quadraturformeln gefragt, für die gilt: ($p := $ Ordnung der QF)
+\begin{align}
+	s = 3 \\
+	0 = c_1 < c_2 < c_3 \\
+	p \ge 4
+\end{align}
+
+Nach Satz 29 sind in der Familie genau die QFs, für die gilt: \\
+Für alle Polynome $g(x)$ mit Grad $\le 0$ gilt:
+\begin{align}
+	 \int_0^1 M(x) \cdot g(x) \mathrm{d}x = 0 \label{a3}
+\end{align}
+Es gilt $g(x) = c$ für eine Konstante c, da der Grad von $g(x)$ $0$ ist. Also ist \ref{a3} gleichbedeutend mit:
+\begin{align}
+	 \int_0^1 M(x) \cdot c \mathrm{d}x &= 0 \\
+	 \Leftrightarrow c \cdot \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \int_0^1 M(x) \mathrm{d}x &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \int_0^1 (x-c_1)(x-c_2)(x-c_3) \mathrm{d}x &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot (c_2 + c_3) + \frac{1}{2} \cdot c_2 \cdot c_3 &= 0 \\
+ 	 \Leftrightarrow \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot c_3}
+ 	                      {\frac{1}{3} - \frac{1}{2} \cdot c_3} &= c_2
+\end{align}
+
+Natürlich müssen auch die Gewichte optimal gewählt werden. Dafür wird Satz 28 genutzt:
+Sei $b^T = (b_1, b_2, b_3)$ der Gewichtsvektor. Sei zudem $C :=
+\begin{pmatrix}
+    {c_1}^0 & {c_2}^0 & {c_3}^0 \\
+    {c_1}^1 & {c_2}^1 & {c_3}^1 \\
+    {c_1}^2 & {c_2}^2 & {c_3}^2
+\end{pmatrix}
+$. \\
+Dann gilt: $C$ ist invertierbar und $b = C^{-1} \cdot
+\begin{pmatrix}
+    1 \\
+    \frac{1}{2} \\
+    \frac{1}{3}
+\end{pmatrix}
+$.
+
+Es gibt genau eine symmetrische QF in der Familie. Begründung: \\
+Aus $c_1 = 0 $ folgt, dass $c_3 = 0$ ist. Außerdem muss $c_2 = \frac{1}{2} $ sein. Also sind die Knoten festgelegt. Da wir die Ordnung $\ge s = 3$ fordern, sind auch die Gewichte eindeutig. \\
+Es handelt sich um die aus der Vorlesung bekannte Simpsonregel.

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe1.tex

@@ -0,0 +1,73 @@
+\section*{Aufgabe 1}
+\textbf{Gegeben:}
+
+\[
+A = \begin{pmatrix}
+    1 & 2 & 3\\
+    2 & 8 & 14\\
+    3 & 14 & 34
+\end{pmatrix}\]
+
+\textbf{Aufgabe:} Durch Gauß-Elimination die Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \overline{L}^T$
+berechnen
+
+\textbf{Lösung mit Gauß-Elimination:}
+\begin{align*}
+    A &=
+	\begin{gmatrix}[p]
+        1 & 2 & 3\\
+        2 & 8 & 14\\
+        3 & 14 & 34
+        \rowops
+        \add[\cdot (-2)]{0}{1}
+        \add[\cdot (-3)]{0}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+    \leadsto
+    L^{(1)} &=
+    \begin{pmatrix}
+		1 & 0 & 0\\
+	   -2 & 1 & 0\\
+       -3 & 0 & 1
+	\end{pmatrix},&
+    A^{(1)} &=
+	\begin{gmatrix}[p]
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 4 & 8\\
+        0 & 8 & 25
+        \rowops
+        \add[\cdot (-2)]{1}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+    \leadsto
+    L^{(2)} &=
+    \begin{pmatrix}
+		1 & 0 & 0\\
+	    0 & 1 & 0\\
+        0 & -2 & 1
+	\end{pmatrix},&
+    A^{(2)} &=
+	\begin{gmatrix}[p]
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 4 & 8\\
+        0 & 0 & 9
+        \rowops
+        \add[\cdot (-2)]{1}{2}
+    \end{gmatrix}\\
+\end{align*}
+
+TODO: Und wie gehts weiter?
+
+
+\textbf{Lösung ohne Gauß-Elimination:}
+\[
+    A = 
+    \underbrace{
+	\begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+        2 & 2 & 0\\
+        3 & 4 & 3
+    \end{pmatrix}}_{=: L} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 2 & 4\\
+        0 & 0 & 3
+    \end{pmatrix}}_{=: L^T}
+\]

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -0,0 +1,77 @@
+\section*{Aufgabe 2}
+\subsection*{Teilaufgabe i}
+Es gilt:
+
+\begin{align}
+    2x - e^{-x} &= 0\\
+    \Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
+\end{align}
+
+Offensichtlich ist $g(x) := 2x$ streng monoton steigend und $h(x) := e^{-x}$ streng
+monoton fallend.
+
+Nun gilt: $g(0) = 0 < 1 = e^0 = h(0)$. Das heißt, es gibt keinen
+Schnittpunkt für $x \leq 0$.
+
+Außerdem: $g(1) = 2$ und $h(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} < 2$.
+Das heißt, für $x \geq 1$ haben $g$ und $h$ keinen Schnittpunkt.
+
+Da $g$ und $h$ auf $[0,1]$ stetig sind und $g(0) < h(0)$ sowie $g(1) > h(1)$
+gilt, müssen sich $g$ und $h$ im Intervall mindestens ein mal schneiden.
+Da beide Funktionen streng monoton sind, schneiden sie sich genau
+ein mal.
+
+Ein Schnittpunkt der Funktion $g,h$ ist äquivalent zu einer
+Nullstelle der Funktion $f$. Also hat $f$ genau eine Nullstelle
+und diese liegt in $[0,1]$.
+
+\subsection*{Teilaufgabe ii}
+    \begin{align}
+        2x - e^{-x} &= 0\\
+    \Leftrightarrow 2x &= e^{-x}\\
+    \Leftrightarrow x &= \frac{1}{2} \cdot e^{-x} = F_1(x) \label{a2iif1}\\
+    \stackrel{x \in \mathbb{R}^+}{\Rightarrow} \ln(2x) &= -x\\
+    \Leftrightarrow x &= - \ln(2x) = F_2(x)\label{a2iif2}
+    \end{align}
+
+Gleichung \ref{a2iif1} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Nullstelle von $f$ übereinstimmt.
+
+Gleichung \ref{a2iif2} zeigt, dass der Fixpunkt von $F_1$ mit der 
+Nullstelle von $f$ übereinstimmt. Da es nur in $[0,1]$ eine Nullstelle
+gibt (vgl. Teilaufgabe i), ist die Einschränkung von $x$ auf $\mathbb{R}^+$
+irrelevant.
+
+TODO: Ich vermute, man soll die Kontraktionszahlen ermitteln.
+Die Funktion mit der niedrigern Kontraktionszahl ist besser, da man
+bessere Abschätzungen machen kann.
+
+$F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
+\begin{align}
+    \|\frac{1}{2} e^{-x} - \frac{1}{2} e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| -e^{-x-y}(e^{x} - e^{y})\| &\leq \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \|-e^{-x-y} \| \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \underbrace{e^{-(x+y)}}_{\leq 1} \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|
+\end{align}
+
+TODO: Beweis ist noch nicht fertig
+
+$F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$:
+\begin{align}
+    \|- \ln (2x) + \ln(2y) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| \ln(\frac{2y}{2x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\
+    \Leftrightarrow \| \ln(\frac{y}{x}) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|
+\end{align}
+
+TODO: Beweis ist nicht mal wirklich angefangen
+
+Gegen $F_2$ spricht auch, dass $\log$ nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert
+ist. Das kann bei Rundungsfehlern eventuell zu einem Fehler führen.
+(vgl. Python-Skript)
+
+\subsection*{Teilaufgabe iii}
+\[x_{k+1} = x_k - \frac{2x_k - e^{-x_k}}{2 + e^{-x_k}}\]
+
+Laut \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=2x-e%5E(-x)%3D0}{Wolfram|Alpha} ist die Lösung etwa 0.35173371124919582602

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\section*{Aufgabe 3}
+
+\begin{table}[H]
+    \begin{tabular}{l|l|l|l|l}
+    $f_i$ & 8 & 3 & 4 & 8 \\ \hline
+    $x_i$ & -1 & 0 & 1 & 3 \\
+    \end{tabular}
+\end{table}
+
+\subsection*{Teilaufgabe i}
+\begin{align}
+	p(x) = \sum_{i=0}^3 f_i \cdot L_i(x)
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+	L_0(x) &= \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0 - x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}
+	= \ldots = \frac{x^3 - 4x^2 + 3x}{-8} \\
+	L_1(x) &= \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{3} \\
+	L_2(x) &= \frac{x^3 - 2x^2 - 3x}{-4} \\
+	L_3(x) &= \frac{x^3 - x}{24}
+\end{align}
+
+\subsection*{Teilaufgabe ii}
+Anordnung der dividierten Differenzen im so genannten Differenzenschema:
+\begin{table}[H]
+    \begin{tabular}{llll}
+    $f[x_0]=f_0=8$ & ~                                                   & ~             & ~                \\
+    $f[x_1]= 3$    & $f[x_0,x_1] = \frac{f[x_0] - f[x_1]}{x_0-x_1} = -5$ & ~             & ~                \\
+    $f[x_2] = 4$   & $1$                                                 & $3$           & ~                \\
+    $f[x_3] = 8$   & $2$                                                 & $\frac{1}{3}$ & $- \frac{2}{3} $ \\
+    \end{tabular}
+\end{table}
+Also:
+\begin{align}
+	p(x) &= f[x_0] + f[x_0,x_1] \cdot (x-x_0) + f[x_0, x_1, x_2] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & + f[x_0, x_1, x_2, x_3] \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \\
+	&= 8 - 5 \cdot (x-x_0) + 3 \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \\ & - \frac{2}{3} \cdot (x-x_0) \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2)
+\end{align}

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe4.tex

@@ -0,0 +1,6 @@
+\section*{Aufgabe 4}
+Ein Polynom, das vier Punkte interpoliert, hat maximal Grad 3.
+Da wir das Integral über dieses Polynom im Bereich $[x_2, x_3]$
+exakt berechnen sollen, muss die Quadraturformel vom Grad $p=4$ sein.
+
+TODO

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe5.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\section*{Aufgabe 5}
+
+Das \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Explizites_Euler-Verfahren}{explizite Euler-Verfahren}
+dient der numerischen Lösung eines Anfangswertproblems (Differentialgleichungen).
+
+Wir haben das nicht in der Vorlesung gemacht, also wird das wohl nicht
+relevant sein.

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -0,0 +1,50 @@
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
+\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
+\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
+\usepackage{color}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
+\usepackage{marvosym}       % checkedbox
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{braket}         % for \Set{}
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{lastpage}
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{units}
+\allowdisplaybreaks
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\title{Numerik Klausur 6 - Musterlösung}
+\makeatletter
+\AtBeginDocument{
+	\hypersetup{ 
+	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
+	  pdftitle    = {\@title} 
+  	}
+	\pagestyle{fancy}
+	\lhead{\@title}
+	\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
+}
+\makeatother
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\fancyfoot[C]{}
+
+\begin{document}
+	\input{Aufgabe1}\clearpage
+	\input{Aufgabe2}\clearpage
+	\input{Aufgabe3}
+	\input{Aufgabe4}
+	\input{Aufgabe5}
+\end{document}

documents/Numerik/Klausur6/Makefile

@@ -0,0 +1,8 @@
+SOURCE = Klausur6
+make:
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur6/aufgabe2.py

@@ -0,0 +1,11 @@
+from math import exp, log
+
+def iterate(x):
+    #return x - (2.0*x - exp(-x))/(2.0+exp(-x)) #Newton
+    #return 0.5*exp(-x) #F_1
+    return (-1)*log(2.0*x) #F_2
+
+x = 0.9
+for i in range(10):
+    print (i, x)
+    x = iterate(x)

source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Animation.tex

@@ -0,0 +1,279 @@
+\documentclass[aspectratio=169,hyperref={pdfpagelabels=false}]{beamer}
+\usepackage{lmodern}
+ 
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for german umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for german umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+
+\usepackage{braket} % needed for \Set
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+
+\usepackage{verbatim}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows,shapes}
+ 
+% Define some styles for graphs
+\tikzstyle{vertex}=[circle,fill=black!25,minimum size=20pt,inner sep=0pt]
+\tikzstyle{selected vertex} = [vertex, fill=red!24]
+\tikzstyle{blue vertex} = [vertex, fill=blue!24]
+\tikzstyle{edge} = [draw,thick,-]
+\tikzstyle{weight} = [font=\small]
+\tikzstyle{selected edge} = [draw,line width=5pt,-,red!50]
+\tikzstyle{ignored edge} = [draw,line width=5pt,-,black!20]
+ 
+% see http://deic.uab.es/~iblanes/beamer_gallery/index_by_theme.html
+%\usetheme{Frankfurt}
+\usefonttheme{professionalfonts}
+ 
+% disables bottom navigation bar
+\beamertemplatenavigationsymbolsempty
+ 
+% http://tex.stackexchange.com/questions/23727/converting-beamer-slides-to-animated-images
+\setbeamertemplate{navigation symbols}{}%
+
+\newcommand{\alertline}{%
+ \usebeamercolor[fg]{normal text}%
+ \only{\usebeamercolor[fg]{alerted text}}}
+
+
+\begin{document}
+\pgfdeclarelayer{background}
+\pgfsetlayers{background,main}
+\newcommand\hlight[1]{\tikz[overlay, remember picture,baseline=-\the\dimexpr\fontdimen22\textfont2\relax]\node[rectangle,fill=blue!50,rounded corners,fill opacity = 0.2,draw,thick,text opacity =1] {$#1$};}
+\newcommand\tocalculate[1]{\tikz[overlay, remember picture,baseline=-\the\dimexpr\fontdimen22\textfont2\relax]\node[rectangle,fill=green!50,rounded corners,fill opacity = 0.2,draw,thick,text opacity =1] {$#1$};}
+ 
+\begin{frame}
+    \begin{minipage}[b]{0.30\linewidth}
+    \centering
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+       \alertline<1> L &= \alertline<1>\begin{pmatrix}
+            0 & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+    \end{minipage}
+    \hspace{0.5cm}
+    \begin{minipage}[b]{0.60\linewidth}
+    \centering
+    \begin{algorithm}[H]
+        \begin{algorithmic}
+            \Function{Cholesky}{$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$}
+                \alertline<1>\State $L = \Set{0} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ \Comment{Initialisiere $L$}\\
+
+                \alertline<2>\alertline<4>\For{($k=1$; $\;k \leq n$; $\;k$++)}
+                    \alertline<3>\State $L_{k,k} = \sqrt{A_{k,k} - \sum_{i=1}^{k-1} L_{k,i}^2}$
+                    \For{($i=k+1$; $\;i \leq n$; $\;i$++)}
+                        \State $L_{i,k} = \frac{A_{i,k} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{i,j} \cdot L_{k,j}}{L_{k,k}}$
+                    \EndFor
+                \EndFor
+                \alertline<5>\State \Return $L$
+            \EndFunction
+        \end{algorithmic}
+    \caption{Cholesky-Zerlegung}
+    \label{alg:seq1}
+    \end{algorithm}
+    \end{minipage}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            \hlight{1} &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            \tocalculate{0} & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            \tocalculate{1} & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Calculate L_2,1
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            \hlight{2} &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            \tocalculate{0} & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            \hlight{1} & 0 & 0\\
+            \tocalculate{2} & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            \tocalculate{2} & 0 & 0\\
+            0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Calculate L_3,1
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            \hlight{3} & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            2 & 0 & 0\\
+            \tocalculate{0} & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            \hlight{1} &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            2 & 0 & 0\\
+            \tocalculate{3} & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Calculate L_2,2
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  \hlight{8} & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            2 & \tocalculate{0} & 0\\
+            3 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            \hlight{2} & \tocalculate{8} & 0\\
+            3 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            2 & \tocalculate{8} & 0\\
+            3 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= \hlight{4}
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            2 & \tocalculate{4} & 0\\
+            3 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+
+
+\begin{frame}
+    \begin{align*}
+        A &= \begin{pmatrix}
+            1 &  2 & 3\\
+            2 &  8 & 14\\
+            3 & 14 & 34
+        \end{pmatrix}\\
+        L &= \begin{pmatrix}
+            1 & 0 & 0\\
+            2 & \tocalculate{2} & 0\\
+            3 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}\\
+        tmp &= 0
+    \end{align*}
+\end{frame}
+\end{document}

source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/Animation/Makefile

@@ -0,0 +1,35 @@
+SOURCE = Animation
+DELAY = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH = 500
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	make
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	rsvg-convert -a -w $(WIDTH) -f svg $(SOURCE).svg -o $(SOURCE)2.svg
+	inkscape $(SOURCE)2.svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	rm $(SOURCE)2.svg

source-code/Pseudocode/Cholesky-Zerlegung/CholeskyZerlegung.py

@@ -0,0 +1,18 @@
+def getL(A):
+    n = len(A)
+    L = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
+    print(L)
+    print("")
+ 
+    for k in range(n):
+        L[k][k] = (A[k][k] - sum([L[k][i]**2 for i in range(k)]))**0.5
+        for i in range(k+1, n):
+            L[i][k] = (A[i][k] 
+                        - sum([L[i][j]*L[k][j] for j in range(k)])) \
+                      / L[k][k]
+            print("L_%i%i = A%i%i - sum(L_...)/L_%i%i) = %i" % (i, k, i, k, k, k, L[i][k]))
+    return L
+
+A = [[1,2,3],[2,8,14],[3,14,34]]
+
+print getL(A)

tikz/landtagswahlen-in-bayern/landtagswahlen-in-bayern.csv

@@ -1,8 +1,8 @@
 Wahltag,Wahlbeteiligung,CSU,SPD,FDP,GRÜNE,BP,FW,ÖDP,REP,NPD,KPD,GB/BHE,Sonstige
 1946-06-30,72.1,58.3,28.8,2.5,,,,,,,5.3,,WAV 5.1
 1946-12-01,75.7,52.3,28.6,5.7,,,,,,,6.1,,WAV 7.4
-1950-11-26,79.9,27.4,28.0,7.1,,17.9,,,,,1,9,12.3,WAV 2.8
-1954-11-28,82.4,38.0,28.1,7.2,,13.2,,,,,2,1,10.2,
+1950-11-26,79.9,27.4,28.0,7.1,,17.9,,,,,1.9,12.3,WAV 2.8
+1954-11-28,82.4,38.0,28.1,7.2,,13.2,,,,,2.1,10.2,
 1958-11-23,76.6,45.6,30.8,5.6,,8.1,,,,,,8.6,
 1962-11-25,76.5,47.5,35.3,5.9,,4.8,,,,,,GDP 5.1,
 1966-11-20,80.6,48.1,35.8,5.1,,3.4,,,,7.4,,,

tikz/landtagswahlen-in-bayern/landtagswahlen-in-bayern.tex

@@ -30,9 +30,11 @@
           \addplot[blue, dashed, mark=triangle*] table [x=Wahltag, y=Wahlbeteiligung, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
           \addplot[black,mark=square*] table [x=Wahltag, y=CSU, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
           \addplot[red,mark=square*] table [x=Wahltag, y=SPD, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
-          \addplot[green,mark=square*] table [x=Wahltag, y=GRÜNE, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
-          \addplot[yellow,mark=square*] table [x=Wahltag, y=FDP, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
-          \legend{Wahlbeteiligung,CSU,SPD,Grüne,FDP}
+          \addplot[green,mark=x] table [x=Wahltag, y=GRÜNE, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
+          \addplot[yellow,mark=x] table [x=Wahltag, y=FDP, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
+          \addplot[blue,mark=x] table [x=Wahltag, y=BP, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
+          \addplot[orange,mark=x] table [x=Wahltag, y=FW, col sep=comma] {landtagswahlen-in-bayern.csv};
+          \legend{Wahlbeteiligung,CSU,SPD,Grüne,FDP,BP,FW}
     \end{axis}
 \end{tikzpicture}
 \end{document}