Klausur 5 / Aufgabe 3 und anderes hinzugefügt.

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex

@@ -0,0 +1,7 @@
+\section*{Aufgabe 2}
+
+Die Kondition eines Problems ist unabhängig von einem Algorithmus. Bei einer Matrix mit schlechter Kondition kann es sein, dass kleine Fehler in den Eingabegrößen das mathematisch korrekte Ergebnis sehr stark verändern.
+
+Allgemein besagt die Kondition eines Problems, wie stark sich Eingabefehler auf das Ergebnis auswirken können.
+
+Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen.

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section*{Aufgabe 3}
+
+(Die Lösung findet ihr bei Klausur 3 / Aufgabe 3, da die Aufgaben identisch sind.)

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe4.tex

@@ -0,0 +1,3 @@
+\section*{Aufgabe 3}
+
+(Die Lösung findet ihr bei Klausur 2 / Aufgabe 3, da die Aufgaben identisch sind.)

documents/Numerik/Klausur4/Klausur4.tex

@@ -0,0 +1,38 @@
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
+\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
+\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
+\usepackage{color}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
+\usepackage{marvosym}       % checkedbox
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{braket}         % for \Set{}
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{lastpage}
+\allowdisplaybreaks
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\title{Numerik Klausur 4 - Musterlösung}
+\makeatletter
+\makeatother
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\fancyfoot[C]{}
+
+\begin{document}
+	\include{Aufgabe1}
+	\include{Aufgabe2}
+	\include{Aufgabe3}
+	\include{Aufgabe4}
+	\include{Aufgabe5}
+\end{document}

documents/Numerik/Klausur4/Makefile

@@ -0,0 +1,8 @@
+SOURCE = Klausur4
+make:
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1,17 @@
+\section*{Aufgabe 5}
+\subsection*{Teilaufgabe i}
+relativer Fehler:
+
+% TODO: eps soll nicht kursiv sein.
+\begin{align}
+	\frac{ | \frac{x}{y} - \frac{x \cdot (1 + \epsilon_x)}{y \cdot (1 + \epsilon_y}|}{|\frac{x}{y}|}
+	= \ldots = |\frac{\epsilon_y - \epsilon_x }{1 + \epsilon_y} |
+	\le \frac{|\epsilon_y | + | \epsilon_x |}{|1 + \epsilon_y|} \le \frac{2 \cdot eps}{|1 + \epsilon_y|} 
+\end{align}
+
+Der letzte Ausdruck ist ungefähr gleich $2 \cdot eps$, da $1 + \epsilon_y$ ungefähr gleich $1$ ist.
+Also: Der relative Fehler kann sich maximal verdoppeln.
+
+\subsection*{Teilaufgabe ii}
+Die zweite Formel ist vorzuziehen, also $f(x) = -\ln (x + \sqrt{x^2-1})$, da es bei Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen zur Stellenauslöschung kommt. Bei der ersten Formel, also $f(x) = \ln (x - \sqrt{x^2-1})$, tritt genau dieses Problem auf: $x$ und $\sqrt{x^2-1}$ sind für große $x$ ungefähr gleich groß. \\
+Bei der zweiten Formel tritt das Problem nicht auf: $x$ ist positiv und $\sqrt{x^2 - 1}$ auch, also gibt es in dem Ausdruck keine Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen.

documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex

@@ -0,0 +1,48 @@
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
+\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
+\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
+\usepackage{color}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
+\usepackage{marvosym}       % checkedbox
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{braket}         % for \Set{}
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{lastpage}
+\allowdisplaybreaks
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\title{Numerik Klausur 5 - Musterlösung}
+\makeatletter
+\AtBeginDocument{
+	\hypersetup{ 
+	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
+	  pdftitle    = {\@title} 
+  	}
+	\pagestyle{fancy}
+	\lhead{\@title}
+	\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
+}
+\makeatother
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\fancyfoot[C]{}
+
+\begin{document}
+	\include{Aufgabe1}
+	\include{Aufgabe2}
+	\include{Aufgabe3}
+	\include{Aufgabe4}
+	\include{Aufgabe5}
+\end{document}

documents/Numerik/Klausur5/Makefile

@@ -0,0 +1,8 @@
+SOURCE = Klausur5
+make:
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg