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@@ -1,6 +1,6 @@
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\chapter{Topologische Grundbegriffe}
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\chapter{Topologische Grundbegriffe}
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\section{Topologische Räume}
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\section{Topologische Räume}
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-\begin{definition} \index{Topologischer Raum} \index{offen}
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+\begin{definition} \index{Topologischer Raum} \index{offen} \index{abgeschlossen}
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Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
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aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
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folgenden Eigenschaften
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folgenden Eigenschaften
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@@ -11,8 +11,13 @@
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so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
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so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$.
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Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$.
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+ $A \setminus X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
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+
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\end{definition}
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\end{definition}
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+Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind.
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+
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\begin{beispieleX}
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\begin{beispieleX}
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\begin{enumerate}[1)]
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\begin{enumerate}[1)]
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\item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\
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\item $X = \mdr^n$ mit der euklidischen Metrik.\\
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