Klausur 6, Aufgabe 1 gelöst. Danke an Florian.

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@@ -11,7 +11,6 @@ A = \begin{pmatrix}
 \textbf{Aufgabe:} Durch Gauß-Elimination die Cholesky-Zerlegung $A = \overline{L} \overline{L}^T$
 berechnen
 
-\textbf{Lösung mit Gauß-Elimination:}
 \begin{align*}
     A &=
 	\begin{gmatrix}[p]
@@ -49,25 +48,41 @@ berechnen
         1 & 2 & 3\\
         0 & 4 & 8\\
         0 & 0 & 9
-        \rowops
-        \add[\cdot (-2)]{1}{2}
-    \end{gmatrix}\\
+    \end{gmatrix} =: R\\
+    L &= (L^{(2)} \cdot L^{(1)})^{-1}\footnotemark
+    &L &= \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+        2 & 1 & 0\\
+        3 & 2 & 1
+    \end{pmatrix}
 \end{align*}
+\footnotetext{Da dies beides Frobeniusmatrizen sind, kann einfach die negierten Elemente unter der Diagonalmatrix auf die Einheitsmatrix addieren um das Ergebnis zu erhalten}
 
-TODO: Und wie gehts weiter?
-
-
-\textbf{Lösung ohne Gauß-Elimination:}
-\[
-    A = 
-    \underbrace{
-	\begin{pmatrix}
+Nun gilt:
+\begin{align}
+    A &= LR = L (DL^T)\\
+\Rightarrow A &= \underbrace{(L D^\frac{1}{2})}_{=: \overline{L}} (D^\frac{1}{2} L^T)\\
+    \begin{pmatrix}d_1 &0&0\\0&d_2&0\\0&0&d_3\end{pmatrix} \cdot
+\begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 1 & 2\\
+        0 & 0 & 1
+    \end{pmatrix}
+ &= \begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3\\
+        0 & 4 & 8\\
+        0 & 0 & 9
+    \end{pmatrix}\\
+\Rightarrow D &= \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&4&0\\0&0&9\end{pmatrix}\\
+\Rightarrow D^\frac{1}{2} &= \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\\
+\overline{L} &= \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0\\
+        2 & 1 & 0\\
+        3 & 2 & 1
+    \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 &0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\\
+    &= \begin{pmatrix}
         1 & 0 & 0\\
         2 & 2 & 0\\
         3 & 4 & 3
-    \end{pmatrix}}_{=: L} \cdot \underbrace{\begin{pmatrix}
-        1 & 2 & 3\\
-        0 & 2 & 4\\
-        0 & 0 & 3
-    \end{pmatrix}}_{=: L^T}
-\]
+    \end{pmatrix}
+\end{align}