Weiteres Beispiel eingefügt

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -61,11 +61,12 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |03.02.2014 | 18:35 - 19:10 | Verbesserungen
 |04.02.2014 | 09:50 - 11:40 | Digitalisieren der Vorlesung von 04.02.2014
 |04.02.2014 | 18:15 - 19:30 | Verbesserungen von Marco eingefügt (Danke!); Beispiel 3.2 erstellt
-|05.02.2014 | 08:15 - 08:30 | Verbesserungen von Jérôme eingefügt (Danke!)
+|05.02.2014 | 08:15 - 08:30 | Verbesserungen von Jérôme Urhausen eingefügt (Danke!)
 |06.02.2014 | 08:15 - 08:30 | Verbesserungen
 |06.02.2014 | 15:45 - 16:00 | Karteikarten
 |06.02.2014 | 16:00 - 16:55 | Digitalisieren der Vorlesung von 06.02.2014
 |06.02.2014 | 19:00 - 19:30 | TikZ'en eines Bildes
 |07.02.2014 | 11:15 - 11:20 | Definitionen vereinfacht
 |07.02.2014 | 11:35 - 11:45 | Definition "operiert durch Homöomorphismen" korrigiert
-|07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | Verbesserungen von Jérôme, Email vom 08.02.2014, eingefügt.
+|07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | Verbesserungen von Jérôme Urhausen, Email vom 08.02.2014, eingefügt.
+|07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | Verbesserungen 

documents/GeoTopo/Fragen/Fragen.tex

@@ -230,5 +230,41 @@ Wieso wird bei der Mannigfaltigkeit mit Rand nicht gefordert, dass
 sie eine abzählbare Basis haben soll? Sollte man nicht vielleicht
 hinzufügen, dass der Atlas $n$-dimensional sein soll?
 
+\section{Standard-Simplex}
+\begin{definition}
+    \begin{defenum}
+        \item Sei $\Delta^k = \conv(e_0, \dots, e_k) \subseteq \mdr^{n+1}$
+              die konvexe Hülle der Standard-Basisvektoren $e_0, \dots, e_k$.
+
+              Dann heißt $\Delta^k$ \textbf{Standard-Simplex}\xindex{Standard-Simplex}
+              und $k$ die Dimension des Simplex.
+        \item Für Punkte $v_0, \dots, v_k$ im $\mdr^n$ in allgemeiner
+              Lage heißt $\Delta (v_0, \dots, v_k) = \conv(v_0, \dots, v_k)$
+              ein \textbf{$k$-Simplex}\xindex{Simplex} in $\mdr^n$.
+        \item Ist $\Delta (v_0, \dots, v_k)$ ein $k$-Simplex und
+              $I = \Set{i_0, \dots, i_r} \subseteq \Set{0, \dots, k}$,
+              so heißt $s_{i_0, \dots, i_r} := \conv(v_{i_0}, \dots, v_{i_r})$
+              \textbf{Teilsimplex}\xindex{Teilsimplex} oder \textbf{Seite}\xindex{Seite}
+              von $\Delta$. 
+
+              $s_{i_0, \dots, i_r}$ ist $r$-Simplex.
+    \end{defenum}
+\end{definition}
+Kann man bei der Definition des Standard-Simplex $k$ durch $n$ ersetzen?
+Es gilt doch auf jeden Fall $0 \geq k \geq n$, oder? (Also auch für die anderen Definitionen).
+
+\section{Produkttopologie}
+\begin{definition}\xindex{Produkttopologie}%
+    Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
+    $U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
+    Umgebungen $U_i$ um $x_i$  mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
+    gilt.
+
+    $\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}$
+    ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
+    $\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}$
+    ist eine Basis von $\fT$.
+\end{definition}
+Gibt es ein Beispiel, das zegit, dass nicht $\fB = \fT$ gilt?
 
 \end{document}

documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

@@ -41,3 +41,16 @@
         \item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?\xindex{Raum!projektiver}
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Begriffe]\label{ub3:meinsExtra}
+    Definieren sie die Begriffe \enquote{Homomorphismus} und
+    \enquote{Homöomorphismus}.
+
+    Geben Sie, falls möglich, ein Beispiel für folgende Fälle an.
+    Falls es nicht möglich ist, begründen Sie warum.
+    \begin{bspenum}
+        \item Ein Homomorphismus, der zugleich ein Homöomorphismus ist,
+        \item ein Homomorphismus, der kein Homöomorphismus ist,
+        \item ein Homöomorphismus, der kein Homomorphismus ist
+    \end{bspenum}
+\end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -341,7 +341,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     \begin{defenum}
         \item \label{def:stetigkeit} $f$ heißt \textbf{stetig}\xindex{Abbildung!stetige}
               $:\gdw \forall U \in \fT_Y: f^{-1} (U) \in \fT_X$.
-        \item $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
+        \item \label{def:homoeomorphismus} $f$ heißt \textbf{Homöomorphismus}\xindex{Homöomorphismus}, wenn $f$ stetig ist
               und es eine 
               stetige Abbildung  $g: Y \rightarrow X$ gibt, sodass
               $g \circ f = \id_X$ und $f \circ g = \id_Y$.

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -445,7 +445,7 @@ schneiden sich.
               die den einen Winkel auf den anderen abbildet.
         \item \label{def:14.8c} $\angle R_1' P' R_2'$ heißt \textbf{kleiner} als
               $\angle R_1 P R_2$, wenn es eine Isometrie $\varphi$
-              gibt, mit $\varphi(P) = P'$, $\varphi(PR'_1+) = P' R_1 +$
+              gibt, mit $\varphi(P) = P'$, $\varphi(PR'^{+}_{1}) = P' R_{1}^{+}$
               und $\varphi(R_2')$ liegt in der gleichen Halbebene 
               bzgl. $PR_1$ wie $R_2$ und in der gleichen Halbebene
               bzgl. $PR_2$ wie $R_1$

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -83,9 +83,11 @@
               an $\gamma$ in $t$.
         \item \label{def:16.4c} $b(t)$ sei ein Vektor, der $\gamma'(t), n(t)$
               zu einer orientierten Orthonormalbasis von $\mdr^3$ ergänzt.
-              Also $\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1$;
+              Also gilt:
+              \[\det(\gamma'(t), n(t), b(t)) = 1\]
               $b(t)$ heißt \textbf{Binormalenvektor}\xindex{Binormalenvektor},
-              die Orthonormalbasis $\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}$
+              die Orthonormalbasis 
+              \[\Set{\gamma'(t), n(t), b(t)}\]
               heißt \textbf{begleitendes Dreibein}\xindex{Dreibein!begreitendes}.
     \end{defenum}
 \end{definition}

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -125,6 +125,31 @@
     \end{enumerate}
 \end{solution}
 
+\begin{solution}[\ref{ub3:meinsExtra}]
+    Die Definition von Homöomorphismus kann auf \cpageref{def:homoeomorphismus}
+    nachgelesen werden.
+
+    \begin{definition}
+        Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und 
+        $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung.
+
+        $\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}\xindex{Homomorphismus}, wenn
+        \[\forall g_1, g_2 \in G: \varphi(g_1 * g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)\]
+        gilt.
+    \end{definition}
+
+    Es folgt direkt:
+    \begin{bspenum}
+        \item Sei $X = \mdr$ mit der Standarttopologie und $\varphi_1: \id_\mdr$ und $\mdr = (\mdr,+)$. Dann ist $\varphi_1$ ein Gruppenhomomorphismus und ein Homöomorphismus.
+        \item Sei $G = (\mdz, +)$ und $H = (\mdz / 3 \mdz, +)$. Dann ist $\varphi_2 : G \rightarrow H, x \mapsto x \mod 3$ ein Gruppenhomomorphismus.
+              Jedoch ist $\varphi_2$ nicht injektiv, also sicher kein Homöomorphismus.
+        \item Sei $X$ ein topologischer Raum. Dann ist $\id_X$ ein Homöomorphismus. Da keine Verknüpfung auf $X$ definiert wurde, ist $X$ keine Gruppe und daher auch kein Gruppenhomomorphismus.
+    \end{bspenum}
+
+    Also: Obwohl die Begriffe ähnlich klingen, werden sie in ganz unterschiedlichen
+    Kontexten verwendet.
+\end{solution}
+
 \begin{solution}[\ref{ub4:aufg1}]
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item \textbf{Vor.:} Sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit.\\

documents/GeoTopo/Vorwort.tex

@@ -65,7 +65,8 @@ Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt.
 
 Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume, 
 lineare Unabhängigkeit und und der projektive Raum $\praum(\mdr)$ aus
-\enquote{Lineare Algebra I} bekannt sind.
+\enquote{Lineare Algebra I} bekannt sind. In \enquote{Lineare Algebra II}
+wird der Begriff der Orthonormalbasis eingeführt.
 
 Obwohl es nicht vorausgesetzt wird, könnte es von Vorteil sein
 \enquote{Einführung in die Algebra und Zahlentheorie} gehört zu