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@@ -0,0 +1,202 @@
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+\documentclass[a5paper,oneside]{scrbook}
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+\usepackage{etoolbox}
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+\usepackage{amsmath,amssymb}% math symbols / fonts
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+\usepackage{mathtools} % \xRightarrow
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+\usepackage{nicefrac} % \nicefrac
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+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
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+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
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+\usepackage[T1]{fontenc} % this is needed for correct output of umlauts in pdf
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+\usepackage[framed,amsmath,thmmarks,hyperref]{ntheorem}
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+\usepackage{framed}
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+\usepackage{marvosym}
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+\usepackage{makeidx} % for automatically generation of an index
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+\usepackage{xcolor}
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+\usepackage[bookmarks,bookmarksnumbered,hypertexnames=false,pdfpagelayout=OneColumn,colorlinks,hyperindex=false]{hyperref} % has to be after makeidx
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+\usepackage{enumitem} % Better than \usepackage{enumerate}, because it allows to set references
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+\usepackage{tabto}
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+\usepackage{braket} % needed for \Set
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+\usepackage{csquotes} % \enquote{}
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+\usepackage{subfig} % multiple figures in one
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+\usepackage{parskip} % nicer paragraphs
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+\usepackage{xifthen} % \isempty
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+\usepackage{changepage} % for the adjustwidth environment
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+\usepackage{pst-solides3d}
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+\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
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+\usepackage{pgfplots}
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+\pgfplotsset{compat=1.7}
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+\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}
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+\usepackage{caption} % get newlines within captions
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+\usepackage{tikz} % draw
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+\usepackage{tikz-3dplot} % draw
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+\usepackage{tkz-fct} % draw
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+\usepackage{tkz-euclide} % draw
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+\usetkzobj{all} % tkz-euclide
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+\usetikzlibrary{3d,calc,intersections,er,arrows,positioning,shapes.misc,patterns,fadings,decorations.pathreplacing}
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+\usepackage{tqft}
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+\usepackage{xspace} % for new commands; decides weather I want to insert a space after the command
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+\usepackage[german,nameinlink]{cleveref} % has to be after hyperref, ntheorem, amsthm
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+\usepackage[left=10mm,right=10mm, top=2mm, bottom=10mm]{geometry}
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+\usepackage{../shortcuts}
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+
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+\hypersetup{
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+ pdfauthor = {Martin Thoma},
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+ pdfkeywords = {Geometrie und Topologie},
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+ pdftitle = {Fragen zu Definitionen}
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+}
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+\allowdisplaybreaks
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+
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Begin document %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\begin{document}
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+\chapter{Fragen zu Definitionen}
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+\section{Topologischer Raum}
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+\begin{definition}\xindex{Raum!topologischer}\xindex{Menge!offene}\xindex{Menge!abgeschlossene}%
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+ Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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+ aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
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+ folgenden Eigenschaften
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+ \begin{defenumprops}
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+ \item $\emptyset, X \in \fT$
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+ \item \label{def:topologie.ii} Sind $U_1, U_2 \in \fT$, so ist $U_1 \cap U_2 \in \fT$
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+ \item Ist $I$ eine Menge und $U_i \in \fT$ für jedes $i \in I$,
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+ so ist $\displaystyle \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT$
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+ \end{defenumprops}
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+ Die Elemente von $\fT$ heißen \textbf{offene Teilmengen} von $X$.
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+
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+ $A \subseteq X$ heißt \textbf{abgeschlossen}, wenn $X \setminus A$ offen ist.
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+\end{definition}
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+
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+Ich glaube es ist unnötig in (i) zu fordern, dass $\emptyset in \fT$ gilt,
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+da man das mit (iii) bereits abdeckt:
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+
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+Sei in (iii) die Indexmenge $I = \emptyset$. Dann muss gelten:
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+
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+$\displaystyle \bigcup_{i \in \emptyset} U_i = \emptyset \in \fT$
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+
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+\section{Diskret}
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+\begin{definition}
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+ Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$.
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+
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+ $M$ heißt \textbf{diskret} in $X$, wenn $M$ in $X$ keinen
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+ Häufungspunkt hat.
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+\end{definition}
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+
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+Laut \url{http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Diskreter_Raum.html#Diskrete_Teilmenge_eines_topologischen_Raums}
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+könnte man \textbf{diskret} wie folgt definieren:
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+
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+\begin{definition}
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+ Sei $X$ ein topologischer Raum.
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+ \begin{defenum}
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+ \item Ein Punkt $x \in X$ heißt \textbf{isolierter Punkt}, wenn $\Set{ x }$ offen ist.
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+ \item Ein topologischer Raum heißt \textbf{diskreter topologischer}, Raum wenn jeder seiner Punkte isoliert ist.
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+ \end{defenum}
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+\end{definition}
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+
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+Sind diese beiden Definitionen äquivalent? Falls ja, finde ich die
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+zweite besser. Da benötigt man den Begriff \enquote{Häufungspunkt}
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+nicht, den wir nicht definiert hatten.
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+
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+\section{Simpliziale Abbildung}
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+\begin{definition}
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+ Seien $K, L$ Simplizialkomplexe. Eine stetige Abbildung
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+ \[f:|K| \rightarrow |L|\]
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+ heißt \textbf{simplizial}, wenn für
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+ jedes $\Delta \in K$ gilt:
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+ \begin{defenum}
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+ \item $f(\Delta) \in L$
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+ \item $f|_{\Delta} : \Delta \rightarrow f(\Delta)$ ist eine
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+ affine Abbildung.
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+ \end{defenum}
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+\end{definition}
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+
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+Ist die Definition so richtig? Was bedeutet $|K|$ und $|L|$ in
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+ \[f:|K| \rightarrow |L|\]
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+
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+\section{Knotendiagramm}
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+\begin{definition}\xindex{Knotendiagramm}%
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+ Ein \textbf{Knotendiagramm} eines Knotens $\gamma$ ist eine
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+ Projektion $\pi: \mdr^3 \rightarrow E$ auf eine Ebene $E$, sodass
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+ $|(\pi|C)^{-1}(x)| \leq 2$ für jedes $x \in D$.
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+
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+ Ist $(\pi|C)^{-1}(x) = \Set{y_1, y_2}$, so \textbf{liegt $y_1$ über $y_2$},
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+ wenn $(y_1-x) = \lambda (y_2 - x)$ für ein $\lambda > 1$ ist.
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+\end{definition}
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+
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+Sollte das jeweils $\pi|_C$ (sprich: \enquote{$\pi$ eingeschränkt auf $C$})
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+sein? Was ist $C$?
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+
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+\section{Homotope Abbildungen und äquivalente Knoten}
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+\begin{definition}
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+ Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
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+ \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
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+ \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]
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+ gibt mit
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+ \begin{align*}
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+ H(z,0) &= \gamma_1(z)\\
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+ H(z,1) &= \gamma_2(z)
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+ \end{align*}
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+ und für jedes
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+ feste $t \in [0,1]$ ist
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+ \[H_z: S^1 \rightarrow \mdr^2, z \mapsto H(z,t)\]
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+ ein Knoten. Die Abbildung $H$ heißt \textbf{Isotopie} zwischen
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+ $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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+\end{definition}
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+
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+Fehlt hier nicht etwas wie \enquote{$\forall z \in S^1$}?
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+
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+\begin{definition}\xindex{Abbildung!homotope}%
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+ Seien $X, Y$ topologische Räume, $x_0 \in X, y_0 \in Y, f, g: X \rightarrow Y$
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+ stetig mit $f(x_0) = y_0 = g(x_0)$.
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+
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+ $f$ und $g$ heißen \textbf{homotop} ($f \sim g$), wenn es eine stetige
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+ Abbildung $H: X \times I \rightarrow Y$ mit
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+ \begin{align*}
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+ H(x,0) &= f(x) \; \forall x \in X\\
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|
|
+ H(x,1) &= g(x) \; \forall x \in X\\
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+ H(x_0, s) &= y_0 \; \forall s \in I
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+ \end{align*}
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|
+ gibt.
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+\end{definition}
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+
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+Mir scheint der Begriff \enquote{homotope Abbildung} bis auf die
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+Eigenschaft \enquote{$H(x_0, s) = y_0 \; \forall s \in I$} mit
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+dem Begriff \enquote{äquivalente Knoten} übereinzustimmen.
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+Der Knoten-Begriff ist dafür etwas spezieller nur auf Knoten bezogen.
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+Stimmt das?
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+
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+\section{Basis und Subbasis}
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+\begin{itemize}
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+ \item Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
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+die zugleich eine Basis ist?
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+ \item Kennst du ein Beispiel für eine Subbasis in einem Topologischen Raum,
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+die keine Basis ist?
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|
+ \item Kennst du ein Beispiel für eine Basis in einem Topologischen Raum,
|
|
|
+die keine Subbasis ist?
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+\end{itemize}
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|
+
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+\section{Homotopie}
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+\begin{definition}%
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+ Sei $X$ ein topologischer Raum, $a, b \in X$,
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+ $\gamma_1, \gamma_2: [0,1] \rightarrow X$ Wege von $a$ nach $b$,
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+ d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
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+
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+ \begin{defenum}
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+ \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{Weg!homotope},
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+ wenn es eine stetige Abbildung $H : I \times I \rightarrow X$ mit
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+ \begin{align*}
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+ H(t,0) &= \gamma_1(t)\;\forall t \in [0,1] =: I\\
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|
+ H(t,1) &= \gamma_2(t)\;\forall t \in [0,1] =: I
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|
+ \end{align*}
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+ und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
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+ Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
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+
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+ $H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
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+ $\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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+ \item $\gamma_s: I \rightarrow X, \gamma_s(t) = H(t,s)$ ist
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+ Weg in $X$ von $a$ nach $b$ für jedes $s \in I$.
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+ \end{defenum}
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+\end{definition}
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+
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+Diese Definition finde ich seltsam. Sollte b) nicht eine Bedingung für \enquote{Homotopie}
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+sein? Falls nicht: Was wird in b) definiert?
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+\end{document}
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Martin Thoma