Klausur 4, Aufgabe 5 gelöst

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 \section*{Aufgabe 5}
-TODO
+\subsection*{Teilaufgabe a}
+Eine Quadraturformel $(b_i, c_i)_{i=1,\dots,s}$ hat die Ordnung
+$p$, falls sie exakte Lösungenfür alle Polynome vom Grad $\leq p-1$ liefern.\footnote{Kapitel 4, S. 4 des Skripts}
+
+Die Ordnungsbedinungen liefern ein hinreichendes Kriterium zum Überprüfen
+der Ordnung einer Quadraturformel.
+
+Für die Mittelpunktsregel $c_1 = \frac{1}{2}, b_1 = 1$ gilt:
+\begin{align}
+    \frac{1}{1} &\stackrel{?}{=} b_1 = 1 \text{ \cmark}\\
+    \frac{1}{2} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1 = \frac{1}{2} \text{ \cmark}\\
+    \frac{1}{3} &\stackrel{?}{=} b_1 c_1^2 = \frac{1}{4} \text{ \xmark}
+\end{align}
+
+Die Ordnung der Mittelpunktsregel ist also $p=2$.
+
+\subsection*{Teilaufgabe b}
+\paragraph*{Aufgabe:}
+Das Integral
+\[I = \int_0^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\]
+soll näherungsweise mit der Mittelpunktsregel, angwendet auf eine
+äquistante Unterteilung des Intervalls $[0,1]$ in zwei Teilintervalle
+angewendet werden.
+
+\paragraph*{Lösung:}
+
+\begin{align}
+    I &= \int_0^\frac{1}{2} \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x + \int_\frac{1}{2}^1 \frac{1}{1+4x} \mathrm{d}x\\
+    &\approx \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{1+ 4 \cdot \frac{3}{4}} \\
+    &= \frac{3}{8}
+\end{align}