Vorzeichenfehler korrigiert

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
 Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
 zweiten Spalte nach $y$.
 
-\subsection*{Lösungsvorschlag 1}
+\subsection*{Lösungsvorschlag 1 (Numerische Lösung)}
 Eine Iteration des Newton-Verfahren ist durch
 \begin{align}
 x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)
@@ -15,7 +15,10 @@ x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)
 gegeben (vgl. Skript, S. 35).
 
 Zur praktischen Durchführung lösen wir
-\[f'(x_0, y_0)\Delta x = -f(x_0,y_0)\]
+\begin{align}
+    f'(x_0, y_0)\Delta x &= -f(x_0,y_0)\\
+    L \cdot \underbrace{R \cdot \Delta x}_{=: c} &= -f(x_0, y_0)
+\end{align}
 mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf:
 
 \begin{align}
@@ -43,15 +46,15 @@ mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf:
 		\frac{1}{9} & 1
 	\end{pmatrix}
 	\cdot c
-	&=
+	&= -
 		\begin{pmatrix}
-		-2\\
+		2\\
 		\frac{26}{27}
 	\end{pmatrix}\\
 	\Rightarrow
 	c &=		\begin{pmatrix}
 		-2\\
-		\frac{32}{27}
+		-\frac{26}{27}
 	\end{pmatrix}\footnotemark\\
 %
 	R\cdot \Delta x &= c\\
@@ -63,12 +66,12 @@ mit Hilfe der LR Zerlegung nach $\Delta x$ auf:
 	\cdot \Delta x &=
 	\begin{pmatrix}
 		-2\\
-		\frac{32}{27}
+		-\frac{26}{27}
 	\end{pmatrix}\\
-	\Rightarrow \Delta x &= 
+	\Rightarrow \Delta x &= \frac{1}{36}
 	\begin{pmatrix}
-		-\frac{10}{9}\\
-		\frac{4}{3}
+		-11\\
+		-39
 	\end{pmatrix}
 \end{align}
 \footnotetext{Dieser Schritt wird durch Vorwärtssubsitution berechnet.}
@@ -88,25 +91,26 @@ Anschließend berechnen wir
 		y_1
 	\end{pmatrix} &= 
 	\begin{pmatrix}
-		\frac{1}{3}\\
+		-\frac{1}{3}\\
 		0
 	\end{pmatrix} +
+    \frac{1}{36}
 	\begin{pmatrix}
-		-\frac{10}{9}\\
-		\frac{4}{3}
+		-11\\
+		-39
 	\end{pmatrix} \\
 	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
 		x_1\\
 		y_1
 	\end{pmatrix} &= 
 	\begin{pmatrix}
-		-\frac{7}{9}\\
-		\frac{4}{3}
+		-\nicefrac{23}{36}\\
+		-\nicefrac{39}{36}
 	\end{pmatrix}
 \end{align}
 
 
-\subsection*{Lösungsvorschlag 2}
+\subsection*{Lösungsvorschlag 2 (Analytische Lösung)}
 Und jetzt die Berechnung %TODO: Was ist hiermit gemeint?
 
 \[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\] %TODO: Was ist hiermit gemeint?
@@ -161,12 +165,14 @@ also ausführlich:
 		3 & \cos y\\
 		0 & -x^2 \cdot \cos y + e^y
 	\end{pmatrix}\\
-	P &= I_2\\
+	P &= I_2
 \end{align}
 
+TODO: Eigentlich sollten sich ab hier die Lösungsvorschläge gleichen\dots
+
 Es folgt:
 \begin{align}
 -f ( \nicefrac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} -2\\ -\frac{26}{27}\end{pmatrix}\\
-c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
-(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{82}{27}\end{pmatrix}
+c &= \begin{pmatrix} 2\\ \nicefrac{82}{27} \end{pmatrix}\\ %TODO: Was ist c?
+(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \nicefrac{5}{3}\\ \nicefrac{82}{27}\end{pmatrix}
 \end{align}