changed umlauts

documents/Analysis II/Analysis-II.tex

@@ -934,7 +934,7 @@ In diesem Paragraphen sei $A$ stets eine reelle und symmetrische $(n\times n)$-M
 \end{vereinbarung}
 
 \begin{definition*}
-$Q_A:\MdR^n\to\MdR$ durch $Q_A(x):=x(Ax)$. $Q_A$ hei"st die zu $A$ gehörende \begriff{quadratische Form}. Für $x=(x_1,\ldots,x_n):$
+$Q_A:\MdR^n\to\MdR$ durch $Q_A(x):=x(Ax)$. $Q_A$ heißt die zu $A$ gehörende \begriff{quadratische Form}. Für $x=(x_1,\ldots,x_n):$
 $$Q_A(x)=\ds\sum_{j,k=1}^na_{jk}x_jx_k$$
 \end{definition*}
 
@@ -946,7 +946,7 @@ f_{x_2x_1}(x_0)&\cdots&f_{x_2x_n}(x_0)\\
 \vdots& &\vdots\\
 f_{x_nx_1}(x_0)&\cdots&f_{x_nx_n}(x_0)\\
 \end{pmatrix}$$
-hei"st die \begriff{Hesse-Matrix} von $f$ in $x_0$. 4.1$\folgt H_f(x_0)$ ist symmetrisch. Aus 6.7 folgt:
+heißt die \begriff{Hesse-Matrix} von $f$ in $x_0$. 4.1$\folgt H_f(x_0)$ ist symmetrisch. Aus 6.7 folgt:
 $$f(x_0+h)=f(x_0)+\grad f(x_0)\cdot h + \frac{1}{2}Q_B(h)\text{ mit }B=H_f(x_0+\eta h)$$
 \end{beispiel}
 \begin{definition*}
@@ -956,9 +956,9 @@ $$f(x_0+h)=f(x_0)+\grad f(x_0)\cdot h + \frac{1}{2}Q_B(h)\text{ mit }B=H_f(x_0+\
 \index{Positivdefinitheit}
 \index{Indefinitheit}
 \index{Negativdefinitheit}
-$A$ hei"st $\textbf{positiv definit}$ (pd) & $:\equizu$ $Q_A(x)>0\ \forall x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\}$\\
-$A$ hei"st $\textbf{negativ definit}$ (nd) & $:\equizu$ $Q_A(x)<0\ \forall x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\}$\\
-$A$ hei"st $\textbf{indefinit}$ (id) & $:\equizu \exists u,v\in\MdR^n: Q_A(u)>0, Q_A(v)<0$
+$A$ heißt $\textbf{positiv definit}$ (pd) & $:\equizu$ $Q_A(x)>0\ \forall x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\}$\\
+$A$ heißt $\textbf{negativ definit}$ (nd) & $:\equizu$ $Q_A(x)<0\ \forall x\in\MdR^n\ \backslash\ \{0\}$\\
+$A$ heißt $\textbf{indefinit}$ (id) & $:\equizu \exists u,v\in\MdR^n: Q_A(u)>0, Q_A(v)<0$
 \end{tabular}
 \end{definition*}
 
@@ -1028,7 +1028,7 @@ In diesem Paragraphen sei $\emptyset\ne D \subseteq\MdR^n, f:D\to\MdR$ und $x_0\
 $f$ hat in $x_0$ ein \textbf{lokales Maximum} $:\equizu \exists \delta>0:\ f(x)\le f(x_0)\ \forall x\in D \cap U_\delta(x_0)$.\\
 $f$ hat in $x_0$ ein \textbf{lokales Minimum} $:\equizu \exists \delta>0:\ f(x)\ge f(x_0)\ \forall x\in D \cap U_\delta(x_0)$.\\
 \textbf{lokales Extremum} = lokales Maximum oder lokales Minimum
-\item Ist $D$ offen, $f$ in $x_0$ partiell differenzierbar und $\grad f(x_0)=0$, so hei"st $x_0$ ein stationärer Punkt.
+\item Ist $D$ offen, $f$ in $x_0$ partiell differenzierbar und $\grad f(x_0)=0$, so heißt $x_0$ ein stationärer Punkt.
 \end{liste}
 \end{definition*}
 
@@ -1540,9 +1540,9 @@ $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ sei ein Weg.
 \index{stückweise!stetige Differenzierbarkeit}\index{Differenzierbarkeit!stückweise stetige}
 \index{Glattheit}
 \index{stückweise!Glattheit}\index{Glattheit!stückweise}
-\item $\gamma$ hei"st \textbf{stückweise stetig differenzierbar} $:\equizu\exists z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z$ mit: $\gamma_{|_{[t_{k-1},t_k]}}$ sind stetig differenzierbar $(k=1,\ldots,m)\equizu\exists$ stetig differenzierbare Wege $\gamma_1,\ldots,\gamma_l: \gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$.
-\item $\gamma$ hei"st \textbf{glatt} $:\equizu \gamma$ ist stetig differenzierbar und $\|\gamma'(t)\|>0\ \forall t\in[a,b]$.
-\item $\gamma$ hei"st \textbf{stückweise glatt} $:\equizu\exists$ glatte Wege $\gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$
+\item $\gamma$ heißt \textbf{stückweise stetig differenzierbar} $:\equizu\exists z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z$ mit: $\gamma_{|_{[t_{k-1},t_k]}}$ sind stetig differenzierbar $(k=1,\ldots,m)\equizu\exists$ stetig differenzierbare Wege $\gamma_1,\ldots,\gamma_l: \gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$.
+\item $\gamma$ heißt \textbf{glatt} $:\equizu \gamma$ ist stetig differenzierbar und $\|\gamma'(t)\|>0\ \forall t\in[a,b]$.
+\item $\gamma$ heißt \textbf{stückweise glatt} $:\equizu\exists$ glatte Wege $\gamma=\gamma_1\oplus\cdots\oplus\gamma_l$
 \end{liste}
 \end{definition*}
 
@@ -1567,7 +1567,7 @@ $\gamma_1:[a,b]\to\MdR^n$ und $\gamma_2:[\alpha,\beta]\to\MdR^n$ seien Wege.
 
 \index{Äquivalenz}
 \index{Parameter-!Transformation}
-$\gamma_1$ und $\gamma_2$ hei"sen \textbf{äquivalent}, in Zeichen $\gamma_1\sim\gamma_2:\equizu\exists h:[a,b]\to[\alpha, \beta]$ stetig und streng wachsend, $h(a)=\alpha, h(b)=\beta$ und $\gamma_1(t)=\gamma_2(h(t))\ \forall t\in[a,b]$ (also $\gamma_1=\gamma_2\circ h)$. $h$ hei"st eine \textbf{Parametertransformation} (PTF). Analysis 1 $\folgt h([a,b])=[\alpha,\beta]\folgt \Gamma_{\gamma_1}=\Gamma_{\gamma_2}$.
+$\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{äquivalent}, in Zeichen $\gamma_1\sim\gamma_2:\equizu\exists h:[a,b]\to[\alpha, \beta]$ stetig und streng wachsend, $h(a)=\alpha, h(b)=\beta$ und $\gamma_1(t)=\gamma_2(h(t))\ \forall t\in[a,b]$ (also $\gamma_1=\gamma_2\circ h)$. $h$ heißt eine \textbf{Parametertransformation} (PTF). Analysis 1 $\folgt h([a,b])=[\alpha,\beta]\folgt \Gamma_{\gamma_1}=\Gamma_{\gamma_2}$.
 Es gilt: $\gamma_2=\gamma_1\circ h^{-1}\folgt \gamma_2\sim\gamma_1$. \glqq$\sim$\grqq\ ist eine Äquivalenzrelation.
 \end{definition*}
 
@@ -1585,7 +1585,7 @@ $\gamma_1:[a,b]\to\MdR^n$ und $\gamma_2:[\alpha,\beta]\to\MdR^n$ seien äquivale
 \end{satz}
 
 \begin{beweise}
-\item[(2)] \textbf{\color{red}In den gro"sen Übungen.}
+\item[(2)] \textbf{\color{red}In den großen Übungen.}
 \item[(1)] Es genügt zu zeigen: Aus $\gamma_2$ rektifizierbar folgt: $\gamma_1$ ist rektifizierbar und $L(\gamma_1)\le L(\gamma_2)$. Sei $Z=\{t_0,\ldots,t_m\}\in\Z\folgt\tilde{Z}:=\{h(t_0),\ldots, h(t_m)\}$ ist eine Zerlegung von $[\alpha,\beta]$.
 $$L(\gamma_1, Z)=\ds\sum_{j=1}^m\|\gamma_1(t_j)-\gamma_1(t_{j-1})\|=\ds\sum_{j=1}^m\|\gamma_2(h(t_j))-\gamma_2(h(t_{j-1}))\|=L(\gamma_2, \tilde{Z})\le L(\gamma_2)$$
 $\folgt \gamma_1$ ist rektifizierbar und $L(\gamma_1)\le L(\gamma_2)$.
@@ -1597,7 +1597,7 @@ Es sei $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ ein \emph{glatter} Weg. 12.5 $\folgt \gamma$ ist
 \begin{definition}
 $\tilde{\gamma}[0,L] \to \MdR^n$ durch $\tilde{\gamma}(\sigma) := \gamma(s^{-1}(\sigma)),$ also $\tilde{\gamma} = \gamma\circ s^{-1};\ \tilde{\gamma}$ ist ein Weg im $\MdR^n$ und $\tilde{\gamma} \sim \gamma;\ \Gamma_\gamma = \Gamma_{\tilde{\gamma}}.$
 
-12.7 $\folgt \tilde{\gamma}$ ist rb, $L(\tilde{\gamma})=L(\gamma)=L,\ \tilde{\gamma}$ ist stetig db. $\tilde{\gamma}$ hei"st Parameterdarstellung von $\Gamma_\gamma$ mit der Weglänge als Parameter. Warum?
+12.7 $\folgt \tilde{\gamma}$ ist rb, $L(\tilde{\gamma})=L(\gamma)=L,\ \tilde{\gamma}$ ist stetig db. $\tilde{\gamma}$ heißt Parameterdarstellung von $\Gamma_\gamma$ mit der Weglänge als Parameter. Warum?
 \end{definition}
 
 Darum: Sei $\tilde{s}$ die zu $\tilde{\gamma}$ gehörende Weglängenfunktion. $\forall \sigma\in[0,L]: \tilde{\gamma}(\sigma) = \gamma(s^{-1}(\sigma)).$ Sei $\sigma\in[0,L],\ t:= s^{-1}(\sigma) \in [a,b],\ s(t) = \sigma.$
@@ -1771,7 +1771,7 @@ $\gamma_j(t) := z_{j-1} + t(z_j - z_{j-1})$, $(t\in[0,1])$, ($j=1,\ldots,n$). Da
 
 \begin{definition*}
 \indexlabel{Weg-!unabhängig}
-$\int f(x)\cdot \text{d}x$ hei"st \textbf{in G wegunabhängig} (wu) $:\equizu$ für je zwei Punkte $x_0, y_0\in G$ gilt: für jeden stückweise stetig differenzierbaren Weg $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ mit $\Gamma_\gamma\subseteq G$, $\gamma(a)=x_0$ und $\gamma(b)=y_0$ hat das Integral $\ds\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x$ stets denselben Wert. In diesem Fall: $\ds\int_{x_0}^{y_0}f(x)\cdot\text{d}x:=\ds\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x$.
+$\int f(x)\cdot \text{d}x$ heißt \textbf{in G wegunabhängig} (wu) $:\equizu$ für je zwei Punkte $x_0, y_0\in G$ gilt: für jeden stückweise stetig differenzierbaren Weg $\gamma:[a,b]\to\MdR^n$ mit $\Gamma_\gamma\subseteq G$, $\gamma(a)=x_0$ und $\gamma(b)=y_0$ hat das Integral $\ds\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x$ stets denselben Wert. In diesem Fall: $\ds\int_{x_0}^{y_0}f(x)\cdot\text{d}x:=\ds\int_\gamma f(x)\cdot\text{d}x$.
 \end{definition*}
 
 \textbf{14.1 lautet dann}: besitzt f auf G die Stammfunktion $\varphi\folgt \ds\int f(x)\cdot\text{d}x$ ist in $G$ wegunabhängig und $\int_{x_0}^{y_0}=\varphi(y_0)-\varphi(x_0)$ (Verallgemeinerung von Analysis 1, 23.5).
@@ -1814,7 +1814,7 @@ $$\folgt \frac{\partial f_j}{\partial x_k}=\varphi_{x_jx_k}\gleichnach{4.7}\varp
 
 \begin{definition*}
 \index{Sternförmigkeit}
-Sei $\emptyset\ne M\subseteq\MdR^n$. $M$ hei"st \textbf{sternförmig} $:\equizu\exists x_0\in M: S[x_0,x]\subseteq M\ \forall x\in M$.\\
+Sei $\emptyset\ne M\subseteq\MdR^n$. $M$ heißt \textbf{sternförmig} $:\equizu\exists x_0\in M: S[x_0,x]\subseteq M\ \forall x\in M$.\\
 \textbf{Beachte:}
 \begin{liste}
 \item Ist $M$ konvex$\folgt M$ ist sternförmig
@@ -3210,7 +3210,7 @@ in $\mathbb{L}$ sind, also ist $\dim \mathbb{L} \ge n$.
 \begin{definition}
 \index{Differenzierbarkeit!einer $n \times n$-Matrix}
 Sei $B : I \to \MdR^{n \times n}, B(x) = \left( b_{jk}(x) \right)$ für alle $x\in I$.\\ 
-$B$ hei"st \textbf{differenzierbar} auf $I$, genau dann wenn $b_{jk} : I \to \MdR$
+$B$ heißt \textbf{differenzierbar} auf $I$, genau dann wenn $b_{jk} : I \to \MdR$
 auf $I$ differenzierbar sind ($j,k = 1,\ldots, n$).\\
 In diesem Fall ist 
 \[B'(x) := (b'_{jk}(x)) \quad (x\in I)\]
@@ -3221,13 +3221,13 @@ In diesem Fall ist
 \index{Fundamental-!Matrix}\index{Fundamental-!System}
 \begin{enumerate}
 \item Seien $y^{(1)}, ..., y^{(n)} \in \mathbb{L}$. $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ 
-hei"st ein \textbf{Lösungssystem} (LS) von (H). 
+heißt ein \textbf{Lösungssystem} (LS) von (H). 
 \[Y(x) := (y^{(1)}(x), ..., y^{(n)}(x))\]
-(j-te Spalte von $Y$  =  $y^{(j)}$) hei"st \textbf{Lösungsmatrix} (LM) von (H).
+(j-te Spalte von $Y$  =  $y^{(j)}$) heißt \textbf{Lösungsmatrix} (LM) von (H).
 \[W(x) := \det Y(x)\] 
-hei"st \textbf{Wronskideterminante}.
+heißt \textbf{Wronskideterminante}.
 \item Sei $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein Lösungssystem von (H). Sind 
-$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$, so hei"st 
+$y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ linear unabhängig in $\mathbb{L}$, so heißt 
 $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein \textbf{Fundamentalsystem} (FS) und 
 $Y = (y^{(1)}, ..., y^{(n)})$ eine \textbf{Fundamentalmatrix} (FM).
 \item Ist $y^{(1)}, ..., y^{(n)}$ ein FS von (H), so lautet die allgemeine Lösung von (H):