Stephans Lösung eingearbeitet

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -7,6 +7,103 @@ Die Jacobi-Matrix von $f$ lautet:
 Hierfür wurde in in der ersten Spalte nach $x$ abgeleitet und in der
 zweiten Spalte nach $y$.
 
+\subsection*{Lösungsvorschlag 1}
+Laut Skript ist eine Iteration gegeben durch:
+\begin{align}
+x_{k+1}&=x_{k}-f'(x_k)^{-1}\cdot f(x_k)
+\end{align}
+
+Zur praktischen Durchführung Lösen wir
+\[f'(x_0, y_0)\Delta x = -f(x_0,y_0)\]
+mit Hilfe der LR Zerlegung:
+
+\begin{align}
+%
+	f'(x_0,y_0)	&= L \cdot R \\
+	\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
+		3     & 1\\
+		\frac{1}{3} & 1
+	\end{pmatrix}
+	&=
+	\overbrace{\begin{pmatrix}
+		1      & 0\\
+		\frac{1}{9} & 1
+	\end{pmatrix}}^L \cdot 
+	\overbrace{\begin{pmatrix}
+		3 & 1\\
+		0      & \frac{8}{9}
+	\end{pmatrix}}^R\\
+%
+	L \cdot c	&= -f(x_0,y_0) \\
+	\Leftrightarrow
+	\begin{pmatrix}
+		1      & 0\\
+		\frac{1}{9} & 1
+	\end{pmatrix}
+	\cdot c
+	&=
+		\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		\frac{26}{27}
+	\end{pmatrix}\\
+	\Rightarrow
+	c &= 		\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		\frac{32}{27}
+	\end{pmatrix}\\
+%
+	R\cdot \Delta x &= c\\
+	\Leftrightarrow
+	\begin{pmatrix}
+		3 & 1\\
+		0      & \frac{8}{9}
+	\end{pmatrix}
+	\cdot \Delta x &=
+	\begin{pmatrix}
+		-2\\
+		\frac{32}{27}
+	\end{pmatrix}\\
+	\Rightarrow \Delta x &= 
+	\begin{pmatrix}
+		-\frac{10}{9}\\
+		\frac{4}{3}
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+
+Anschließend berechnen wir
+\begin{align}
+	\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		x_0\\
+		y_0
+	\end{pmatrix}+\Delta x \\
+	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		\frac{1}{3}\\
+		0
+	\end{pmatrix} +
+	\begin{pmatrix}
+		-\frac{10}{9}\\
+		\frac{4}{3}
+	\end{pmatrix} \\
+	\Leftrightarrow\begin{pmatrix}
+		x_1\\
+		y_1
+	\end{pmatrix} &= 
+	\begin{pmatrix}
+		-\frac{7}{9}\\
+		\frac{4}{3}
+	\end{pmatrix}
+\end{align}
+
+
+\subsection*{Lösungsvorschlag 2}
 Und jetzt die Berechnung %TODO: Was ist hiermit gemeint?
 
 \[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\] %TODO: Was ist hiermit gemeint?