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@@ -138,3 +138,143 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $
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$T_s S = \Set{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S \text{ für ein } \varepsilon > 0 \text{ mit } \gamma(0) = S \text{ und } \gamma'(0) = x}$
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\end{behauptung}
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\end{beweis}
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+
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 04.02.2014 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 17.4
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+ Sei $S=V(f)$ eine reguläre Fläche in $\mdr^3$, also
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+ $f:V \rightarrow \mdr$ eine $C^\infty$-Funktion, $V \subseteq \mdr^3$
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+ offen, $\grad(f)(x) \neq 0$ für alle $x \in S$.
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+
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+ Dann ist $T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ für jedes $s \in S$.
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+\end{bemerkung}
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+\begin{beweis}
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+ Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$
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+ eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$,
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+ sodass $\gamma'(0) = x$ gilt. Da $\gamma(t) \in S$ für alle
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+ $t \in [-\varepsilon, \varepsilon]$, ist $f \circ \gamma = 0$\\
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+ $\Rightarrow 0 = (f \circ \gamma)'(0) = \langle \grad(f)(\gamma(0)), \gamma'(0) \rangle$\\
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+ $\Rightarrow T_s S \subseteq \grad (f)(s)^\perp$\\
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+ $\xRightarrow{\dim = 2} T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{definition}%In Vorlesung: Def+Bem 17.5
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+ \begin{defenum}
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+ \item Ein \textbf{Normalenfeld}\xindex{Normalenfeld} auf der
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+ Fläche $S$ ist eine Abbildung $n: S \rightarrow S^2 \subseteq \mdr^3$
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+ mit $n(s) \in T_s S^\perp$ für jedes $s \in S$.
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+ \item $S$ heißt \textbf{orientierbar}\xindex{Fläche!orientierbare},
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+ wenn es ein stetiges Normalenfeld auf $S$ gibt.
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+ \end{defenum}
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+\end{definition}
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+
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+Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem
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+\textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden.
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+Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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+
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+\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]
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+ \begin{bemenum}
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+ \item Ein Normalenfeld auf $S$ ist genau dann stetig, wenn es
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+ glatt ist (also $C^\infty$).
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+ \item Zu jedem $s \in S$ gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$
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+ von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$
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+ von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$
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+ ein stetiges Normalenfeld existiert.
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+ \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen
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+ differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen
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+ $F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass
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+ für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$
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+ gilt:
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+ \[\det(\underbrace{D_s \overbrace{F_j \circ F_i^{-1}}^{V_i \rightarrow V_j}}_{\in \mdr^{3 \times 3}})\]
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+ \end{bemenum}
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{beweis}
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+ Wird hier nicht geführt.%TODO: Übung? Übungsblatt?
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ \begin{bspenum}
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+ \item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist stetiges Normalenfeld.\\
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+ $n_2 = - \id_{S^2}$ ist auch stetiges Normalenfeld.
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+ \item $S = \text{Möbiusband}$ (vgl. \cref{fig:moebius-strip})
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+ ist nicht orientierbar. Es existiert ein Normalenfeld,
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+ aber kein stetiges Normalenfeld.
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+ \end{bspenum}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband}
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+ \centering
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+ \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf}
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+ \caption{Möbiusband}
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+ \label{fig:moebius-strip}
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+\end{figure}
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+
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+\section{Gauß-Krümmung}
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+\begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1
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+ Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor
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+ in $s$, $x \in T_s (S)$, $\|x\| = 1$.
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+
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+ Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale
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+ Untervektorraum von $\mdr^3$.
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+
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+ Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass
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+ \[C := (s + E) \cap S \cap V\]
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+ das Bild einer durch Bogenlänge parametrisierten Kurve
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+ $\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow s$ enthält mit
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+ $\gamma(0) = s$ und $\gamma'(0) = x$.
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+\end{bemerkung}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \enquote{Satz über implizite Funktionen}, siehe z.~B.
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+ \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}{\path{github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}}
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{definition}\xindex{Normalenkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2
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+ In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$
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+ der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die
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+ \textbf{Normalenkrümmung}\footnotemark von $S$ in $s$ in Richtung
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+ $x = \gamma'(0)$.
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+
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+ Man scheibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappa_{\ts{Nor}}(s, x)$
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+\end{definition}
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+\footnotetext{Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.}
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+
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+\begin{beispiel}%In Vorlesung: Beispiel 18.3
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+ \begin{bspenum}
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+ \item $S = S^2 = V(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius~1,
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+ $n = \id$, $s=(0,0,1)$, $x=(1,0,0)$\\
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+ $\Rightarrow E = \mdr \cdot x + \mdr \cdot n(s)$ ($x,z\text{-Ebene}$)
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+
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+ $C = E \cap S$ ist Kreislinie\\
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+ $\kappa_{\ts{Nor}} (s, x) = \frac{1}{r} = 1$
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+ \item $S = V(X^2 + Z^2 - 1) \subseteq \mdr^3$ ist ein Zylinder (siehe \cref{fig:regular-zylinder}).
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+ $s = (1,0,0)$\\
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+ $x_1 = (0,1,0) \Rightarrow E_1 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_2$ ($x,y\text{-Ebene}$)\\
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+ $S \cap E_1 = V(X^2 + Y^2 - 1) \cap E$, Kreislinie in $E$\\
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+ $\Rightarrow \kappa_{\ts{Nor}}(s, x_1) = \pm 1$\\
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+ $x_2 = (0, 0, 1), E_2 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_3$ ($x,z\text{-Ebene}$)\\
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+ $V \cap E_2 \cap S = \Set{(1, 0, z) \in \mdr^3 | z \in \mdr}$ ist eine Gerade\\
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+ $\Rightarrow \kappa_{\ts{Nor}}(s, x_2) = 0$
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+ \item $S = V(X^2 - Y^2 - Z)$, $s = (0,0,0)$ (Hyperbolisches Paraboloid\xindex{Paraboloid!hyperbolisches}, siehe \cref{fig:hyperbolic-paraboloid})\\
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+ $x_1 = (1,0,0)$, $n(s) = (0,0,1)$\\
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+ $x_2 = (0, 1, 0)$\\
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+ $\kappa_{\ts{Nor}} (s, x_1) = 2$\\
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+ $\kappa_{\ts{Nor}} (s, x_2) = -2$
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+ \end{bspenum}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{figure}[ht]
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+ \centering
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+ \subfloat[$S = V(X^2 + Z^2 - 1)$]{
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+ \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/cylinder.tex}}
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+ \label{fig:regular-zylinder}
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+ }%
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+ \subfloat[$S = V(X^2 - Y^2 - Z)$]{
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+ \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolic-paraboloid.tex}}
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+ \label{fig:hyperbolic-paraboloid}
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+ }%
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+ \label{fig:regular-surfaces}
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+ \caption{Beispiele für reguläre Flächen}
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+\end{figure}
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Martin Thoma
