Digitalisieren der Vorlesung von 04.02.2014

documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex

@@ -9,6 +9,7 @@
     \acro{etc.}{et cetera}
     \acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
     \acro{Vor.}{Voraussetzung}
+    \acro{vgl.}{vergleiche}
     \acro{z. B.}{zum Beispiel}
     \acro{zhgd.}{zusammenhängend}
     \acro{z. z.}{zu zeigen}

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -59,3 +59,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |02.02.2014 | 17:00 - 18:00 | TikZ'en von Bildern
 |03.02.2014 | 14:15 - 15:00 | Textsetzung
 |03.02.2014 | 18:35 - 19:10 | Verbesserungen
+|04.02.2014 | 09:50 - 11:40 | Digitalisieren der Vorlesung von 04.02.2014

documents/GeoTopo/Bildquellen.tex

@@ -25,4 +25,6 @@ modifiziert.
     \item[Abb. \ref{fig:ueberlappung-r1-spirale-s1}] Überlagerung von $S^1$ mit $\mdr$: \href{http://tex.stackexchange.com/users/22467/alex}{Alex}, \href{http://tex.stackexchange.com/a/149706/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/149706/5645}}
     \item[Abb. \ref{fig:bem.14.9}] Sphärisches Dreieck: \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:DemonDeLuxe}{Dominique Toussaint},\\
         \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}{\path{commons.wikimedia.org/wiki/File:Spherical_triangle_3d_opti.png}}
+    \item[Abb. \ref{fig:moebius-strip}] Möbiusband: \href{http://tex.stackexchange.com/users/2552/jake}{Jake},
+        \href{http://tex.stackexchange.com/a/118573/5645}{\path{tex.stackexchange.com/a/118573/5645}}
 \end{itemize}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -952,7 +952,7 @@ $\qed$
     \begin{figure}[htp]
         \centering
         \subfloat[Trivialer Knoten]{
-            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png} 
+            \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/blue-unknot.png}
             \label{fig:knot-unknot}
         }%
         \subfloat[Kleeblattknoten]{

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -138,3 +138,143 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $
         $T_s S = \Set{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S \text{ für ein } \varepsilon > 0 \text{ mit } \gamma(0) = S \text{ und } \gamma'(0) = x}$
     \end{behauptung}
 \end{beweis}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Mitschrieb vom 04.02.2014                                         %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\begin{bemerkung}%In Vorlesung: Bemerkung 17.4
+    Sei $S=V(f)$ eine reguläre Fläche in $\mdr^3$, also 
+    $f:V \rightarrow \mdr$ eine $C^\infty$-Funktion, $V \subseteq \mdr^3$
+    offen, $\grad(f)(x) \neq 0$ für alle $x \in S$.
+
+    Dann ist $T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$ für jedes $s \in S$.
+\end{bemerkung}
+\begin{beweis}
+    Sei $x \in T_s S, \gamma:[-\varepsilon, +\varepsilon] \rightarrow S$
+    eine parametrisierte Kurve mit $\varepsilon > 0$ und $\gamma'(0) = s$,
+    sodass $\gamma'(0) = x$ gilt. Da $\gamma(t) \in S$ für alle
+    $t \in [-\varepsilon, \varepsilon]$, ist $f \circ \gamma = 0$\\
+    $\Rightarrow 0 = (f \circ \gamma)'(0) = \langle \grad(f)(\gamma(0)), \gamma'(0) \rangle$\\
+    $\Rightarrow T_s S \subseteq \grad (f)(s)^\perp$\\
+    $\xRightarrow{\dim = 2} T_s S = (\grad(f)(s))^\perp$
+\end{beweis}
+
+\begin{definition}%In Vorlesung: Def+Bem 17.5
+    \begin{defenum}
+        \item Ein \textbf{Normalenfeld}\xindex{Normalenfeld} auf der
+              Fläche $S$ ist eine Abbildung $n: S \rightarrow S^2 \subseteq \mdr^3$
+              mit $n(s) \in T_s S^\perp$ für jedes $s \in S$.
+        \item $S$ heißt \textbf{orientierbar}\xindex{Fläche!orientierbare},
+              wenn es ein stetiges Normalenfeld auf $S$ gibt.
+    \end{defenum}
+\end{definition}
+
+Manchmal wird zwischen einem \textit{Normalenfeld} und einem
+\textit{Einheitsnormalenfeld}\xindex{Einheitsnormalenfeld} unterschieden.
+Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
+
+\begin{bemerkung}[Eigenschaften von Normalenfeldern]
+    \begin{bemenum}
+        \item Ein Normalenfeld auf $S$ ist genau dann stetig, wenn es
+              glatt ist (also $C^\infty$).
+        \item Zu jedem $s \in S$ gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$
+              von $s$ und eine lokale Parametrisierung $F: U \rightarrow V$
+              von $S$ um $s$, sodass auf $F(U) = V \cap S$
+              ein stetiges Normalenfeld existiert.
+        \item $S$ ist genau dann orientierbar, wenn es einen 
+              differenzierbaren Atlas von $S$ aus lokalen Parametrisierungen
+              $F_i: U_i \rightarrow V_i,\;i \in I$ gibt, sodass
+              für alle $i, j \in F$ und alle $s \in V_i \cap V_j \cap S$
+              gilt:
+              \[\det(\underbrace{D_s \overbrace{F_j \circ F_i^{-1}}^{V_i \rightarrow V_j}}_{\in \mdr^{3 \times 3}})\]
+    \end{bemenum}
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beweis}
+    Wird hier nicht geführt.%TODO: Übung? Übungsblatt?
+\end{beweis}
+
+\begin{beispiel}
+    \begin{bspenum}
+        \item $S = S^2$, $n_1 = \id_{S^2}$ ist stetiges Normalenfeld.\\
+              $n_2 = - \id_{S^2}$ ist auch stetiges Normalenfeld.
+        \item $S = \text{Möbiusband}$ (vgl. \cref{fig:moebius-strip})
+              ist nicht orientierbar. Es existiert ein Normalenfeld,
+              aber kein stetiges Normalenfeld.
+    \end{bspenum}
+\end{beispiel}
+
+\begin{figure}[htp]\xindex{Möbiusband}
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.5\linewidth, keepaspectratio]{figures/moebius-strip.pdf} 
+    \caption{Möbiusband}
+    \label{fig:moebius-strip}
+\end{figure}
+
+\section{Gauß-Krümmung}
+\begin{bemerkung}\label{bem:18.1}%In Vorlesung: Bemerkung 18.1
+    Sei $S$ eine reguläre Fläche, $s \in S$, $n(s)$ ist ein Normalenvektor
+    in $s$, $x \in T_s (S)$, $\|x\| = 1$.
+
+    Sei $E$ der von $x$ und $n(s)$ aufgespannte 2-dimensionale 
+    Untervektorraum von $\mdr^3$.
+
+    Dann gibt es eine Umgebung $V \subseteq \mdr^3$ von $s$, sodass
+    \[C := (s + E) \cap S \cap V\]
+    das Bild einer durch Bogenlänge parametrisierten Kurve
+    $\gamma:[-\varepsilon, \varepsilon] \rightarrow s$ enthält mit
+    $\gamma(0) = s$ und $\gamma'(0) = x$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beweis}
+    \enquote{Satz über implizite Funktionen}, siehe z.~B. 
+    \href{https://github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}{\path{github.com/MartinThoma/LaTeX-examples/tree/master/documents/Analysis\%20II}}
+\end{beweis}
+
+\begin{definition}\xindex{Normalenkrümmung}%In Vorlesung: Definition 18.2
+    In der Situation aus \cref{bem:18.1} heißt die Krümmung $\kappa_\gamma(0)$
+    der Kurve $\gamma$ in der Ebene $(s+ E)$ im Punkt $s$ die
+    \textbf{Normalenkrümmung}\footnotemark von $S$ in $s$ in Richtung
+    $x = \gamma'(0)$.
+
+    Man scheibt: $\kappa_\gamma(0) := \kappa_{\ts{Nor}}(s, x)$
+\end{definition}
+\footnotetext{Die Krümmung ist nur bis auf das Vorzeichen bestimmt.}
+
+\begin{beispiel}%In Vorlesung: Beispiel 18.3
+    \begin{bspenum}
+        \item $S = S^2 = V(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$ ist die Kugel um den Ursprung mit Radius~1,
+              $n = \id$, $s=(0,0,1)$, $x=(1,0,0)$\\
+              $\Rightarrow E = \mdr \cdot x + \mdr \cdot n(s)$ ($x,z\text{-Ebene}$)
+
+              $C = E \cap S$ ist Kreislinie\\
+              $\kappa_{\ts{Nor}} (s, x) = \frac{1}{r} = 1$
+        \item $S = V(X^2 + Z^2 - 1) \subseteq \mdr^3$ ist ein Zylinder (siehe \cref{fig:regular-zylinder}).
+              $s = (1,0,0)$\\
+              $x_1 = (0,1,0) \Rightarrow E_1 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_2$ ($x,y\text{-Ebene}$)\\
+              $S \cap E_1 = V(X^2 + Y^2 - 1) \cap E$, Kreislinie in $E$\\
+              $\Rightarrow \kappa_{\ts{Nor}}(s, x_1) = \pm 1$\\
+              $x_2 = (0, 0, 1), E_2 = \mdr \cdot e_1 + \mdr \cdot e_3$ ($x,z\text{-Ebene}$)\\
+              $V \cap E_2 \cap S = \Set{(1, 0, z) \in \mdr^3 | z \in \mdr}$ ist eine Gerade\\
+              $\Rightarrow \kappa_{\ts{Nor}}(s, x_2) = 0$
+        \item $S = V(X^2 - Y^2 - Z)$, $s = (0,0,0)$ (Hyperbolisches Paraboloid\xindex{Paraboloid!hyperbolisches}, siehe \cref{fig:hyperbolic-paraboloid})\\
+              $x_1 = (1,0,0)$, $n(s) = (0,0,1)$\\
+              $x_2 = (0, 1, 0)$\\
+              $\kappa_{\ts{Nor}} (s, x_1) = 2$\\
+              $\kappa_{\ts{Nor}} (s, x_2) = -2$
+    \end{bspenum}
+\end{beispiel}
+
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+    \subfloat[$S = V(X^2 + Z^2 - 1)$]{
+        \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/cylinder.tex}}
+        \label{fig:regular-zylinder}
+    }%
+    \subfloat[$S = V(X^2 - Y^2 - Z)$]{
+        \resizebox{0.4\linewidth}{!}{\input{figures/hyperbolic-paraboloid.tex}}
+        \label{fig:hyperbolic-paraboloid}
+    }%
+    \label{fig:regular-surfaces}
+    \caption{Beispiele für reguläre Flächen}
+\end{figure}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -28,7 +28,7 @@ $\triangle ABC\;\;\;$ Dreieck mit Eckpunkten $A, B, C$\\
 \section*{Gruppen}
 $\Homoo(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
 $\Iso(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
-$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
+$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe\footnote{von \textit{\textbf{G}eneral \textbf{L}inear Group}}\\
 $\SL_n(K)\;\;\;$ Spezielle lineare Gruppe\\
 $\PSL_n(K)\;\;\;$ Projektive lineare Gruppe\\
 $\Perm(X)\;\;\;$ Permutationsgruppe\\
@@ -51,6 +51,7 @@ $| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
 $S^n\;\;\;$ Sphäre\\
 $T^n\;\;\;$ Torus\\
 
+$f \circ g\;\;\;$ Verkettung von $f$ und $g$\\
 $[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse eines Weges $\gamma$\\
 $\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
 $f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
@@ -81,7 +82,8 @@ $\pi_1(X,x)\;\;\;$ Fundamentalgruppe im topologischen Raum $X$ um $x \in X$\\
 $\Fix(f)\;\;\;$ Menge der Fixpunkte der Abbildung $f$\\
 $\|\cdot\|_2\;\;\;$ 2-Norm; Euklidische Norm\\
 $\kappa\;\;\;$ Krümmung\\
-$V(f)\;\;\;$ Vanishing set
+$\kappa_{\ts{Nor}}$
+$V(f)\;\;\;$ Nullstellenmenge von $f$\footnote{von \textit{\textbf{V}anishing Set}}
 
 \index{Faser|see{Urbild}}
 \index{kongruent|see{isometrisch}}

documents/GeoTopo/figures/cylinder.tex

@@ -0,0 +1,33 @@
+\pgfplotsset{
+    colormap={whitered}{
+        color(0cm)=(white);
+        color(1cm)=(orange!75!red)
+    }
+}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+    colormap name=whitered,
+    width=15cm,
+    view={340}{25},
+    enlargelimits=false,
+    grid=major,
+    domain=0:5,
+    y domain=0:2*pi,
+    xmin=-1.5, xmax=1.5,
+    ymin=-1.5, ymax=1.5,  zmin=0.0,
+    samples=30, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
+                % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
+    xlabel=$x$,
+    ylabel=$y$,
+    zlabel={$z$},
+    %colorbar,
+    colorbar style={
+        at={(-0.1,0)},
+        anchor=south west,
+        height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
+        title={$f(x,y)$}
+    }
+    ]
+    \addplot3 [surf,z buffer=sort] ({cos(deg(y))},{sin(deg(y))},{x});
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/hyperbolic-paraboloid.tex

@@ -0,0 +1,31 @@
+\pgfplotsset{
+    colormap={whitered}{
+        color(0cm)=(white);
+        color(1cm)=(orange!75!red)
+    }
+}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+    colormap name=whitered,
+    width=15cm,
+    view={340}{25},
+    enlargelimits=false,
+    grid=major,
+    domain=-2:2,
+    y domain=-2:2,
+    samples=40, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
+                % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
+    xlabel=$x$,
+    ylabel=$y$,
+    zlabel={$z$},
+    colorbar,
+    colorbar style={
+        at={(-0.1,0)},
+        anchor=south west,
+        height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
+        title={$f(x,y)$}
+    }
+    ]
+    \addplot3[surf,draw=black] {x^2-y^2};
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}

tikz/cylinder/Makefile

@@ -0,0 +1,31 @@
+SOURCE  = cylinder
+DELAY   = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH   = 512
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg

tikz/cylinder/Readme.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Compiled example
+----------------
+![Example](cylinder.png)

tikz/cylinder/cylinder.tex

@@ -0,0 +1,39 @@
+\documentclass[border=2pt]{standalone}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.9} %It is possible to remove this line, but you will get a warning
+
+\begin{document}
+\pgfplotsset{
+    colormap={whitered}{
+        color(0cm)=(white);
+        color(1cm)=(orange!75!red)
+    }
+}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+    colormap name=whitered,
+    width=15cm,
+    view={340}{25},
+    enlargelimits=false,
+    grid=major,
+    domain=0:5,
+    y domain=0:2*pi,
+    xmin=-1.5, xmax=1.5,
+    ymin=-1.5, ymax=1.5,  zmin=0.0,
+    samples=30, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
+                % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
+    xlabel=$x$,
+    ylabel=$y$,
+    zlabel={$z$},
+    %colorbar,
+    colorbar style={
+        at={(-0.1,0)},
+        anchor=south west,
+        height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
+        title={$f(x,y)$}
+    }
+    ]
+    \addplot3 [surf,z buffer=sort] ({cos(deg(y))},{sin(deg(y))},{x});
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+\end{document}

tikz/hyperbolic-paraboloid/Makefile

@@ -0,0 +1,31 @@
+SOURCE  = hyperbolic-paraboloid
+DELAY   = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH   = 512
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg

tikz/hyperbolic-paraboloid/Readme.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Compiled example
+----------------
+![Example](hyperbolic-paraboloid.png)

tikz/hyperbolic-paraboloid/hyperbolic-paraboloid.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\documentclass[border=2pt]{standalone}
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.9} %It is possible to remove this line, but you will get a warning
+
+\begin{document}
+\pgfplotsset{
+    colormap={whitered}{
+        color(0cm)=(white);
+        color(1cm)=(orange!75!red)
+    }
+}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+    colormap name=whitered,
+    width=15cm,
+    view={340}{25},
+    enlargelimits=false,
+    grid=major,
+    domain=-2:2,
+    y domain=-2:2,
+    samples=40, %57 : TeX capacity exceeded, sorry [main memory size=3000000].
+                % see also http://tex.stackexchange.com/a/7954/5645
+    xlabel=$x$,
+    ylabel=$y$,
+    zlabel={$z$},
+    colorbar,
+    colorbar style={
+        at={(-0.1,0)},
+        anchor=south west,
+        height=0.25*\pgfkeysvalueof{/pgfplots/parent axis height},
+        title={$f(x,y)$}
+    }
+    ]
+    \addplot3[surf,draw=black] {x^2-y^2};
+    \end{axis}
+\end{tikzpicture}
+\end{document}

tikz/moebius-strip/Makefile

@@ -0,0 +1,31 @@
+SOURCE  = moebius-strip
+DELAY   = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH   = 512
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg

tikz/moebius-strip/Readme.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+Compiled example
+----------------
+![Example](moebius-strip.png)
+
+Credits
+-------
+This image was created by [Jake](http://tex.stackexchange.com/users/2552/jake) ([source](http://tex.stackexchange.com/a/118573/5645))

tikz/moebius-strip/moebius-strip.tex

@@ -0,0 +1,37 @@
+\documentclass{standalone}
+%This image was created by [Jake](http://tex.stackexchange.com/users/2552/jake) ([source](http://tex.stackexchange.com/a/118573/5645))
+\usepackage{pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.9}
+\begin{document}
+
+\begin{tikzpicture}
+\begin{axis}[
+    hide axis,
+    view={40}{40}
+]
+\addplot3 [
+    surf, shader=faceted interp,
+    point meta=x,
+    colormap/greenyellow,
+    samples=80,
+    samples y=5,
+    z buffer=sort,
+    domain=0:360,
+    y domain=-0.5:0.5
+] (
+    {(1+0.5*y*cos(x/2)))*cos(x)},
+    {(1+0.5*y*cos(x/2)))*sin(x)},
+    {0.5*y*sin(x/2)});
+
+\addplot3 [
+    samples=50,
+    domain=-145:180, % The domain needs to be adjusted manually, depending on the camera angle, unfortunately
+    samples y=0,
+    thick
+] (
+    {cos(x)},
+    {sin(x)},
+    {0});
+\end{axis}
+\end{tikzpicture}
+\end{document}