beweis hinzugefügt

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Koenigsberger-Brueckenproblem.tex

@@ -92,10 +92,26 @@ $\Rightarrow$ Grad($e$) $\equiv 0 \mod 2$
 Wenn in einem zusammenhängenden Graphen $G$ jede Ecke geraden Grad hat, dann 
 ist $G$ eulersch.
 \end{block}
+\pause
+\underline{Beweis:} Induktion über Anzahl $m$ der Kanten\\
+\pause
+\underline{I.A.:} $m=0$: $G$ ist eulersch. \cmark\\
+\pause
+$m=1$: Es gibt keinen Graphen in dem jede Ecke geraden Grad hat. \cmark\\
+\pause
+$m=2$: Nur ein zus. Graph möglich. Dieser ist eulersch. \cmark\\ % Anzeichnen
+\pause
+
+\underline{I.V.:} Sei $m \in \mathbb{N}_0$ beliebig, aber fest und 
+es gelte: Für 
+alle zusammenhängenden Graphen $G$ mit höchstens $m$ Kanten, bei 
+denen jede Ecke geraden Grad hat, ist $G$ eulersch.
+
+\pause
+
+\underline{I.S.:} Jede Ecke von $G$ hat min. Grad 2.
 
-Beweis per Induktion
 
-TODO
 \end{frame}
 
 \begin{frame}{Offene eulersche Linie}

presentations/Diskrete-Mathematik/LaTeX/Strukturen.tex

@@ -107,6 +107,29 @@ Manchmal wird das auch "`einfacher Kreis"' genannt.
 \end{gallery}
 \end{frame}
 
+\begin{frame}{Aufgabe 5}
+\begin{block}{Zeigen Sie: }
+Wenn in einem Graphen $G=(E,K)$ jede Ecke min. Grad 2 hat, dann 
+besitzt $G$ einen Kreis einer Länge $>0$.
+\end{block}
+
+\pause
+
+Sei $e_0 \in E$ eine beliebige Ecke aus $G$. Da $e_0$ min. Grad 2 hat,
+gibt es eine Kante $k_0$.
+
+\pause
+
+Diese verbindet $e_0$ mit einer weiteren Ecke $e_1$, die wiederum
+min. Grad 2 hat usw.
+
+\pause
+
+$G$ hat endlich viele Ecken. Man erreicht also irgendwann eine
+Ecke $e_j$, die bereits als $e_i$ durchlaufen wurde. Die Ecken
+$e_i, \dots, e_j = e_i$ bilden also eine Kreis $\blacksquare$
+\end{frame}
+
 \begin{frame}{Zusammenhängender Graph}
 \begin{block}{Zusammenhängender Graph}
 Sei $G = (E, K)$ ein Graph.