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@@ -439,11 +439,11 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\end{figure}
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\begin{definition}\xindex{Ueberlagerung@""Uberlagerung}\label{def:12.1}%Definition 12.1 der Vorlesung
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Es seien $X, Y$ zusammenhängende topologische Räume und
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- $p: Y \rightarrow X$ eine stetige, surjektive Abbildung.
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+ $p: Y \rightarrow X$ eine stetige Abbildung.
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$p$ heißt \textbf{Überlagerung}, wenn jedes $x \in X$ eine offene
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- Umgebung $U = U_X$ besitzt, sodass $p^{-1}(U)$ disjunkte Vereinigung
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- von offenen Teilmengen $V_j$ von $Y$ ist $(j \in I_X)$ und
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+ Umgebung $U = U(x) \subseteq X$ besitzt, sodass $p^{-1}(U)$ disjunkte Vereinigung
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+ von offenen Teilmengen $V_j \subseteq Y$ ist $(j \in I)$ und
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$p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist.
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\end{definition}
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@@ -471,6 +471,27 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\end{figure}
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\end{beispiel}
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+\begin{korollar}
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+ Überlagerungen sind surjektiv.
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+\end{korollar}
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+
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+\begin{beweis}durch Widerspruch\\
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+ Sei $p$ eine Überlagerung.
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+
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+ \underline{Annahme}: $p$ ist nicht surjektiv
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+
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+ Dann $\exists x \in X$ mit $U=U(x): p^{-1}(U) = \emptyset$.
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+ Da $p$ eine Überlagerung ist, existiert eine offene Umgebung $U$,
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+ sodass $p^{-1}(U)$ eine disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen
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+ $V_j \subseteq Y$ ist und $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein
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+ Homöomorphismus ist.
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+
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+ Da jedes $x$ eine solche Umgebung $U$ besitzt, ist $U \neq \emptyset$.
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+ Da $p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ ein Homöomorphismus ist, kann also
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+ auch $V_j$ nicht leer sein. $\Rightarrow$ Widerspruch zur Annahme.
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+ $\qed$
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+\end{beweis}
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+
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\begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}
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Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine
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Abbildung.
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@@ -523,8 +544,8 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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$V_{j_1}$ bzw. $V_{j_2}$ die Komponente von $p^{-1}(U)$, die
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$y_1$ bzw. $y_2$ enthält.
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- Dann ist $V_{j_1} \neq V_{j_2}$, weil beide \todo{Was steht hier?}{} Element $p^{-1}(x)$
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- enthält.
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+ Dann ist $V_{j_1} \neq V_{j_2}$, weil beide ein Element aus $p^{-1}(x)$
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+ enthalten.
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$\Rightarrow V_{j_1} \cap V_{j_2} = \emptyset$ nach Voraussetzung.
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@@ -540,11 +561,12 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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\underline{1. Fall}: $y \in p^{-1}(x)$
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- Finde $v_j$, sodass kein \dots \todo{...}
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+ Finde $v_j$, sodass kein \dots
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+ \todo[inline]{...}
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\underline{2. Fall}: $y \notin p^{-1}(x)$
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- \todo{...}
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+ \todo[inline]{...}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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