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@@ -0,0 +1,97 @@
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+\documentclass[a4paper]{article}
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+\usepackage[english]{babel}
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+\usepackage[utf8x]{inputenc}
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+\usepackage{amsmath}
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+\usepackage{graphicx}
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+\usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
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+\usepackage{stmaryrd}
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+\usepackage{parskip} % damit keine "unsinnigen" Einrückungen passieren
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+\title{Musterlösungen für Numerik}
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+\author{Felix Benz-Baldas}
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+\begin{document}
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+\maketitle
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+\section{Klausur 2}
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+\subsection{Aufgabe 1}
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+\subsubsection*{(a)}
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+
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+$
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+L =
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+\begin{pmatrix}
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+2 & 0 & 0 \\
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+1 & 2 & 0 \\
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+4 & 2 & 3 \\
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+\end{pmatrix}
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+$
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+
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+
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+\subsubsection*{(b)}
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+gesucht: det(A)
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+
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+sei P * L = L * R, die gewohnte LR-Zerlegung
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+
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+dann gilt:
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+
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+$det(A) = det(L) * det(R) / det(P)$
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+
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+det(L) = 1, da alle Diagonalelemente 1 sind und es sich um eine untere Dreiecksmatrix handelt.
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+
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+$ det(R) = r_{11} * ... * r_{nn} $ da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt.
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+
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+
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+$ det(P) = $ 1 oder -1
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+
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+Das Verfahren ist also:
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+\begin{enumerate}
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+\item Berechne Restmatrix R mit dem Gaußverfahren.
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+\item \label{manker} Multipliziere die Diagonalelemente von R
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+\item falls die Anzahl an Zeilenvertauschungen ungerade ist negiere das Produkt aus \ref{manker} (eine Zeilenvertauschung verändert lediglich das Vorzeichen und P ist durch Zeilenvertauschungen aus der Einheitsmatrix hervorgegangen)
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+\end{enumerate}
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+
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+\subsection{Aufgabe 2}
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+\subsubsection*{(a)}
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+Formel: $y_i = (b_i - \sum_{j=1}^{i-1} y_j \cdot l_{ij} ) \div l_{ii} $
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+
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+Anmerkung: $l_{ii}$ kann nicht $0$ sein, da L dann nicht mehr invertierbar wäre.
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+
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+Algorithmus:
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+\begin{itemize}
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+\item for i = 1 to i = n do
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+\begin{itemize}
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+\item sum = 0
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+\item for j = 1 to j = i - 1 do
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+\begin{itemize}
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+\item sum = sum + $y_i \cdot l_{ij}$
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+\end{itemize}
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+\item od
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+\item $y_i = (b_i - sum) \div l_{ii}$
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+\end{itemize}
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+\item od
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+\end{itemize}
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+
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+\subsubsection*{(b)}
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+\begin{itemize}
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+\item function $ x = LoeseLGS(A,b)$
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+\begin{itemize}
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+\item $(P,L,R) = LRZer(A)$
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+\item $b'=P \cdot b $
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+\item $c = VorSub(L,b') $
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+\item $x=RueckSub(R,c)$
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+\end{itemize}
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+\item end
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+
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+\end{itemize}
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+
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|
+
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+\subsubsection*{(c)}
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+Aufwand:
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+\begin{itemize}
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+\item Vorwärts-/Rückwärtssubstitution: jeweils $\frac{1}{2} \cdot n^2$
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+\item LR-Zerlegung: $\frac{1}{3}n^3$ (den Beweis dazu braucht man nicht wissen)
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+\item gesamt: $\frac{1}{3}n^3+n^2$
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+\end{itemize}
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+
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+\end{document}
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Martin Thoma