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@@ -15,7 +15,7 @@
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%\end{figure}
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\section{Topologische Räume}
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-\begin{definition} \xindex{Topologischer Raum} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
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+\begin{definition} \xindex{Raum!topologischer} \xindex{offen} \xindex{abgeschlossen}
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Ein \textbf{topologischer Raum} ist ein Paar $(X, \fT)$ bestehend
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aus einer Menge $X$ und $\fT \subseteq \powerset{X}$ mit
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folgenden Eigenschaften
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@@ -111,8 +111,75 @@ Es gibt auch Mengen, die weder abgeschlossen, noch offen sind wie z.~B. $[0,1)$.
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% Mitschrieb vom 24.10.2013 %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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-\begin{definition}
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+\begin{definition} \index{Produkttopologie}
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Seien $X_1, X_2$ topologische Räume.\\
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$U \subseteq X_1 \times X_2$ sei offen, wenn es zu jedem $x = (x_1, x_2) \in U$
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Umgebungen $U_i$ um $x_i$ mit $i=1,2$ gibt, sodass $U_1 \times U_2 \subseteq U$
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+ gilt.
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+ \[\fT = \Set{U \subseteq X_1 \times X_2 | U \text{ offen}}\]
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+ ist eine Topologie auf $X_1 \times X_2$. Sie heißt \textbf{Produkttopologie}.
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+ \[\fB = \Set{U_1 \times U_2 | U_i \text{ offen in } X_i, i=1,2}\]
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+ ist eine Basis von $\fT$.
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\end{definition}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ \begin{enumerate}[1)]
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+ \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit euklidischer Topologie.
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+ \item $X_1 = X_2 = \mdr$ mit Zariski-Topologie.
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+ $\fT$ Produkttopologie auf $\mdr^2$: $U_1 \times U_2$
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+ $\Rightarrow$ Die Produkttopologie auf $\mdr \times \mdr = \mdr^2$
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+ stimmt mit der euklidischen Topologie auf $\mdr^2$ überein.\\
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+ \todo{Bild einfügen}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{definition} \index{Quotiententopologie}
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+ Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
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+ $\overline{X} = X / \sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
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+ $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$,
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+ $U \subseteq \overline{X}$ heißt offen, wenn $\pi^{-1} (U) \subseteq X$
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+ offen ist. Dadurch wird eine Topologie auf $\overline{X}$ definiert.
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+ Diese Topologie heißt \textbf{Quotiententopologie}.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ $X = \mdr, a \sim b \Leftrightarrow a-b \in \mdz$
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+
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+ \input{figures/number-ray-circle-topology}
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+
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+ $0 \sim 1$, d.~h. $[0] = [1]$
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+ \begin{align*}
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+ (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) \Leftrightarrow &x_1 - x_2 \in \mdz\\
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+ &y_1 - y_2 \in \mdz
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+ \end{align*}
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+ $X / \sim$ ist ein Torus.
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+\end{beispiel}
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+
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+\begin{beispiel}
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+ \begin{align*}
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+ X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
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+ &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
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+ \end{align*}
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+ \[\overline{X} = \mathbb{P}^n(\mdr)\]
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+ Also für $n=1$:
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+
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+ \input{figures/ursprungsgeraden}
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+\end{beispiel}
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+
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+\todo[inline]{TODO: Es fehlt noch ca. eine Seite}
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+
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+\section{Metrische Räume}
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+\begin{definition} \index{Metrik}
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+ Sei $X$ eine Menge. Eine Abbildung $d:X\times X \rightarrow \mdr$
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+ heißt \textbf{Metrik}, wenn gilt:
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+ \begin{enumerate}[(i)]
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+ \item $\forall x, y \in X: d(x,y) \geq 0$
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+ \item $d(x,y) = 0 \gdw x = y$
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+ \item $d(x,y) = d(y,x)$
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+ \item $d(x,z) \leq d(x,y) + d(x+z)$
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+ \end{enumerate}
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+
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+ Das Paar $(X, d)$ heißt ein \textbf{metrischer Raum} \index{Raum!metrischer}
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+\end{definition}
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+
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+\todo[inline]{TODO: Es fehlten noch ca. 2 Seiten}
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Martin Thoma