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@@ -213,26 +213,42 @@ schneiden sich.
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\end{beweis}
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\begin{korollar}\label{kor:14.6}%In Vorlesung: Bemerkung 14.6
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- Seien $P, Q \in X$, $P \neq Q$, $A, B \in X \setminus PQ$
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- in der selben Halbebene bzgl. $PQ$ mit $d(A, P) = d(B, P)$
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+ Seien $P, Q \in X$ mit $P \neq Q$ und $A, B \in X \setminus PQ$
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+ in der selben Halbebene bzgl. $PQ$. Außerdem sei $d(A,P)=d(B,P)$
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und $d(A, Q) = d(B, Q)$.
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Dann ist $A = B$.
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\end{korollar}
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+
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+\begin{figure}[htp]
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+ \centering
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+ \input{figures/geometry-2.tex}
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+ \caption{\cref{kor:14.6}: Die beiden roten und die beiden blauen Linien sind gleich lang. Intuitiv weiß man, dass daraus folgt, dass $A = B$ gilt.}
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+ \label{fig:bild-2}
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+\end{figure}
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+
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\begin{beweis} durch Widerspruch\\
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\underline{Annahme}: $A \neq B$
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Dann ist $B \notin (PA \cup QA)$ wegen \ref{axiom:2}.
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+ \begin{figure}[ht]
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+ \centering
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+ \subfloat[1. Fall]{
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+ \input{figures/geometry-3.tex}
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+ \label{fig:bild-3}
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+ }%
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+ \subfloat[2. Fall]{
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+ \input{figures/geometry-4.tex}
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+ \label{fig:bild-4}
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+ }%
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+ \label{Formen}
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+ \caption{Fallunterscheidung aus \cref{kor:14.6}}
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+ \end{figure}
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+
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\underline{1. Fall}: $Q$ und $B$ liegen in derselben Halbebene bzgl. $PA$
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$\overset{\cref{kor:beh3}}{\Rightarrow} PB^+ \cap \overline{AQ} \neq \emptyset$.
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- \begin{figure}[htp]
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- \centering
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- \input{figures/geometry-3.tex}
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- \caption{1. Fall}
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- \label{fig:bild-3}
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- \end{figure}
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Sei $C$ der Schnittpunkt vom $PB$ und $AQ$.
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@@ -254,16 +270,9 @@ schneiden sich.
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\underline{2. Fall}: $Q$ und $B$ liegen auf verscheiden Halbebenen bzgl. $PA$.
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- \begin{figure}[htp]
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- \centering
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- \input{figures/geometry-4.tex}
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- \caption{2. Fall}
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- \label{fig:bild-4}
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- \end{figure}
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-
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Dann liegen $A$ und $Q$ in derselben Halbebene bzgl. $PB$.
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- Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1
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+ Tausche $A$ und $B \Rightarrow$ Fall 1 $\qed$
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\end{beweis}
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\begin{proposition}%In Vorlesung: Satz 14.4
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@@ -322,7 +331,7 @@ schneiden sich.
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nach Beh.~2' $\Rightarrow \varphi(A) = A$.
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\end{beweis}
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- \begin{beweis}[von Beh. 1 mit \cref{kor:14.6}]
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+ \begin{beweis}[von Beh. 1]
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Sei $R \in X \setminus PQ$. Von den drei Punkten
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$\varphi_1(R), \varphi_2(R), \varphi_3(R)$ liegen zwei
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in der selben Halbebene bzgl. $P'Q' = \varphi_i(PQ)$.
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@@ -339,16 +348,7 @@ schneiden sich.
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&= d(Q', \varphi_2(R))
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\end{align}
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und analog $d(Q', \varphi_1(R)) = d(Q', \varphi_2(R))$
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-
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- \begin{figure}[htp]
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- \centering
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- \input{figures/geometry-2.tex}
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- \caption{Die beiden roten und die beiden blauen Linien sind gleich lang. Intuitiv weiß man, dass daraus folgt, dass $\varphi_1(R) = \varphi_2(R)$ gilt.}
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- \label{fig:bild-2}
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- \end{figure}
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\end{beweis}
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- \Cref{fig:bild-2} beschreibt die Situation in \cref{kor:14.6}:
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\end{beweis}
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\end{beweis}
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