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@@ -24,10 +24,11 @@
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d.~h. $\gamma_1(0) = \gamma_2(0) = a$, $\gamma_1(1) = \gamma_2(1) = b$
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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- \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop}
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- ($\gamma_1 \sim \gamma_2$), wenn es eine stetige Abbildung
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+ \item $\gamma_1$ und $\gamma_2$ heißen \textbf{homotop}\xindex{homotop},
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|
+ wenn es eine stetige Abbildung
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\[H(t,0) = \gamma_1(t), H(t,1) = \gamma_2(t) \;\;\; \forall t \in [0,1] =: I \]
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und $H(0,s) = a$ und $H(1,s) = b$ für alle $s \in I$ gibt.
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+ Dann schreibt man: $\gamma_1 \sim \gamma_2$
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$H$ heißt \textbf{Homotopie}\xindex{Homotopie} zwischen
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$\gamma_1$ und $\gamma_2$.
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@@ -99,5 +100,198 @@
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\end{enumerate}
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\end{beispiel}
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+% Mitschrieb vom 05.12.2013 %
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+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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+\begin{korollar}\label{kor:homotope-wege}
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+ Sei $X$ ein topologischer Raum, $\gamma: I \rightarrow X$ ein
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+ Weg und $\varphi: I \rightarrow I$ stetig mit $\varphi(0) = 0$,
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+ $\varphi(1) = 1$. Dann sind $\gamma$ und $\gamma \circ \varphi$
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+ homotop.
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+\end{korollar}
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|
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+
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+\begin{beweis}
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+ Sei $H (t,s) = \gamma ((1-s) t + s \cdot \varphi(t))$.
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|
|
+
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+ $H$ ist stetig, $H(t,0) = \gamma(t)\;\;\; H(t,1) = \gamma ( \varphi(t))$,
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|
|
+ $H(0,s) = \gamma(0),\;\;\; H(1,s) = \gamma(1-s+s) = \gamma(1)$\\
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|
+ $\Rightarrow H$ ist Homotopie.
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+\end{beweis}
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|
+
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+\begin{definition}\xindex{Weg!zusammengesetzter}
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+ Seien $\gamma_1, \gamma_2$ Wege in $X$ mit $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$.
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+ Dann ist
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+ \[\gamma (t) = \begin{cases}
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+ \gamma_1(2t) &\text{falls} 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
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|
|
+ \gamma_2(2t-1) &\text{falls} \frac{1}{2} \leq t \leq 1
|
|
|
+ \end{cases}\]
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+ ein Weg in $X$. Er heißt \textbf{zusammengesetzter Weg} und man
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+ schreibt $\gamma = \gamma_1 * \gamma_2$.
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+\end{definition}
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|
|
+
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+\begin{korollar}\label{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
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+ Das zusammensetzen von Wegen ist nur bis auf
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+ Homotopie assoziativ, d.~h.:
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+ \begin{align*}
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+ \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\neq (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3\\
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|
|
+ \gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3) &\sim (\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3
|
|
|
+ \end{align*}
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|
+ mit $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ und $\gamma_2(1) = \gamma_3(0)$.
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|
|
+\end{korollar}
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|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
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|
|
+ \begin{figure}[ht]
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|
|
+ \centering
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|
|
+ \subfloat[$\gamma_1 * (\gamma_2 * \gamma_3)$]{
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|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-a}
|
|
|
+ }%
|
|
|
+ \subfloat[$(\gamma_1 * \gamma_2) * \gamma_3$]{
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:assotiativitaet-von-wegen-b}
|
|
|
+ }%
|
|
|
+ \label{fig:assoziativitaet-von-wegen}
|
|
|
+ \caption{Das Zusammensetzen von Wegen ist nicht assoziativ}
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|
+ \end{figure}
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|
|
+
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|
|
+ Das Zusammensetzen von Wegen ist wegen Korollar~\ref{kor:homotope-wege}
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|
+ bis auf Homotopie assoziativ, da
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|
+
|
|
|
+ \[\gamma(t) = \begin{cases}
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|
|
+ \frac{1}{2} t &\text{falls } 0 \leq t < \frac{1}{2}\\
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|
|
+ t - \frac{1}{4} &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t < \frac{3}{4}\\
|
|
|
+ 2t - 1 &\text{falls } \frac{3}{4} \leq t \leq 1
|
|
|
+ \end{cases}\]
|
|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{korollar}\label{kor:bemerkung-10-6}
|
|
|
+ Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b,c \in X$, $\gamma_1, \gamma_1'$
|
|
|
+ Wege von $a$ nach $b$, $\gamma_2, \gamma_2'$ Wege von $b$ nach $c$.
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|
|
+
|
|
|
+ Sind $\gamma_1 \sim \gamma_1'$ und $\gamma_2 \sim \gamma_2'$, so
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|
|
+ ist $\gamma_1 * \gamma_2 \sim \gamma_1 ' * \gamma_2'$.
|
|
|
+\end{korollar}
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|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}
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|
|
+ \centering
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:bemerkung-10-6}}.
|
|
|
+ \label{fig:situation-bemerkung-10-6}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
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|
|
+ Sei $H_i$ eine Homotopie zwischen $\gamma_i$ und $\gamma_i'$,
|
|
|
+ $i=1,2$.
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|
|
+
|
|
|
+ Dann ist
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|
|
+ \[H(t,s) := \begin{cases}
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|
|
+ H_1(2t, s) &\text{falls } 0 \leq t \leq \frac{1}{2}\;\;\;\forall s \in I\\
|
|
|
+ H_2(2t-1,s) &\text{falls } \frac{1}{2} \leq t \leq 1
|
|
|
+ \end{cases}\]
|
|
|
+
|
|
|
+ Homotopie zwischen $\gamma_1 * \gamma_2$ und $\gamma_1' * \gamma_2 '$ (!)
|
|
|
+ \todo[inline]{Hier fehlt noch was}
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|
|
+\end{beweis}
|
|
|
+
|
|
|
+\section{Fundamentalgruppe}
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|
|
+Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Homotopieklasse}.
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|
|
+
|
|
|
+\begin{definition}
|
|
|
+ Sei $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$. Sei außerdem
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|
|
+ \[\pi_1(X,x) := \Set{[\gamma] | \gamma \text{ ist Weg in } X \text{ mit } \gamma(0) = \gamma(1) = x}\]
|
|
|
+
|
|
|
+ Durch $[\gamma_1] * [\gamma_2] : = [\gamma_1 * \gamma_2]$ wird
|
|
|
+ $\pi_1(X,x)$ zu einer Gruppe. Diese Gruppe heißt \textbf{Fundamentalgruppe}\xindex{Fundamentalgruppe}
|
|
|
+ in $X$ im Basispunkt $x$.
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|
|
+\end{definition}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{bemerkung}
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|
|
+ Im $\mdr^2$ gibt es nur eine Homotopieklasse.
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|
|
+\end{bemerkung}
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|
|
+
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|
|
+\begin{beweis}{Fundamentalgruppe ist eine Gruppe}
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|
+ \begin{enumerate}[label=\alph*)]
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|
|
+ \item Abgeschlossenheit folgt aus \todo{?}
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|
|
+ \item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
|
|
|
+ \item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
|
|
|
+
|
|
|
+ $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{figure}
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|
|
+ \centering
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|
|
+ \input{figures/todo.tex}
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|
|
+ \caption{Bis auf Parametrisierung sind $\gamma_0 * \gamma$ und $\gamma$ das selbe}.
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|
|
+ \label{fig:weg-zusammengesetzt-mit-neutralem-weg}
|
|
|
+ \end{figure}
|
|
|
+ \item Inverses Element $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$,
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|
|
+ denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
|
|
|
+ \end{enumerate}
|
|
|
+\end{beweis}
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|
|
+
|
|
|
+\begin{beispiel}
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|
+ \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
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|
|
+ \item $S^1 = \Set{z \in \mdc | |z| = 1} = \Set{(\cos \varphi, \sin \varphi) \in \mdr^2 | 0 \leq \varphi \leq 2 \pi}$
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|
|
+
|
|
|
+ $\pi_1 (S^1, 1) = \Set{[\gamma^k] | k \in \mdz} \cong \mdz$
|
|
|
+
|
|
|
+ $[\gamma^k] \mapsto k$
|
|
|
+ \item $\pi_1 (\mdr^2, 0) = \pi_1 (\mdr^2, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^2$
|
|
|
+ \item $\pi_1 (\mdr^n, x) = \Set{e}$ für jedes $x \in \mdr^n$
|
|
|
+ \item $G \subseteq \mdr^n$ \todo{hier fehlt was}heißt bzgl. $x \in G$,
|
|
|
+ wenn für jedes $y \in G$ auch die Strecke $[x, y] \subseteq G$
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|
|
+ ist.
|
|
|
+
|
|
|
+ Für jedes sternförmige $G \subseteq \mdr^n$ ist
|
|
|
+ $\pi_1(G,x) = \Set{e}$
|
|
|
+
|
|
|
+
|
|
|
+ \begin{figure}[ht]
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \subfloat[TODO]{
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:wege-zueinander-zusammenziehen}
|
|
|
+ }\hspace{1em}%
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|
|
+ \subfloat[Sternförmiges Gebiet]{
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \label{fig:sternfoermiges-gebiet}
|
|
|
+ }
|
|
|
+ \label{fig:Gebiete}
|
|
|
+ \caption{TODO}
|
|
|
+ \end{figure}
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|
|
+ \item $\pi_1(S^2, x_0) = \Set{e}$, da im $\mdr^2$ alle Wege
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|
+ homotop zu $\Set{e}$ sind. Mithilfe der stereographischen
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|
|
+ Projektion kann von $S^2$ auf den $\mdr^2$ abgebildet
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|
|
+ werden.
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|
|
+
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|
|
+ Dieses Argument funktioniert nicht mehr bei flächendeckenden
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|
|
+ Wegen!
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|
|
+ \end{enumerate}
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|
|
+\end{beispiel}
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|
|
+
|
|
|
+\begin{korollar}\label{kor:gruppenisomorphismus-wege}
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|
|
+ Sei $X$ ein topologischer Raum, $a,b \in X$, $\delta: I \rightarrow X$
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|
+ ein Weg von $a$ nach $b$.
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|
+
|
|
|
+ Dann ist die Abbildung
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+ \[\alpha: \pi_1 (X, a) \rightarrow \pi_1(X,b)\;\;\;[\gamma] \mapsto [\overline{\delta} * \gamma * \delta]\]
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|
|
+ ein Gruppenisomorphismus.
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|
|
+\end{korollar}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{figure}
|
|
|
+ \centering
|
|
|
+ \input{figures/todo.tex}
|
|
|
+ \caption{Situation aus Korollar~\ref{kor:gruppenisomorphismus-wege}}.
|
|
|
+ \label{fig:situation-gruppenisomorphismus-wege}
|
|
|
+\end{figure}
|
|
|
+
|
|
|
+\begin{beweis}
|
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|
+ \begin{align*}
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|
|
+ \alpha([\gamma_1] * [\gamma_2]) &= [\overline{\delta} * (\gamma_1 \gamma_2) * \delta]\\
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|
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+ &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta * \overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]
|
|
|
+ &= [\overline{\delta} * \gamma_1 * \delta] * [\overline{\delta} * \gamma_2 * \delta]\\
|
|
|
+ &= \alpha([\gamma_1]) * \alpha([\gamma_2])
|
|
|
+ \end{align*}
|
|
|
+\end{beweis}
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|
|
+
|
|
|
% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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|
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\input{Kapitel3-UB}
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Martin Thoma