Peters Änderungsvorschläge eingepflegt

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe1.tex

@@ -13,19 +13,24 @@
 
 \textbf{Lösung:} 
 
-\[P = 
-\begin{pmatrix}
-    0 & 1 & 0 \\
-    1 & 0 & 0  \\
-    0 & 0 & 1
-\end{pmatrix}\]
-
-durch scharfes hinsehen.
-
-Nun $L, R$ berechnen:
-
-\begin{align}
-	&\begin{gmatrix}[p]
+\begin{align*}
+	&
+	&
+    A^{(0)} &= \begin{gmatrix}[p]
+		3 & 15 & 13 \\
+		6 & 6  & 6  \\
+		2 & 8  & 19
+	 \rowops
+	 \swap{0}{1}
+	\end{gmatrix}
+	&\\
+    P^{(1)} &= \begin{pmatrix}
+		0 & 1 & 0\\
+		1 & 0 & 0\\
+     	0 & 0 & 1
+	\end{pmatrix},
+	&
+    A^{(1)} &= \begin{gmatrix}[p]
 		6 & 6  & 6  \\
 		3 & 15 & 13 \\
 		2 & 8  & 19
@@ -33,128 +38,48 @@ Nun $L, R$ berechnen:
 	 \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{0}{1}
 	 \add[\cdot (-\frac{1}{3})]{0}{2}
 	\end{gmatrix}
-	\\
-  = \begin{pmatrix}
-		          1 & 0 & 0 \\
-	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
-	   -\frac{1}{3} & 0 & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-	&\begin{gmatrix}[p]
+	&\\
+	L^{(2)} &= \begin{pmatrix}
+		1 & 0 & 0\\
+		-\frac{1}{2} & 1 & 0\\
+     	-\frac{1}{3} & 0 & 1
+	\end{pmatrix},
+	&
+    A^{(2)} &= \begin{gmatrix}[p]
 		6 & 6  & 6  \\
 		0 & 12 & 10 \\
 		0 & 6  & 17
 	 \rowops
 	 \add[\cdot (-\frac{1}{2})]{1}{2}
 	\end{gmatrix}
-	\\
-  = \begin{pmatrix}
-		          1 & 0 & 0 \\
-	              0 & 1 & 0  \\
-	              0 & -\frac{1}{2} & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-    \begin{pmatrix}
-		          1 & 0 & 0 \\
-	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
-	   -\frac{1}{3} & 0 & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-	&\begin{gmatrix}[p]
+	&\\
+	L^{(3)} &= \begin{pmatrix}
+		1 & 0 & 0\\
+		0 & 1 & 0\\
+     	0 & -\frac{1}{2} & 1
+	\end{pmatrix},
+	&
+    A^{(3)} &= \begin{gmatrix}[p]
 		6 & 6  & 6  \\
 		0 & 12 & 10 \\
 		0 & 0  & 12
-	 \colops
-	 \add[\cdot (-1)]{0}{1}
-	 \add[\cdot (-1)]{0}{2}
 	\end{gmatrix}
-	\\
-  = \begin{pmatrix}
-		          1 & 0 & 0 \\
-	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
-	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-	&\begin{gmatrix}[p]
-		6 & 0  & 0  \\
-		0 & 12 & 10 \\
-		0 & 0  & 12
-	 \colops
-	 \add[\cdot (-\frac{10}{12})]{1}{2}
-	\end{gmatrix}
-	\cdot
-	\begin{pmatrix}
-		          1 & -1 & -1 \\
-	              0 &  1 &  0  \\
-	              0 &  0 &  1
-	\end{pmatrix}
-	\\
-  = \begin{pmatrix}
-		          1 & 0 & 0 \\
-	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
-	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-	&\begin{gmatrix}[p]
-		6 & 0  & 0 \\
-		0 & 12 & 0 \\
-		0 & 0  & 12
-	 \colops
-	  	\mult{0}{\cdot \frac{1}{6}}
-	  	\mult{1}{\cdot \frac{1}{12}}
-	  	\mult{2}{\cdot \frac{1}{12}}
-	\end{gmatrix}
-	\cdot
-	\begin{pmatrix}
-		          1 & -1 & -1 \\
-	              0 &  1 &  0 \\
-	              0 &  0 &  1
-	\end{pmatrix}
-	\cdot
-	\begin{pmatrix}
-		          1 &  0 &  0 \\
-	              0 &  1 &  -\frac{10}{12} \\
-	              0 &  0 &  1
-	\end{pmatrix}
-	\\
-  = \begin{pmatrix}
-		          1 & 0 & 0 \\
-	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
-	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
-	\end{pmatrix} \cdot
-	&\begin{gmatrix}[p]
-		1 & 0 & 0 \\
-		0 & 1 & 0 \\
-		0 & 0 & 1
-	\end{gmatrix}
-	\cdot
-	\begin{pmatrix}
-		          1 & -1 & -\frac{1}{6} \\
-	              0 &  1 & -\frac{5}{6} \\
-	              0 &  0 &  1
-	\end{pmatrix}
-	\cdot
-	\begin{pmatrix}
-	    \frac{1}{6} &  0 & 0 \\
-	              0 &  \frac{1}{12} & 0 \\
-	              0 &  0 & \frac{1}{12}
+\end{align*}
+
+Es gilt:
+
+\begin{align}
+	L^{(3)} \cdot L^{(2)} \cdot \underbrace{P^{(1)}}_{=: P} \cdot A^{0} &= \underbrace{A^{(3)}}_{=: R}\\
+	\Leftrightarrow P A &= (L^{(3)} \cdot L^{(2)})^{-1} \cdot R \\
+	\Rightarrow L &= (L^{(3)} \cdot L^{(2)})^{-1}\\
+	&= \begin{pmatrix}
+		1 & 0 & 0\\
+		\frac{1}{2} & 1 & 0\\
+		\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1
 	\end{pmatrix}
-	\\
-  = \underbrace{\begin{pmatrix}
-		          1 & 0 & 0 \\
-	   -\frac{1}{2} & 1 & 0  \\
-	   -\frac{1}{12} & - \frac{1}{2} & 1
-	\end{pmatrix}}_L \cdot
-	&\begin{gmatrix}[p]
-		1 & 0 & 0 \\
-		0 & 1 & 0 \\
-		0 & 0 & 1
-	\end{gmatrix}
-	\cdot \underbrace{\frac{1}{72}
-	\begin{pmatrix}
-		          12 & -6 & -1 \\
-	               0 &  6 & -5 \\
-	               0 &  0 &  6
-	\end{pmatrix}}_R
 \end{align}
 
-ACHTUNG: Ich habe mich irgendwo verrechnet!
-Siehe \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B-1%2F2%2C1%2C0%7D%2C%7B-1%2F12%2C-1%2F2%2C1%7D%7D*%7B%7B12%2C-6%2C-1%7D%2C%7B0%2C6%2C-5%7D%2C%7B0%2C0%2C6%7D%7D}{WolframAlpha}
+Nun gilt: $P A = L R = A^{(1)}$ (Kontrolle mit \href{http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B1%2C0%2C0%7D%2C%7B0.5%2C1%2C0%7D%2C%7B1%2F3%2C0.5%2C1%7D%7D*%7B%7B6%2C6%2C6%7D%2C%7B0%2C12%2C10%7D%2C%7B0%2C0%2C12%7D%7D}{Wolfram|Alpha})
 
 \subsection*{Teilaufgabe b}
 
@@ -182,7 +107,7 @@ Falls $A$ symmetrisch ist, gilt:
 	& \Leftrightarrow \text{es gibt eine Cholesky-Zerlegung $A=GG^T$ mit $G$ ist reguläre untere Dreiecksmatrix}\\
 \end{align*}
 
-Mit dem Hauptminor-Kriterium gilt:
+\subsubsection*{Lösung 1: Hauptminor-Kriterium}
 
 \begin{align}
 	\det(A_1) &= 9 > 0\\
@@ -193,3 +118,15 @@ Mit dem Hauptminor-Kriterium gilt:
 		\end{vmatrix} = 9 - 16 < 0\\
 	&\Rightarrow \text{$A$ ist nicht positiv definit}
 \end{align}
+
+\subsubsection*{Lösung 2: Cholesky-Zerlegung}
+\begin{align}
+	l_{11} &= \sqrt{a_{11}} = 3\\
+	l_{21} &= \frac{a_{21}}{l_{11}} = \frac{4}{3}\\
+	l_{31} &= \frac{a_{31}}{l_{11}} = 4\\
+	l_{22} &= \sqrt{a_{21} - {l_{21}}^2} = \frac{2 \sqrt{5}}{3}\\
+	\dots
+\end{align}
+
+ACHTUNG: Noch nicht fertig! Irgendwo muss was negatives unter einer
+Wurzel kommen!

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe2.tex

@@ -7,43 +7,35 @@ wobei $L$ eine invertierbare, untere Dreiecksmatrix ist.
 
 Geben Sie die Formel zur Berechnung von $y_i$ an.
 
-\textbf{Lösung:} TODO! %TODO!
+\textbf{Lösung:} 
+
+\[y_i = \frac{b_i - \sum_{k=i}^{i-1} l_{ik} \cdot y_k}{l_{ii}}\]
+
+\subsection*{Teilaufgabe b}
+\[Ax = b ? PAx = Pb ? LRx = Pb \]
+
+Pseudocode:
 
    \begin{algorithm}[H]
         \begin{algorithmic}
-        \Require $p \in \mathbb{P}, a \in \mathbb{Z}, p \geq 3$
-		\Procedure{CalculateLegendre}{$a$, $p$}
-            \If{$a \geq p$ or $a < 0$}\Comment{rule (III)}
-				\State \Return $\Call{CalculateLegendre}{a \mod p, p}$ \Comment{now: $a \in [0, \dots, p-1]$}
-			\ElsIf{$a == 0$ or $a == 1$}
-				\State \Return $a$ \Comment{now: $a \in [2, \dots, p-1]$}
-			\ElsIf{$a == 2$} \Comment{rule (VII)}
-				\If{$p \equiv \pm 1 \mod 8$}
-					\State \Return 1
-				\Else
-					\State \Return -1
-				\EndIf	\Comment{now: $a \in [3, \dots, p-1]$}
-			\ElsIf{$a == p-1$} \Comment{rule (VI)}
-				\If{$p \equiv 1 \mod 4$}
-					\State \Return 1
-				\Else
-					\State \Return -1
-				\EndIf \Comment{now: $a \in [3, \dots, p-2]$}
-			\ElsIf{!$\Call{isPrime}{a}$} \Comment{rule (II)}
-				\State $p_1, p_2, \dots, p_n \gets \Call{Factorize}{a}$
-				\State \Return $\prod_{i=1}^n \Call{CalculateLegendre}{p_i, p}$ 
-			\Else \Comment{now: $a \in \mathbb{P}, \sqrt{p-2} \geq a \geq 3$}
-				\If{$\frac{p-1}{2} \equiv 0 \mod 2$ or $\frac{a-1}{2} \equiv 0 \mod 2$}
-					\State \Return $\Call{CalculateLegendre}{p, a}$
-				\Else
-					\State \Return $(-1) \cdot \Call{CalculateLegendre}{p, a}$
-				\EndIf
-			\EndIf
+        \Require Matrix $A$, Vektor $b$
+		\Procedure{CalculateLegendre}{$A$, $b$}
+        	\State $P, L, R \gets \Call{LRZerlegung}{A}$
+			\State $b^* \gets Pb$
+			\State $c \gets \Call{VorwärtsSubstitution}{L, b^*}$
+			\State $x \gets \Call{RückwärtsSubstitution}{R, c}$
+			\State \Return $x$
 		\EndProcedure
         \end{algorithmic}
-    \caption{Calculate Legendre symbol}
-    \label{alg:calculateLegendreSymbol}
+    \caption{Calculate TODO}
+    \label{alg:TODO}
     \end{algorithm}
 
-\subsection*{Teilaufgabe b}
 \subsection*{Teilaufgabe c}
+Der Gesamtaufwand ist:
+\begin{itemize}
+	\item LR-Zerlegung, $\frac{1}{3}n^3 - \frac{1}{3} n^2$
+	\item Vektormultiplikation, $2n$
+	\item Vorwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
+	\item Rückwärtssubstitution, $\frac{1}{2} n^2$
+\end{itemize}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe3.tex

@@ -1 +1,20 @@
 \section*{Aufgabe 3}
+\[f' (x,y) = \begin{pmatrix}
+	3     & \cos y\\
+	3 x^2 & e^y
+\end{pmatrix}\]
+
+Und jetzt die Berechnung
+
+\[f'(x, y) \cdot (x_0, y_0) = f(x,y)\]
+
+LR-Zerlegung für $f'(x, y)$:
+
+\begin{align}
+	L &= \begin{pmatrix}1 &0 \\ \frac{1}{9} & 1\end{pmatrix}\\
+	R &= \begin{pmatrix}3 & \cos y \\ 0 & e^y - x^2 \cos y\end{pmatrix}\\
+	P &= I_2\\
+-f ( \frac{-1}{3}, 0) &= \begin{pmatrix} 2\\ -\frac{1}{27}\end{pmatrix}\\
+c &= \begin{pmatrix} 2\\ \frac{7}{27} \end{pmatrix}\\
+(x_1, y_1) &= \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{7}{27}\end{pmatrix}
+\end{align}

documents/Numerik/Klausur1/Aufgabe5.tex

@@ -1 +1,7 @@
 \section*{Aufgabe 5}
+\subsection*{Teilaufgabe a}
+Die Ordnung $n$ einer Quadraturformel gibt an, dass diese Polynome
+bis zum Grad $\leq n - 1$ exakt löst.
+
+\subsection*{Teilaufgabe b}
+\subsection*{Teilaufgabe c}

tikz/hidden-markov-model-abc-2/Makefile

@@ -0,0 +1,35 @@
+SOURCE = hidden-markov-model-abc-2
+DELAY = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH = 512
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	make
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	rsvg-convert -a -w $(WIDTH) -f svg $(SOURCE).svg -o $(SOURCE)2.svg
+	inkscape $(SOURCE)2.svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	rm $(SOURCE)2.svg

tikz/hidden-markov-model-abc-2/Readme.md

@@ -0,0 +1,3 @@
+Compiled example
+----------------
+![Example](hidden-markov-model-abc-2.png)

tikz/hidden-markov-model-abc-2/hidden-markov-model-abc-2.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[varwidth=true, border=2pt]{standalone}
+\usepackage{units}
+\usepackage{ifthen}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{calc} 
+
+\begin{document}
+\tikzstyle{vertex}=[draw,black,fill=blue,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt]
+\tikzstyle{edge}=[very thick]
+\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
+    \node (x)[vertex,fill=gray!10,align=left,label=below:$x$] at (0,0) {$A~\nicefrac{6}{10}$\\$B~\nicefrac{2}{10}$\\$C~\nicefrac{2}{10}$};
+    \node (y)[vertex,fill=gray!10,align=left,label=below:$y$] at (1,0) {$A~\nicefrac{1}{10}$\\$B~\nicefrac{1}{10}$\\$C~\nicefrac{8}{10}$};
+    \node (z)[vertex,fill=gray!10,align=left,label=below:$z$] at (2,0) {$A~\nicefrac{5}{10}$\\$B~\nicefrac{2}{10}$\\$C~\nicefrac{3}{10}$};
+
+    \path[thick,->] (x)    edge                          node [anchor=center,above,sloped] {$\nicefrac{2}{10}$} (y);
+    \path[thick,->] (y)    edge                          node [anchor=center,above,sloped] {$\nicefrac{8}{10}$} (z);
+    \path[thick,->] (x)    edge[loop above, looseness=5] node [anchor=center,above,sloped] {$\nicefrac{8}{10}$} (x);
+    \path[thick,->] (y)    edge[loop above, looseness=5] node [anchor=center,above,sloped] {$\nicefrac{2}{10}$} (y);
+    \path[thick,->] (z)    edge[loop above, looseness=5] node [anchor=center,above,sloped] {$1$} (z);
+\end{tikzpicture}
+\end{document}