misc

documents/GeoTopo/Bildquellen.tex

@@ -7,6 +7,9 @@ Teilweise wurden die im folgenden aufgelisteten Bilder noch leicht
 modifiziert.
 
 \begin{itemize}
+    \item[Abb. \ref{fig:s2}] $S^2$: Tom Bombadil, \href{http://tex.stackexchange.com/a/42865/5645}{tex.stackexchange.com/a/42865/5645}
+    \item[Abb. \ref{fig:cube}] Würfel: Jan Hlavacek, \href{http://tex.stackexchange.com/a/12069/5645}{tex.stackexchange.com/a/12069/5645}
+    \item[Abb. \ref{fig:torus}] $T^2$: Jake, \href{http://tex.stackexchange.com/a/70979/5645}{tex.stackexchange.com/a/70979/5645}
     \item[Abb. \ref{fig:stereographic-projection}] Stereographische Projektion: \href{http://texample.net/tikz/examples/map-projections/}{texample.net/tikz/examples/map-projections}
     \item[Abb. \ref{fig:Knoten}] Knoten von Jim.belk aus der \enquote{\href{https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Blue_knots}{Blue knots}}-Serie:
         \begin{itemize}

documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

@@ -38,6 +38,6 @@
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item Ist $\text{GL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) \neq 0}$ kompakt?
         \item Ist $\text{SL}_n(\mdr) = \Set{A \in \mdr^{n \times n} | \det(A) = 1}$ kompakt?
-        \item Ist $\mdp(\mdr)$ kompakt?
+        \item Ist $\praum(\mdr)$ kompakt?
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -178,10 +178,10 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 
 \begin{beispiel}
     \begin{align*}
-        X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0}, x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
+        X= \mdr^{n-1} \setminus \Set{0},\;\;\; x \sim y &\gdw \exists \lambda \in \mdr^\times \text{ mit } y = \lambda x\\
             &\gdw x \text{ und } y \text{ liegen auf der gleichen Ursprungsgerade}
     \end{align*}
-    \[\overline{X} = \mdp^n(\mdr)\]
+    \[\overline{X} = \praum^n(\mdr)\]
     Also für $n=1$:\nopagebreak\\
     \input{figures/ursprungsgeraden}
 \end{beispiel}
@@ -919,7 +919,9 @@ $\qed$
 \end{figure}
 
 \begin{beweis}
-    ist technisch mühsam und wird daher hier nicht geführt.\todo{Literatur}
+    ist technisch mühsam und wird daher hier nicht geführt. Er kann
+    in \enquote{Algebraische Topologie: Eine Einführung} von R.~Stöcker
+    und H.~Zieschang auf S. 301f (ISBN 978-3519122265) nachgelesen werden.
 
     Idee: Ersetze Weg $C$ durch Polygonzug.
 \end{beweis}

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -21,7 +21,7 @@
 
 \begin{bemerkung}
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
-        \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$\todo{Wann ist das wichtig? Ist die Hilbert-Kurve ein Beispiel?}
+        \item Es gibt surjektive, stetige Abbildungen $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$
         \item Für $n \neq m$ sind $\mdr^n$ und $\mdr^m$ nicht homöomorph.
               Zum Beweis benutzt man den \enquote{Satz von der Gebietstreue} (Brouwer):
 
@@ -43,12 +43,12 @@
         \item $\mdc^n$ ist eine $2n$-dimensionale Mannigfaltigkeit
               mit einem Atlas aus einer Karte:
               \[(z_1, \dots, z_n) \mapsto (\operatorname{Re} z_1, \operatorname{Im}z_1, \dots, \operatorname{Re}z_n, \operatorname{Im}z_n)\]
-        \item $\mdp^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\mdp^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
+        \item $\praum^n(\mdr) = (\mdr^{n+1} \setminus \Set{0})/_\sim = S^n /_\sim$ und $\praum^n(\mdc)$ sind Mannigfaltigkeiten \todo{besser aufschreiben}
               der Dimension $n$ bzw. $2n$.
 
-              $\mdp^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$
+              $\praum^n(\mdr) = \bigcup_{i=0}^n U_i,$
               \begin{align*}
-U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n\\
+U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \praum^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n\\
                 (x_0 : \dots : x_n) &\mapsto \left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \frac{x_i}{x_i}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right )\\
                 (y_1 : \dots : y_{i-1} : 1 : y_i : \dots : y_n) &\mapsfrom (y_1, \dots, y_n)
               \end{align*}
@@ -79,7 +79,12 @@ U_i = \Set{(x_0: \dots : x_n) \in \mdp^n(\mdr) | x_i \neq 0} &\rightarrow \mdr^n
               Es gibt keine Umgebung von $0$ in $[0,1]$, die homöomorph
               zu einem offenem Intervall ist.
         \item $V_1 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x \cdot y = 0}$ ist
-              keine Mannigfaltigkeit. \todo{Warum genau?}
+              keine Mannigfaltigkeit. 
+
+              Das Problem ist $(0,0)$. Wenn man diesen Punkt entfernt,
+              zerfällt der Raum in 4 Zusammenhangskomponenten.
+              Jeder $\mdr^n$ zerfällt jedoch in höchstens zwei
+              Zusammenhangskomponenten, wenn man einen Punkt entfernt.
         \item $V_2 = \Set{(x,y) \in \mdr^2 | x^3 = y^2}$ ist eine
               Mannigfaltigkeit.
         \item $X = (\mdr \setminus \Set{0}) \cup (O_1, O_2)$
@@ -274,7 +279,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
 
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$}\xindex{Mannigfaltigkeit!differenzierbare},
-              wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$\todo{warum Doppelindex?}{}
+              wenn jede Kartenwechselabbildung $\varphi_{ij},\;i,j \in I$
               $k$-mal stetig differenzierbar ist.
         \item $X$ heißt \textbf{differenzierbare Mannigfaltigkeit}\xindex{Mannigfaltigkeit!glatte},
               wenn $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
@@ -392,7 +397,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
                     \label{fig:solid-of-revolution}
                 }%
 
-                \subfloat[Sinus und Cosinus]{
+                \subfloat[Sinus und Cosinus haben keine gemeinsamme Nullstelle]{
                     \includegraphics[width=0.8\linewidth, keepaspectratio]{figures/sin-cos.pdf}
                     \label{fig:sin-cos}
                 }%

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -2,42 +2,6 @@
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Symbolverzeichnis}
 \begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-% Zahlenmengen                                                      %
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-\section*{Zahlenmengen}
-$\mdn\;\;\;$ Natürliche Zahlen\\
-$\mdz\;\;\;$ Ganze Zahlen\\
-$\mdq\;\;\;$ Rationale Zahlen\\
-$\mdr\;\;\;$ Reele Zahlen\\
-$\mdr^+\;\;\;$ Echt positive reele Zahlen\\
-$\mdr^\times\;\;\;$ Einheitengruppe von $\mdr$\\
-$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen\\
-
-\section*{Weiteres}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-% Fraktale Symbole                                                  %
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
-$\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
-$\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
-$\fT\;\;\;$ Topologie\\
-
-$\mdp\;\;\;$ Projektiver Raum\\
-$\langle \cdot , \cdot \rangle\;\;\;$ Skalarprodukt\\
-$X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
-$[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
-$\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
-$| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
-$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
-$T^n\;\;\;$ Torus\\
-$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
-$f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
-$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
-$\text{Rg}(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
-$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
-
-\end{minipage}
-\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mengenoperationen                                                 %
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Mengenoperationen}
@@ -53,6 +17,21 @@ $A \setminus B\;\;\;$ $A$ ohne $B$\\
 $A \cup B\;\;\;$ Vereinigung\\
 $A \dcup B\;\;\;$ Disjunkte Vereinigung\\
 $A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Zahlenmengen                                                      %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\section*{Zahlenmengen}
+$\mdn\;\;\;$ Natürliche Zahlen $(\Set{1, 2, 3, \dots})$\\
+$\mdz\;\;\;$ Ganze Zahlen ($\mdn \cup \Set{0, -1, -2, \dots}$)\\
+$\mdq\;\;\;$ Rationale Zahlen ($\mdz \cup \Set{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}}$)\\
+$\mdr\;\;\;$ Reele Zahlen ($\mdq \cup \Set{\sqrt{2}, -\sqrt[3]{3}, \dots}$)\\
+$\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
+$\mdr^\times\;$ Einheitengruppe von $\mdr$ ($\mdr \setminus \Set{0}$)\\
+$\mdc\;\;\;$ Komplexe Zahlen ($\Set{a+ib|a,b \in \mdr}$)\\
+$\mdp\;\;\;$ Primzahlen ($2, 3, 5, 7, \dots$)\\
+
+\end{minipage}
+\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
 
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Gruppen                                                           %
@@ -60,9 +39,27 @@ $A \cap B\;\;\;$ Schnitt\\
 \section*{Gruppen}
 $\text{Homöo}(X)\;\;\;$ Homöomorphismengruppe\\
 $\text{Iso}(X)\;\;\;$ Isometriengruppe\\
-\end{minipage}
-
-
 
+\section*{Weiteres}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+% Weiteres                                                          %
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+$\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
+$\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
+$\fT\;\;\;$ Topologie\\
 
+$\praum\;\;\;$ Projektiver Raum\\
+$\langle \cdot , \cdot \rangle\;\;\;$ Skalarprodukt\\
+$X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
+$[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
+$\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
+$| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
+$S^n\;\;\;$ Sphäre\\
+$T^n\;\;\;$ Torus\\
+$\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
+$f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
+$\GL_n(K)\;\;\;$ Allgemeine lineare Gruppe (general linear group)\\
+$\text{Rg}(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
+$f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
 
+\end{minipage}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -54,6 +54,7 @@
 \renewcommand{\qed}{\hfill\blacksquare}
 \newcommand{\qedwhite}{\hfill \ensuremath{\Box}}
 \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)}
+\def\praum{\ensuremath{\mathcal{P}}}
 \def\mdp{\ensuremath{\mathbb{P}}}
 \def\mdc{\ensuremath{\mathbb{C}}}
 \def\mdr{\ensuremath{\mathbb{R}}}

documents/math-fonts/math-fonts.tex

@@ -6,6 +6,7 @@
 \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} %layout
 \usepackage{hyperref}   % links im text
 \usepackage{parskip}
+\usepackage{enumitem}
 \usepackage{multicol}
 
 \title{Minimal distance to a cubic function}
@@ -23,7 +24,7 @@
 \begin{document}
 \section{mathcal}
 \begin{multicols}{3}
-\begin{itemize}
+\begin{enumerate}[label=\Alph*:]
     \item $\mathcal{A}$
     \item $\mathcal{B}$
     \item $\mathcal{C}$
@@ -50,6 +51,70 @@
     \item $\mathcal{X}$
     \item $\mathcal{Y}$
     \item $\mathcal{Z}$
-\end{itemize}
+\end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\section{mathfrak}
+\begin{multicols}{3}
+\begin{enumerate}[label=\Alph*:]
+    \item $\mathfrak{A}$
+    \item $\mathfrak{B}$
+    \item $\mathfrak{C}$
+    \item $\mathfrak{D}$
+    \item $\mathfrak{E}$
+    \item $\mathfrak{F}$
+    \item $\mathfrak{G}$
+    \item $\mathfrak{H}$
+    \item $\mathfrak{I}$
+    \item $\mathfrak{J}$
+    \item $\mathfrak{K}$
+    \item $\mathfrak{L}$
+    \item $\mathfrak{M}$
+    \item $\mathfrak{N}$
+    \item $\mathfrak{O}$
+    \item $\mathfrak{P}$
+    \item $\mathfrak{Q}$
+    \item $\mathfrak{R}$
+    \item $\mathfrak{S}$
+    \item $\mathfrak{T}$
+    \item $\mathfrak{U}$
+    \item $\mathfrak{V}$
+    \item $\mathfrak{W}$
+    \item $\mathfrak{X}$
+    \item $\mathfrak{Y}$
+    \item $\mathfrak{Z}$
+\end{enumerate}
+\end{multicols}
+
+\section{mathbb}
+\begin{multicols}{3}
+\begin{enumerate}[label=\Alph*:]
+    \item $\mathbb{A}$
+    \item $\mathbb{B}$
+    \item $\mathbb{C}$
+    \item $\mathbb{D}$
+    \item $\mathbb{E}$
+    \item $\mathbb{F}$
+    \item $\mathbb{G}$
+    \item $\mathbb{H}$
+    \item $\mathbb{I}$
+    \item $\mathbb{J}$
+    \item $\mathbb{K}$
+    \item $\mathbb{L}$
+    \item $\mathbb{M}$
+    \item $\mathbb{N}$
+    \item $\mathbb{O}$
+    \item $\mathbb{P}$
+    \item $\mathbb{Q}$
+    \item $\mathbb{R}$
+    \item $\mathbb{S}$
+    \item $\mathbb{T}$
+    \item $\mathbb{U}$
+    \item $\mathbb{V}$
+    \item $\mathbb{W}$
+    \item $\mathbb{X}$
+    \item $\mathbb{Y}$
+    \item $\mathbb{Z}$
+\end{enumerate}
 \end{multicols}
 \end{document}