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@@ -581,6 +581,155 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
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\item Es gibt $\beta' = \beta$ wegen \cref{prop:14.7}.
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\item Es gibt $\alpha'' = \alpha'$ wegen \cref{ub11:aufg1}.
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\end{itemize}
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+ $\Rightarrow \IWS(\triangle ABC) = \gamma + \alpha'' + \beta' = \pi$
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\end{beweis}
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+\section{Weitere Eigenschaften einer euklidischen Ebene}
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+\subsection{Strahlensatz}
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+\begin{satz}
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+ In ähnlichen Dreiecken sind Verhältnisse entsprechender Seiten gleich.
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+\end{satz}
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+
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+\todo[inline]{Bild 2}
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+
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+\begin{beweis}
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+ TODO
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+\end{beweis}
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+
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+\todo[inline]{Bild 3}
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+
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+\subsection{Flächeninhalt}
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+\begin{definition}
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+ \enquote{Simplizialkomplexe} in euklidischer Ebene $(X,d)$ heißen
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+ \textbf{flächengleich}\xindex{Simplizialkomplexe!flächengleiche},
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+ wenn sie sich in kongruente Dreiecke zerlegen lassen.
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+\end{definition}
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+
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+\begin{figure}[ht]
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+ \centering
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+ \subfloat[TODO]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:bild-4}
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+ }%
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+ \subfloat[TODO]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:bild-5}
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+ }%
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+ \label{fig:flaechengleichheit}
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+ \caption{Flächengleichheit}
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+\end{figure}
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+
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+Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist $\nicefrac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}$.
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+
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+\begin{figure}
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+ \centering
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \caption{Flächenberechnung im Dreiecks}
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+ \label{fig:flaechenberechnung-dreieck}
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+\end{figure}
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+
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+\underline{Zu zeigen:} Unabhängigkeit von der gewählten Grundseite.
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+
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+\begin{figure}
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+ \centering
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \caption{Flächenberechnung im Dreiecks (Bild 7)}
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+ \label{fig:flaechenberechnung-dreieck-2}
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+\end{figure}
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+
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+$\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \cdot h_a = c \cdot h_c$
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+
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+\begin{satz}[Satz des Pythagoras]
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+ Im rechtwinkligen Dreieck gilt $a^2 + b^2 = c^2$, wobei $c$ die
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+ Hypothenuse und $a, b$ die beiden Katheten sind.
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+\end{satz}
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+
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+\begin{figure}[ht]
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+ \centering
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+ \subfloat[$a,b$ sind Katheten und $c$ ist die Hypothenuse]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:pythagoras-bezeichnungen}
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+ }%
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+ \subfloat[Beweisskizze]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:bild-5}
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+ }%
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+ \label{fig:flaechengleichheit}
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+ \caption{Satz des Pythagoras}
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+\end{figure}
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+
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+\begin{beweis}
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+ $(a+b) \cdot (a+b) = a^2 + 2ab + b^2 = c^2 +4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot b)$
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+\end{beweis}
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+
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+\begin{satz}\label{satz:14.13} %In Vorlesung: Satz 14.13
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+ Bis auf Isometrie gibt es genau eine euklidische Ebene, nämlich
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+ $X=\mdr^2$, $d = \text{euklidischer Abstand}$, $G = \text{Menge der üblichen Geraden}$.
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+\end{satz}
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+
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+\begin{beweis}
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+ \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
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+ \item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene.
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+ \item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden
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+ in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel
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+ schneiden. Sei $X$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf
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+ $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}).
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+
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+ Sei $Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$.
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+
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+ Setze $h(P) := (x_P, y_P)$ mit
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+ $x_P := d(X, 0)$ und $y_P := d(Y, 0)$.
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+
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+ \begin{figure}[ht]
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+ \centering
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+ \subfloat[Schritt 1 (Bild 10)]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:14.13.1}
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+ }%
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+ \subfloat[Schritt 2 (Bild 11)]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:14.13.2}
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+ }%
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+ \label{fig:14.13.0.1}
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+ \caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
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+ \end{figure}
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+
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+ Dadurch wird $h:X \rightarrow \mdr^2$ auf dem Quadranten
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+ definiert, in dem $P$ liegt (d.~h. $\forall Q \in X \text{ mit } \overline{PQ} \cap g_1 = \emptyset = \overline{PQ} \cap g_2$)
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+ Fortsetzung auf ganz $X$ durch konsistente Vorzeichenwahl.
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+
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+ \begin{behauptung}[1]
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+ $h$ ist surjektiv
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+ \end{behauptung}
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+ \begin{behauptung}[2]
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+ $h$ ist abstandserhaltend ($\rightarrow$ injektiv)
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+ \end{behauptung}
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+ \begin{beweis}[von 1]
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+ Sei $(x, y) \in \mdr^2$, z.~B. $x \geq 0, y \geq 0$.
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+ Sei $P' \in g_1$ mit $d(0, P') = x$ und
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+ $P'$ auf der gleichen Seite von $g_2$ wie $P$.
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+ \end{beweis}
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+ \begin{beweis}[von 2]
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+ \begin{figure}[ht]
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+ \centering
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+ \subfloat[Schritt 1 (Bild 12)]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:14.13.3}
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+ }%
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+ \subfloat[Schritt 2 (Bild 13)]{
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+ \input{figures/todo.tex}
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+ \label{fig:14.13.4}
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+ }%
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+ \label{fig:14.13.0.2}
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+ \caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
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+ \end{figure}
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+ Zu Zeigen: $d(P, Q) = d(h(P), h(Q))$
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+
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+ $d(P, Q)^2 \overset{\text{Pythagoras}}{=} d(P, R)^2 + d(R, Q)^2 = (y_Q - y_P)^2 + (x_Q - x_P)^2$.
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+
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+ $h(Q) = (x_Q, y_Q)$
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+ \end{beweis}
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+ \end{enumerate}
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+\end{beweis}
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+% Die Übungsaufgaben sollen ganz am Ende des Kapitels sein.
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\input{Kapitel4-UB}
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Martin Thoma