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documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe1.tex

@@ -1,5 +1,4 @@
 \section*{Aufgabe 1}
-\subsection*{Teilaufgabe a}
 \textbf{Gegeben:}
 
 \[A = 

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe2.tex

@@ -0,0 +1,14 @@
+\section*{Aufgabe 2}
+Die \emph{Kondition} eines Problems ist die Frage, wie sich Störungen
+der Eingabegrößen unabhängig vom gewählten Algorithmus auf die
+Lösung des Problems auswirken.
+
+Bei dem lösen von linearen Gleichungssystemen sind die Eingabegrößen
+die Koeffizientenmatrix $A$ und der Vektor $b$.
+
+Der Begriff \emph{Stabilität} ist auf einen konkreten Algorithmus
+zu beziehen und beschäftigt sich mit der Frage, wie sich Rundungsfehler,
+welche während der Durchführung des Algorithmus entstehen, auf
+die Lösung auswirken.
+
+Die Stabilität eines Algorithmus bezeichnet, wie stark der Algorithmus das Ergebnis verfälschen kann. Man kann also die Stabilität der Gauß-Elimination angeben. Man kann allerdings nicht von einer Stabilität des Problems $A \cdot x = b$ sprechen.

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\section*{Aufgabe 3}
+
+(Die Lösung findet ihr bei Klausur 3 / Aufgabe 3, da die Aufgaben identisch sind.)
+
+Gegeben sei die Fixpunktiteration $x_{k+1} = F(x_k)$ mit
+\[F(x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\]
+
+Sei $A := [\frac{7}{4}, \frac{8}{4}]$ ein Intervall.
+
+\textbf{Behauptung:} $F(x)$ ist auf $A$ eine Kontraktion.
+
+\textbf{Beweis:}
+
+z.Z.: $\exists L \in [0, 1): \forall x,y \in A: || F(x) - F(y) || \leq L \cdot || x - y||$
+
+TODO
+
+
+(Die Lösung findet ihr bei Klausur 3 / Aufgabe 3, da die Aufgaben identisch sind.)

documents/Numerik/Klausur4/Aufgabe4.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\section*{Aufgabe 4}
+
+(Die Lösung findet ihr bei Klausur 2 / Aufgabe 3, da die Aufgaben identisch sind.)
+
+
+Gegeben seien die Stützpunkte
+
+\begin{table}[H]
+    \begin{tabular}{l|l|l|l|l}
+    $f_i$ & 7  & 1 & -1 & 7 \\ \hline
+    $x_i$ & -1 & 0 & 1  & 2 \\
+    \end{tabular}
+\end{table}
+
+\subsection*{Teilaufgabe a)}
+\begin{align*}
+    s
+\end{align*}
+
+\subsection*{Teilaufgabe b)}

documents/Numerik/Klausur5/Aufgabe3.tex

@@ -0,0 +1,16 @@
+\section*{Aufgabe 3}
+\subsection*{Teilaufgabe i}
+relativer Fehler:
+
+\begin{align}
+	\frac{ | \frac{x}{y} - \frac{x \cdot (1 + \epsilon_x)}{y \cdot (1 + \epsilon_y}|}{|\frac{x}{y}|}
+	= \ldots = |\frac{\epsilon_y - \epsilon_x }{1 + \epsilon_y} |
+	\le \frac{|\epsilon_y | + | \epsilon_x |}{|1 + \epsilon_y|} \le \frac{2 \cdot \text{eps}}{|1 + \epsilon_y|} 
+\end{align}
+
+Der letzte Ausdruck ist ungefähr gleich $2 \cdot \text{eps}$, da $1 + \epsilon_y$ ungefähr gleich $1$ ist.
+Also: Der relative Fehler kann sich maximal verdoppeln.
+
+\subsection*{Teilaufgabe ii}
+Die zweite Formel ist vorzuziehen, also $f(x) = -\ln (x + \sqrt{x^2-1})$, da es bei Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen zur Stellenauslöschung kommt. Bei der ersten Formel, also $f(x) = \ln (x - \sqrt{x^2-1})$, tritt genau dieses Problem auf: $x$ und $\sqrt{x^2-1}$ sind für große $x$ ungefähr gleich groß. \\
+Bei der zweiten Formel tritt das Problem nicht auf: $x$ ist positiv und $\sqrt{x^2 - 1}$ auch, also gibt es in dem Ausdruck keine Subtraktion zweier annähernd gleich-großer Zahlen.

documents/Numerik/Klausur5/Klausur5.tex

@@ -0,0 +1,48 @@
+\documentclass[a4paper]{scrartcl}
+\usepackage{amssymb, amsmath} % needed for math
+\usepackage[utf8]{inputenc} % this is needed for umlauts
+\usepackage[ngerman]{babel} % this is needed for umlauts
+\usepackage[T1]{fontenc}    % this is needed for correct output of umlauts in pdf
+\usepackage{pdfpages}       % Signatureinbingung und includepdf
+\usepackage{geometry}       % [margin=2.5cm]layout
+\usepackage[pdftex]{hyperref}       % links im text
+\usepackage{color}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{enumerate}      % for advanced numbering of lists
+\usepackage{marvosym}       % checkedbox
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{braket}         % for \Set{}
+\usepackage{pifont}% http://ctan.org/pkg/pifont
+\usepackage{gauss}
+\usepackage{algorithm,algpseudocode}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{lastpage}
+\allowdisplaybreaks
+
+\newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
+\newcommand{\xmark}{\ding{55}}%
+
+\title{Numerik Klausur 5 - Musterlösung}
+\makeatletter
+\AtBeginDocument{
+	\hypersetup{ 
+	  pdfauthor   = {Martin Thoma, Peter, Felix},
+	  pdfkeywords = {Numerik, KIT, Klausur}, 
+	  pdftitle    = {\@title} 
+  	}
+	\pagestyle{fancy}
+	\lhead{\@title}
+	\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
+}
+\makeatother
+
+\usepackage{fancyhdr}
+\fancyfoot[C]{}
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+\begin{document}
+	\include{Aufgabe1}
+	\include{Aufgabe2}
+	\include{Aufgabe3}
+	\include{Aufgabe4}
+	\include{Aufgabe5}
+\end{document}

documents/Numerik/Klausur5/Makefile

@@ -0,0 +1,8 @@
+SOURCE = Klausur5
+make:
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	pdflatex -shell-escape $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.out *.pyg