added commutative diagram example

documents/mathe-lineare-algebra/mathe-lineare-algebra.tex

@@ -211,7 +211,7 @@ heißen \textbf{linear unabhängig}, wenn gilt:
 \begin{definition}{Bilinearform}
 Sei V ein reeler Vektorraum. Eine \textbf{Bilinearform} auf V ist eine
 Abbildung
-\[ F: V \times V \rightarrow V, ~~~ (a,b) \mapsto F(a,b), \]
+\[ F: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, ~~~ (a,b) \mapsto F(a,b), \]
 die in jedem Argument linear ist, d.h. für alle $a, a_1, a_2, b, b_1, b2 \in V$
 und alle $\lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2 \in \mathbb{R}$ gilt:
 \begin{align*}
@@ -354,4 +354,88 @@ Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Dann gilt in V:
 \[ a \perp b \Rightarrow \|a\| + \|b\| = \|a+b\|^2\]
 \end{definition}
 
+\begin{definition}{Orthogonalkomplement}
+Die Menge $U^\perp := \{x \in V | \langle x, u \rangle = 0~~\forall u \in U\}$
+heißt \textbf{Orthogonalkomplement} von U in V.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{Orthogonalprojektion}
+Die \textbf{Orthogonalprojektion} von V auf U (in Richtung $U^\perp$)
+ist die Abbildung
+\[\pi_U : V \rightarrow U \subseteq V, ~~~ v = u + u^\perp \mapsto u.\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}{Eigenschaften der Orthogonalprojektion}
+Für die Orthogonalprojektion $\pi_U$ eines Vektorraumes V auf einen
+Unterraum U gilt:
+\begin{enumerate}
+  \item $\pi_U$ ist linear und $\pi_U^2 = \pi_U \circ \pi_U = \pi_U$.
+  \item Bild $\pi_U = U$, Kern $\pi_U = U^\perp$.
+  \item $\pi_U$ verkürzt Abstände: Für alle $v, w \in V$ gilt:\\
+        $d(\pi_U(v), \pi_U(w)) = \| \pi_U(v) - \pi_U(w) \| \leq \| v- w \| = d(v,w)$
+\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{definition}{Abstand}
+Seien $(M, d)$ ein metrischer Raum und $A, B \subseteq M$ zwei Teilmengen.
+Der \textbf{Abstand} von A und B ist definiert durch
+\[d(A, B) := \inf\{d(a,b) | a \in A, b \in B\}\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}{orthogonale und unitäre Matrizen}
+Eine reele bzw. komplexe $n \times n$-Matrix A heißt
+\textbf{orthogonal} bzw. \textbf{unitär}, falls gilt
+\[A^T A = E_n ~~~ \text{ bzw. }  ~~~ A^T \overline A = E_n\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}{Charakterisierung von orthogonalen Matrizen}
+Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Folgende Aussagen sind äquivalent:
+\begin{enumerate}[(a)]
+  \item A ist eine orthogonale Matrix.
+  \item A ist regulär und $A^{-1} = A^T$.
+  \item Die Spaltenvektoren (bzw. die Zeilenvektoren) von A bilden eine
+       Orthonormalbasis von $\mathbb{R}^n$ bzgl. des Standardskalarproduktes
+\end{enumerate}
+
+Analog für unitäre Matrizen.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}{Folgerungen}
+  \begin{enumerate}[(a)]
+    \item Für eine orthogonale Matrix A gilt: $\det A = \pm 1$.
+    \item Für eine unitäre Matrix gilt: $| \det A | = 1$.
+  \end{enumerate}
+\end{satz} 
+
+\begin{definition}{Adjungierte lineare Abbildung}
+Es seien $(V, \langle, \rangle_V)$ und $(W, \langle, \rangle_W)$
+zwei Vektorräume mit Skalarprodukt und $\Phi: V \rightarrow W$ eine
+lineare Abbildung. Eine lineare Abbildung $\Phi^*: W \rightarrow V$
+heißt zu $\Phi$ \textbf{adjungierte lineare Abbildung}, falls für
+alle $x \in V$ und alle $y \in W$ gilt:
+\[\langle \Phi(x), y \rangle_W = \langle x, \Phi^*(y) \rangle_V\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}{Spektralsatz}
+Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und 
+$\Phi: V \rightarrow V$ ein selbstadjungierter Endomorphismus. Dann
+ist $\Phi$ diagonalisierbar. 
+
+Genauer: Es exisitiert eine Orthonormalbasis B von V, die aus 
+Eigenvektoren von $\Phi$ besteht und die Abbildung von $\Phi$ bzgl.
+dieser Orthonormalbasis hat Diagonalform
+\[M_B^B(\Phi) = \begin{pmatrix}
+\lambda_1 &        & 0\\
+          & \ddots &  \\
+  0       &        & \lambda_n
+\end{pmatrix}\]
+wobei $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ die $n$ (reelen) Eigenwerte von
+$\Phi$ sind.
+\end{satz} 
+
+\begin{satz}{Kriterium für "positiv definit"}
+Sei A eine reele, symmetrische Matrix.\\
+A ist positiv definit $\Leftrightarrow$ alle Eigenwerte von A sind positiv.
+\end{satz} 
+
 \end{document}

tikz/commutative-diagram/Makefile

@@ -0,0 +1,32 @@
+SOURCE = commutative-diagram
+DELAY = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH = 500
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg

tikz/commutative-diagram/commutative-diagram.tex

@@ -0,0 +1,26 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview}
+\setlength\PreviewBorder{2mm}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows,positioning,fit,shapes} 
+
+\begin{document}
+\begin{preview}
+\begin{tikzpicture}[scale=1,node distance=2.0cm]
+  \node (Phi) at (0,0) {$\Phi: V$};
+  \node (W)  [right of=Phi] {$W$};
+  \node (Kn) [below of=Phi] {$K^n$};
+  \node (Km) [right of=Kn]{$K^m$};
+  \node[text=green]  (TN) at (1,0.7)  {Koordinatenfrei};
+  \node[text=orange] (TS) at (1,-2.6) {Konkretes Rechnen};
+  \draw[->, above] (Phi) to node {$\Theta_B$} (W);
+  \draw[->, below] (Kn)  to node {$\Theta_{B'}$} (Km);
+  \draw[->, left] (Phi)  to node {$\Theta_B$} (Kn);
+  \draw[->, right] (W)   to node {$\Theta_{B'}$} (Km);
+  \node [ellipse,fit={(Kn) (Km) (TS)}, draw=orange, thick, text=orange] 
+        {};
+  \node [ellipse,fit={(Phi) (W) (TN)}, draw=green, thick, text=green]
+        {};
+\end{tikzpicture}
+\end{preview}
+\end{document}

tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/Makefile

@@ -0,0 +1,31 @@
+SOURCE = cubic-function-intermediate-value-theorem
+DELAY = 80
+DENSITY = 300
+WIDTH = 500
+
+make:
+	pdflatex $(SOURCE).tex -output-format=pdf
+	make clean
+
+clean:
+	rm -rf  $(TARGET) *.class *.html *.log *.aux *.data *.gnuplot
+
+gif:
+	pdfcrop $(SOURCE).pdf
+	convert -verbose -delay $(DELAY) -loop 0 -density $(DENSITY) $(SOURCE)-crop.pdf $(SOURCE).gif
+	make clean
+
+png:
+	make
+	make svg
+	inkscape $(SOURCE).svg -w $(WIDTH) --export-png=$(SOURCE).png
+
+transparentGif:
+	convert $(SOURCE).pdf -transparent white result.gif
+	make clean
+
+svg:
+	#inkscape $(SOURCE).pdf --export-plain-svg=$(SOURCE).svg
+	pdf2svg $(SOURCE).pdf $(SOURCE).svg
+	# Necessary, as pdf2svg does not always create valid svgs:
+	inkscape $(SOURCE).svg --export-plain-svg=$(SOURCE).svg

tikz/cubic-function-intermediate-value-theorem/cubic-function-intermediate-value-theorem.tex

@@ -0,0 +1,40 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[pdftex,active,tightpage]{preview}
+\setlength\PreviewBorder{2mm}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{arrows, positioning, calc, intersections, decorations.markings}
+ 
+\begin{document}
+
+% Define this as a command to ensure that it is same in both cases
+\newcommand*{\ShowIntersection}[2]{
+\fill 
+    [name intersections={of=#1 and #2, name=i, total=\t}] 
+    [red, opacity=1, every node/.style={above left, black, opacity=1}] 
+    \foreach \s in {1,...,\t}{(i-\s) circle (2pt)
+        node [above left] {\s}};
+}
+
+\begin{preview}
+\begin{tikzpicture}
+    \begin{axis}[
+        %width=15cm, height=15cm,     % size of the image
+        %xmin= 0,      % start the diagram at this x-coordinate
+        %xmax= 250,    % end   the diagram at this x-coordinate
+        %ymin=-7,     % start the diagram at this y-coordinate
+        %ymax= 7,   % end   the diagram at this y-coordinate
+        ylabel=y,
+        xlabel=x,
+        axis lines=left,
+        tick style={draw=none},
+        xticklabels={,,},
+        yticklabels={,,}
+    ]
+      \addplot[name path global=a, domain=30:250, red, thick,samples=500] 
+        {-0.00192*x*x*x+0.85*x*x-121.92*x+5815.75};
+%        {-226/117649*x*x*x+100005/117649*x*x-14343768/117649*x+684216906/117649};
+    \end{axis} 
+\end{tikzpicture}
+\end{preview}
+\end{document}