Textsetzungsfehler und mathematische Fehler behoben

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -243,11 +243,11 @@ Anschaulich ist also ein $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit lokal dem $\mdr^n$ ä
     wenn es einen Atlas $(U_i, \varphi_i)$ gibt, wobei $U_i \subseteq X_i$
     offen und $\varphi_i$ ein Homöomorphismus auf eine offene 
     Teilmenge von 
-    \[R_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\]
+    \[\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\]
     ist.
 \end{definition}
 
-$R_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}.
+$\mdr_{+,0}^n$ ist ein \enquote{Halbraum}\xindex{Halbraum}.
 
 \underline{Hinweis:} Mannigfaltigkeiten mit Rand sind keine Mannigfaltigkeiten.
 
@@ -283,7 +283,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     Sei $X$ eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Atlas
     $(U_i, \varphi_i)_{i \in I}$
 
-    Für $i, j \in I$ mit $U_i, U_j \neq \emptyset$ heißt
+    Für $i, j \in I$ mit $U_i \cap U_j \neq \emptyset$ heißt
               \begin{align*}
                 \varphi_{ij} &:= \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\\
                 \varphi_i (U_i \cap U_j) &\rightarrow \varphi_j (U_i \cap U_j)

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -973,9 +973,10 @@ der folgende Satz:
 
 \begin{bemerkung}[Eigenschaften der Decktransformation]%In Vorlesung:12.14
     \begin{bemenum}
-        \item Die Decktransformationen von $p$ bilden eine Gruppe, 
-              die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}
-              $\Deck(p) = \Deck(Y/X) = \Deck(Y \rightarrow X)$
+        \item Die Decktransformationen von $p: Y \rightarrow X$ bilden mit der Verkettung eine Gruppe, 
+              die sog. \textbf{Decktransformationsgruppe}\xindex{Decktransformationsgruppe}.
+              Man schreibt:
+              $\Deck(p)$, $\Deck(Y/X)$ oder $\Deck(Y \rightarrow X)$.
         \item Ist $f \in \Deck(Y/X)$ und $f \neq \id$, dann hat
               $f$ keinen Fixpunkt.
         \item $|\Deck(Y/X)| \leq \deg{p}$\label{kor:12.14c}
@@ -1023,11 +1024,11 @@ der folgende Satz:
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{beispiel}
+\begin{beispiel}[Decktransformationen]
     \begin{bspenum}
         \item $p: \mdr \rightarrow S^1: \Deck(\mdr / S^1) = \Set{t \mapsto t + n | n \in \mdz} \cong \mdz$
         \item $p: \mdr^2 \rightarrow T^2: \Deck(\mdr^2 / T^2) \cong \mdz \times \mdz = \mdz^2$
-        \item $p: S^n \rightarrow \praum^n(\mdr): \Deck(g^n / \praum^n(\mdr)) = \Set{x \mapsto \pm x} \cong \mdz / 2 \mdz$
+        \item $p: S^n \rightarrow \praum^n(\mdr): \Deck(S^n / \praum^n(\mdr)) = \Set{x \mapsto \pm x} \cong \mdz / 2 \mdz$
     \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -801,35 +801,45 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
                 \caption{Zwei Punkte liegen in der hyperbolischen Geometrie immer auf genau einer Geraden}
             \end{figure}
         \item Sei $g \in G_1 \dcup G_2$ eine hyperbolische Gerade.\\
+
+              Es existieren disjunkte Zerlegungen von $\mdh \setminus g$:
+
               \underline{Fall 1:} $g = \Set{z \in \mdh | |z-m| = r} \in G_1$\\
               Dann gilt:
-              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\]
+              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| < r}}_{=:H_1 \text{ (Kreisinneres)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | |z-m| > r}}_{=:H_2 \text{ (Kreisäußeres)}}\]
               Da $r > 0$ ist $H_1$ nicht leer, da $r \in \mdr$ ist $H_2$ nicht leer.
 
-              \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
+              \underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\
+              Die disjunkte Zerlegung ist:
+              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\]
+
+              \underline{Zu zeigen:}
+              $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
                       $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
                       $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
-              \enquote{$\Leftarrow$}: Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung
+              \enquote{$\Leftarrow$}: $A \in H_1, B \in H_2: \overline{AB} \cap g \neq \emptyset$
+
+              Da $d_\mdh$ stetig ist, folgt diese Richtung
               direkt. Alle Punkte in $H_1$ haben einen Abstand von $m$ der kleiner
               ist als $r$ und alle Punkte in $H_2$ haben einen Abstand von $m$ der
               größer ist als $r$. Da man jede Strecke von $A$ nach $B$ insbesondere
               auch als stetige Abbildung $f: \mdr \rightarrow \mdr_{>0}$ auffassen
               kann, greift der Zwischenwertsatz $\Rightarrow$ $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$
 
-              \enquote{$\Rightarrow$}:
-              \todo[inline]{TODO}
+              \enquote{$\Rightarrow$}: $A \in H_i, B \in H_j \text{ mit } i,j \in \Set{1,2}: \overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Rightarrow i \neq j$
 
-              \underline{Fall 2:} $g = \Set{z \in \mdh | \Re{z} = x} \in G_2$\\
-              Die disjunkte Zerlegung ist:
-              \[\mdh = \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) < x}}_{=: H_1 \text{ (Links)}} \dcup \underbrace{\Set{z \in \mdh | \Re(z) > x}}_{=: H_2 \text{ (Rechts)}}\]
+              Sei $h$ die Gerade, die durch $A$ und $B$ geht.
 
-              \underline{Zu zeigen:} $\forall A \in H_i$, $B \in H_j$ mit
-                      $i,j \in \Set{1,2}$ gilt: 
-                      $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset \Leftrightarrow i \neq j$\\
-              \enquote{$\Leftarrow$}: Wie zuvor mit dem Zwischenwertsatz.
+              Da $A,B \notin g$, aber $A, B \in h$ gilt, haben $g$ und $h$ 
+              insbesondere
+              mindestens einen unterschiedlichen Punkt. Aus \ref{axiom:1.1} folgt, dass sich
+              $g$ und $h$ in höchstens einen Punkt schneiden. Sei $C$ dieser 
+              Punkt.
+
+              Aus $A,B \notin g$ folgt: $C \neq A$ und $C \neq B$. Also liegt
+              $C$ zwischen $A$ und $B$. Daraus folgt, dass $A$ und $B$ bzgl.
+              $g$ in verschiedenen Halbebenen liegen.
 
-              \enquote{$\Rightarrow$}:
-              \todo[inline]{TODO}
         \item Siehe \cref{fig:hyperbolische-halbebene-axiom-5}.
             \begin{figure}[hp]
                 \centering

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -50,14 +50,16 @@
         \item Für $t \in I$ sei $n(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
               an $\gamma$ in $t$ wenn gilt:
               \[\langle n(t), \gamma'(t) \rangle = 0 \text{, } \|n(t)\|=1 \text{ und } \det((\gamma_1'(t), n(t))) = +1\]
-        \item Nach \cref{bem:16.1d} sind $n(t)$ und $\gamma''(t)$ linear
-              abhängig, d.~h. es gibt $\kappa(t) \in \mdr$ mit
+        \item Seit $\kappa: I \Rightarrow \mdr$ so, dass gilt:
               \[\gamma''(t) = \kappa(t) \cdot n(t)\]
-              $\kappa(t)$ heißt \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
+              Dann heißt $\kappa(t)$ \textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung}
               von $\gamma$ in $t$.
     \end{defenum}
 \end{definition}
 
+Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear
+              abhängig sind, existiert $\kappa(t)$.
+
 \begin{beispiel}%In Vorlesung: Beispiel 16.3
     Gegeben sei ein Kreis mit Radius $r$, d.~h. mit Umfang $2\pi r$.
     Es gilt:

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -86,7 +86,8 @@ $\mdn = \Set{1, 2, 3, \dots} \;\;\;$ Natürliche Zahlen\\
 $\mdz = \mdn \cup \Set{0, -1, -2, \dots} \;\;\;$ Ganze Zahlen\\
 $\mdq = \mdz \cup \Set{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}} = \Set{\frac{z}{n} \text{ mit } z \in \mdz \text{ und } n \in \mdz \setminus \Set{0}} \;\;\;$ Rationale Zahlen\\
 $\mdr = \mdq \cup \Set{\sqrt{2}, -\sqrt[3]{3}, \dots}\;\;\;$ Reele Zahlen\\
-$\mdr^+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
+$\mdr_+\;$ Echt positive reele Zahlen\\
+$\mdr_{+,0}^n := \Set{(x_1, \dots, x_n) \in \mdr^n | x_n \geq 0}\;\;\;$ Halbraum\\
 $\mdr^\times = \mdr \setminus \Set{0} \;$ Einheitengruppe von $\mdr$\\
 $\mdc = \Set{a+ib|a,b \in \mdr}\;\;\;$ Komplexe Zahlen\\
 $\mdp = \Set{2, 3, 5, 7, \dots}\;\;\;$ Primzahlen\\