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@@ -113,7 +113,7 @@ Da $n(t)$ und $\gamma''(t)$ nach \cref{bem:16.1d} linear
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\item Für $t \in I$ heißt $\kappa(t) := \|\gamma''(t)\|$ die
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\textbf{Krümmung}\xindex{Krümmung} von $\gamma$ in $t$.
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\item Ist für $t \in I$ die Ableitung $\gamma''(t) \neq 0$,
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- so heißt $\gamma''(t)$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
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+ so heißt $\frac{\gamma''(t)}{\|\gamma''(t)\|}$ \textbf{Normalenvektor}\xindex{Normalenvektor}
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an $\gamma$ in $t$.
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\item \label{def:16.4c} $b(t)$ sei ein Vektor, der $\gamma'(t), n(t)$
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zu einer orientierten Orthonormalbasis von $\mdr^3$ ergänzt.
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@@ -330,10 +330,9 @@ Im folgenden werden diese Begriffe jedoch synonym benutzt.
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$\gamma(0) = s$ und $\gamma''(0) \neq 0$.
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Sei $n(0) := \frac{\gamma''(0)}{\|\gamma''(0)\|}$. Zerlege
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- $n(0) = n(0) + n(0)^\bot$ mit $n(0)^\bot \in T_s S$ und
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- $n(0)^\bot \in (T_s S)^\bot$.
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+ \[n(0) = n(0)^T + n(0)^\perp \text{ mit } n(0)^T \in T_s S \text{ und } n(0)^\perp \in (T_s S)^\perp\]
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- Dann ist $n(0)^\bot = \langle n(0), n(s) \rangle \cdot n(s)$\\
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+ Dann ist $n(0)^\perp = \langle n(0), n(s) \rangle \cdot n(s)$\\
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$\kappanor(s, \gamma) := \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$
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die \textbf{Normalkrümmung}.
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\end{definition}
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@@ -463,7 +462,7 @@ an $S$ in $s$.
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z_1 \\ z_2 \\ z_3
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\end{pmatrix}$ mit
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\begin{align*}
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- z_1 &= x_2 y_3 - x_3 - y_2\\
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+ z_1 &= x_2 y_3 - x_3 y_2\\
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z_2 &= x_3 y_1 - x_1 y_3\\
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z_3 &= x_1 y_2 - x_2 y_1\\
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\Rightarrow \|\frac{\partial F}{\partial u_1} (p) \times \frac{\partial F}{\partial u_2} (p)\| &= z_1^2 + z_2^2 + z_3^2\\
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@@ -498,9 +497,9 @@ an $S$ in $s$.
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Etwa:
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\begin{align*}
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- \int_S f \mathrm{d} A &= \sum_{i=1}^n \int_{V_i} f \mathrm{d} A \\
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- &- \sum_{i \neq j} \int_{V_i \cap V_j} f \mathrm{d} A \\
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- &+ \sum_{i,j,k} \int_{V_i \cap V_j \cap V_k} \mathrm{d} A\\
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+ \int_S f \mathrm{d} A &= \sum_{i=1}^n \int_{\mathclap{V_i}} f \mathrm{d} A \\
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+ &- \sum_{i \neq j} \int_{\mathclap{V_i \cap V_j}} f \mathrm{d} A \\
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+ &+ \sum_{i,j,k} \int_{\mathclap{V_i \cap V_j \cap V_k}} f \mathrm{d} A\\
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&- \dots
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\end{align*}
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\end{bemenum}
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@@ -518,19 +517,19 @@ an $S$ in $s$.
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Normalenfeld $n: S \rightarrow S^2$. Dann gilt:
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\begin{propenum}
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- \item $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_S n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$
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+ \item $n$ induziert für jedes $s \in S$ eine lineare Abbildung $d_s n: T_s S \rightarrow T_{n(s)} S^2$
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durch
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\[d_s n(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} n (\underbrace{s \text{\enquote{+}} tx}_{\mathclap{\text{Soll auf Fläche $S$ bleiben}}}) \Bigr |_{t=0}\]
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\item $T_{n(s)} S^2 = T_s S$.
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- \item $d_S n$ ist ein Endomorphismus von $T_s S$.
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- \item $d_S n$ ist selbstadjungiert bzgl. des Skalarproduktes $I_S$.
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+ \item $d_s n$ ist ein Endomorphismus von $T_s S$.
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+ \item $d_s n$ ist selbstadjungiert bzgl. des Skalarproduktes $I_S$.
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\end{propenum}
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\end{proposition}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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\item TODO
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- \item $T_{n(S)} S^2 = \langle n(s) \rangle^\bot = T_s S$
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+ \item $T_{n(S)} S^2 = \langle n(s) \rangle^\perp = T_s S$
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\item TODO
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\item Zu zeigen: $\forall x,y \in I_s S: \langle x, d_s n (y) \rangle = \langle d_s n(x), y \rangle$
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@@ -576,13 +575,13 @@ an $S$ in $s$.
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\begin{beweis}
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Nach \cref{def:18.4} ist $\kappanor(s, \gamma) = \langle \gamma''(0), n(s) \rangle$.
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- Nach Voraussetzung ist $n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0$.
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+ Nach Voraussetzung ist $n(\gamma(t)) \perp \gamma'(t) \Leftrightarrow \langle \gamma''(0), n(s) \rangle = 0$.\todo{?}
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Die Ableitung nach $t$ ergibt
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\begin{align*}
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0 &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\langle n (\gamma(t)), \gamma'(t))\\
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&= \left \langle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} n(\gamma(t)) \Bigr |_{t=0}, \gamma'(0) \right \rangle + \langle n(s), \gamma''(0) \rangle\\
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- &= \langle d_s n (\gamma'(0)), \gamma'(0) \rangle + \kappa(s,\gamma)\\
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- &= - II_s(\gamma'(0), \gamma'(0)) + \kappa(s, \gamma)
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+ &= \langle d_s n (\gamma'(0)), \gamma'(0) \rangle + \kappanor(s,\gamma)\\
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+ &= - II_s(\gamma'(0), \gamma'(0)) + \kappanor(s, \gamma)
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\end{align*}
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\end{beweis}
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Martin Thoma