Textsetzung; TODO entfernt; Kleine Korrekturen

documents/GeoTopo/Abkuerzungen.tex

@@ -9,6 +9,7 @@
     \acro{d. h.}{das heißt}
     \acro{Def.}{Definition}
     \acro{etc.}{et cetera}
+    \acro{Hom.}{Homomorphismus}
     \acro{o. B. d. A.}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit}
     \acro{Prop.}{Proposition}
     \acro{sog.}{sogenannte}

documents/GeoTopo/Kapitel1-UB.tex

@@ -54,3 +54,8 @@
         \item ein Homöomorphismus, der kein Homomorphismus ist
     \end{bspenum}
 \end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}[Begriffe]\label{ub3:meinsExtra2}
+    Definieren sie die Begriffe \enquote{Isomorphismus},
+    \enquote{Isotopie} und \enquote{Isometrie}.
+\end{aufgabe}

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -230,7 +230,7 @@ Die Teilraumtopologie wird auch \textit{Spurtopologie} oder
     $\fB = \Set{\fB_r(x) \subseteq \powerset{X} | x \in X, r \in \mdr^+}$ ist Basis einer Topologie auf $X$.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{definition}\xindex{Isometrie}%
+\begin{definition}\xindex{Isometrie}\label{def:Isometrie}%
     Seien $(X, d_X)$ und $(Y, d_Y)$ metrische Räume und $\varphi: X \rightarrow Y$
     eine Abbildung mit 
     \[\forall x_1, x_2 \in X: d_X(x_1, x_2) = d_Y(\varphi(x_1), \varphi(x_2)) \]
@@ -1008,7 +1008,7 @@ $\qed$
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}%
+\begin{definition}\xindex{Knoten!äquivalente}\xindex{Isotopie}\label{def:Isotopie}%
     Zwei Knoten $\gamma_1, \gamma_2: S^1 \rightarrow \mdr^3$ heißen
     \textbf{äquivalent}, wenn es eine stetige Abbildung
     \[H: S^1 \times [0,1] \rightarrow \mdr^3\]

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -1194,12 +1194,13 @@ und der Fundamentalgruppe herstellen:
             g_1 \circ (g_2 \circ x) &= \varrho (g_1) (g_2 \circ x)\\
             &= \varrho(g_1) (\varrho(g_2)(x))\\
             &= (\varrho(g_1) \circ \varrho(g_2))(x)\\
-            &\overset{\varrho \text {ist Hom.}}{=} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
+            &\overset{\mathclap{\varrho \text { ist Hom.}}}{=}\hspace{3 mm} \varrho(g_1 \cdot g_2) (x)\\
             &= (g_1 \cdot g_2) \circ x
           \end{align*}
 
             z.~z. \cref{def:gruppenoperation.1}: 
-            $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ Homomorphismus ist.
+            $1_G \cdot x = \varrho(1_G)(x) = \id_X(x) = x$, weil $\varrho$ ein 
+            Homomorphismus ist.
 \end{beweis}
 
 \begin{beispiel}\label{bsp:13.4}%In Vorlesung: Beispiel 13.4

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -429,7 +429,7 @@ schneiden sich.
             \label{fig:geometry-7}
         }%
 
-        \label{fig:formen}
+        \label{fig:winkel-und-parallelogramm}
         \caption{Situation aus \cref{bem:14.9}}
     \end{figure}
 
@@ -678,15 +678,18 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
         \item $(\mdr^2, d_\text{Euklid})$ ist offensichtlich eine euklidische Ebene.
         \item Sei $(X,d)$ eine euklidische Ebene und $g_1, g_2$ Geraden
               in $X$, die sich in einem Punkt $0$ im rechten Winkel
-              schneiden. Sei $X$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf
-              $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}).
+              schneiden. 
 
-              Sei $Y$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf $g_2$.
+              Sei $P \in X$ ein Punkt und $P_X$ der Fußpunkt des Lots von $P$ auf
+              $g_1$ (vgl. \cref{ub11:aufg3.c}) und $P_Y$ der Fußpunkt des Lots 
+              von $P$ auf $g_2$.
 
               Setze $h(P) := (x_P, y_P)$ mit 
-              $x_P := d(X, 0)$ und $y_P := d(Y, 0)$.
+              $x_P := d(P_X, 0)$ und $y_P := d(P_Y, 0)$.
 
-            \begin{figure}[ht]
+              In \cref{fig:14.13.0.1} wurde die Situation skizziert.
+
+            \begin{figure}[htp]
                 \centering
                 \subfloat[Schritt 1]{
                     \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-1.tex}}
@@ -696,8 +699,8 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
                     \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
                     \label{fig:14.13.2}
                 }%
-                \label{fig:14.13.0.1}
                 \caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
+                \label{fig:14.13.0.1}
             \end{figure}
 
             Dadurch wird $h:X \rightarrow \mdr^2$ auf dem Quadranten
@@ -716,18 +719,11 @@ $\xRightarrow{\text{Strahlensatz}} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \rightarrow a \
                 $P'$ auf der gleichen Seite von $g_2$ wie $P$.
             \end{beweis}
             \begin{beweis}[von 2]
-                \begin{figure}[ht]
+                \begin{figure}[htp]
                     \centering
-                    \subfloat[Schritt 1]{
-                        \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/coordinate-system-2.tex}}
-                        \label{fig:14.13.3}
-                    }%
-                    \subfloat[Schritt 2 (Bild 13)]{
-                        \resizebox{0.45\linewidth}{!}{\input{figures/todo.tex}}
-                        \label{fig:14.13.4}
-                    }%
-                    \label{fig:14.13.0.2}
+                    \input{figures/coordinate-system-3.tex}
                     \caption{Beweis zu \cref{satz:14.13}}
+                    \label{fig:14.13.0.1}
                 \end{figure}
                 Zu Zeigen: $d(P, Q) = d(h(P), h(Q))$
 

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -131,11 +131,11 @@
     Die Definition von Homöomorphismus kann auf \cpageref{def:homoeomorphismus}
     nachgelesen werden.
 
-    \begin{definition}
+    \begin{definition}\xindex{Homomorphismus}%
         Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und 
         $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung.
 
-        $\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}\xindex{Homomorphismus}, wenn
+        $\varphi$ heißt \textbf{Homomorphismus}, wenn
         \[\forall g_1, g_2 \in G: \varphi(g_1 * g_2) = \varphi(g_1) \circ \varphi(g_2)\]
         gilt.
     \end{definition}
@@ -152,6 +152,22 @@
     Kontexten verwendet.
 \end{solution}
 
+\begin{solution}[\ref{ub3:meinsExtra2}]
+    Die Definition einer Isotopie kann auf \cpageref{def:Isotopie} nachgelesen
+    werden, die einer Isometrie auf \cpageref{def:Isometrie}.
+    
+    \begin{definition}\xindex{Isomorphismus}%
+        Seien $(G, *)$ und $(H, \circ)$ Gruppen und 
+        $\varphi:G \rightarrow H$ eine Abbildung.
+
+        $\varphi$ heißt \textbf{Isomorphismus}, wenn $\varphi$ ein bijektiver
+        Homomorphismus ist.
+    \end{definition}
+
+    Eine Isotopie ist also für Knoten definiert, Isometrien machen nur in 
+    metrischen Räumen Sinn und ein Isomorphismus benötigt eine Gruppenstruktur.
+\end{solution}
+
 \begin{solution}[\ref{ub4:aufg1}]
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item \textbf{Vor.:} Sei $M$ eine topologische Mannigfaltigkeit.\\

documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-1.tex

@@ -2,6 +2,10 @@
     \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
     \tkzSetUpLine[line width=1]
     \tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P}
+
+    \tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y)
+    \tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$}
+
     \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X)
     \tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$}
     \tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$}
@@ -10,4 +14,4 @@
     \tkzLabelPoint(P){$P$}
     \node at ($(-2,2)$){$X$};
     \tkzDrawPoints(P)
-\end{tikzpicture}
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/figures/coordinate-system-2.tex

@@ -2,6 +2,10 @@
     \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
     \tkzSetUpLine[line width=1]
     \tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P}
+
+    \tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y)
+    \tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$}
+
     \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X)
     \tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$}
     \tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$}
@@ -23,6 +27,8 @@
 
     \tkzLabelPoint[above right](P){$P$}
     \tkzLabelPoint[below left](O){$0$}
+    \tkzLabelPoint[below](xp){$P_X$}
+    \tkzLabelPoint[left](Y){$P_Y$}
     \node at ($(-2,2)$){$X$};
-    \tkzDrawPoints(P)
-\end{tikzpicture}
+    \tkzDrawPoints(P,Y,xp)
+\end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/meta/Arbeitszeit.md

@@ -82,4 +82,6 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |14.02.2014 | 06:15 - 07:10 | Verbesserungsvorschläge von Arthur (Email) umgesetzt.
 |14.02.2014 | 18:30 - 18:50 | Verbesserungsvorschläge von Henrieke (RL) umgesetzt.
 |14.02.2014 | 18:50 - 19:00 | Verbesserungsvorschläge von Jan (Facebook) umgesetzt.
-|14.02.2014 | 20:30 - 24:00 | Überarbeitung des Beweises der Eindeutigkeit einer Parallelen
+|14.02.2014 | 20:30 - 24:00 | Überarbeitung des Beweises der Eindeutigkeit einer Parallelen
+|15.02.2014 | 13:00 - 21:00 | Textsetzung; Kleine Korrekturen
+|16.02.2014 | 10:30 - 11:30 | Textsetzung; TODO entfernt; Kleine Korrekturen

tikz/coordinate-system-1/coordinate-system-1.tex

@@ -9,6 +9,10 @@
     \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
     \tkzSetUpLine[line width=1]
     \tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P}
+
+    \tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y)
+    \tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$}
+
     \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X)
     \tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$}
     \tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$}

tikz/coordinate-system-2/coordinate-system-2.tex

@@ -10,6 +10,10 @@
     \tkzSetUpPoint[shape=circle,size=10,color=black,fill=black]
     \tkzSetUpLine[line width=1]
     \tkzDefPoints{0/0/O, 1/0/X, 0/1/Y, 2/1/P}
+
+    \tkzMarkAngle[fill=green!20,size=0.3cm,opacity=.5](X,O,Y)
+    \tkzLabelAngle[pos=0.15](X,O,Y){$\cdot$}
+
     \tkzDrawLine[add=3 and 2](O,X)
     \tkzLabelLine[below,pos=3](O,X){$g_1$}
     \tkzLabelLine[right,pos=3](O,Y){$g_2$}
@@ -31,7 +35,9 @@
 
     \tkzLabelPoint[above right](P){$P$}
     \tkzLabelPoint[below left](O){$0$}
+    \tkzLabelPoint[below](xp){$P_X$}
+    \tkzLabelPoint[left](Y){$P_Y$}
     \node at ($(-2,2)$){$X$};
-    \tkzDrawPoints(P)
+    \tkzDrawPoints(P,Y,xp)
 \end{tikzpicture}
 \end{document}