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@@ -290,9 +290,12 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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\begin{definition}\xindex{einfach zusammenhängend}%11.4
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Ein wegzusammenhängender topologischer Raum $X$ heißt
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\textbf{einfach zusammenhängend}, wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$
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- für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$.
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+ für ein $x \in X$.
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\end{definition}
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+Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
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+\cref{kor:gruppenisomorphismus-wege} sogar für alle $x \in X$.
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+
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\begin{bemerkung}\label{korr:11.5}
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Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
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stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.
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@@ -508,7 +511,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
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$f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
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\end{definition}
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-\begin{bemerkung} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
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+\begin{bemerkung}\label{bem:12.2} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
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Überlagerungen sind offene Abbildungen.
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\end{bemerkung}
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@@ -579,7 +582,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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\end{enumerate}
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\end{beweis}
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-\begin{bemerkung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
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+\begin{bemerkung}\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
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Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
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Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
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@@ -610,7 +613,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
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\label{fig:satz-seifert-van-kampen}
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\end{figure}
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-\begin{bemerkung}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
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+\begin{bemerkung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
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Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, f_1: Z \rightarrow Y$
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Liftungen von $f$.
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@@ -716,13 +719,13 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
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\end{beweis}
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-\begin{bemerkung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
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+\begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
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Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
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\begin{bemenum}
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- \item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
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- \item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
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+ \item \label{folg:12.8a} $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
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+ \item \label{folg:12.8b} $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
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\end{bemenum}
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-\end{bemerkung}
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+\end{folgerung}
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\begin{beweis}\leavevmode
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\begin{enumerate}[label=\alph*)]
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@@ -763,11 +766,11 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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\end{bemerkung}
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\begin{beweis}
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- Wegen \cref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
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- und wegen \cref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
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+ Wegen \cref{folg:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
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+ und wegen \cref{folg:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
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bijektiv.
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- Nach \todo{Was ist das?}{12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
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+ Nach \cref{bem:12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
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ist stetig. $\Rightarrow p$ ist Homöomorphismus. $\qed$
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\end{beweis}
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@@ -800,7 +803,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
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Sei $z \in \tilde{X}, y_z: I \rightarrow \tilde{X}$ ein Weg von
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$\tilde{x_0}$ nach $z$.
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- Sei $\delta_Z$ \underline{die} Liftung von $p \circ \gamma_z$
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+ Sei $\delta_Z$ die eindeutige Liftung von $p \circ \gamma_z$
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nach $y$ mit $\delta_2(0) = y_0$.
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Setze $\tilde{p}(z) = \delta_Z(1)$.
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Martin Thoma