Verbesserungen (Tippfehler; Referenzen)

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -290,9 +290,12 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
 \begin{definition}\xindex{einfach zusammenhängend}%11.4
     Ein wegzusammenhängender topologischer Raum $X$ heißt
     \textbf{einfach zusammenhängend}, wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$
-    für ein \todo{was denn nun?}{(jedes)} $x \in X$.
+    für ein $x \in X$.
 \end{definition}
 
+Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen 
+\cref{kor:gruppenisomorphismus-wege} sogar für alle $x \in X$.
+
 \begin{bemerkung}\label{korr:11.5}
     Es seien $X, Y$ topologische Räume, $f:X \rightarrow Y$ eine
     stetige Abbildung, $x \in X, y := f(x) \in Y$.
@@ -508,7 +511,7 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
 \end{definition}
 
-\begin{bemerkung} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
+\begin{bemerkung}\label{bem:12.2} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
     Überlagerungen sind offene Abbildungen.
 \end{bemerkung}
 
@@ -579,7 +582,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{bemerkung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
+\begin{bemerkung}\label{kor:12.4}%Bemerkung 12.4 der Vorlesung
     Sei $p: Y \rightarrow X$ Überlagerung, $x_1, x_2 \in X$.
 
     Dann ist $|p^{-1} (x_1)| = |p^{-1}(x_2)|$.\footnote{$|p^{-1} (x_1)| = \infty$ ist erlaubt!}
@@ -610,7 +613,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
     \label{fig:satz-seifert-van-kampen}
 \end{figure}
 
-\begin{bemerkung}\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
+\begin{bemerkung}[Eindeutigkeit der Liftung]\label{kor:12.5}%Bemerkung 12.5 aus Vorlesung
     Sei $Z$ zusammenhängend und $f_0, f_1: Z \rightarrow Y$
     Liftungen von $f$.
 
@@ -716,13 +719,13 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     zwischen $\tilde{\gamma_0}$ und $\tilde{\gamma_1}$. $\qed$
 \end{beweis}
 
-\begin{bemerkung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
+\begin{folgerung}%In Vorlesung: "Folgerung 12.8"
     Sei $p: Y \rightarrow X$ eine Überlagerung, $x_0 \in X, y_0 \in p^{-1}(x_0)$
     \begin{bemenum}
-        \item $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
-        \item $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
+        \item \label{folg:12.8a} $p_1: \pi_1(Y, y_0) \rightarrow \pi_1(X, x_0)$ ist injektiv\label{kor:12.8a}
+        \item \label{folg:12.8b} $[\pi_1(X, x_0): p_* (\pi_1(Y, y_0))] = \deg(p)$\label{kor:12.8b}
     \end{bemenum}
-\end{bemerkung}
+\end{folgerung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
@@ -763,11 +766,11 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
-    Wegen \cref{kor:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
-    und wegen \cref{kor:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
+    Wegen \cref{folg:12.8a} ist auch $Y$ einfach zusammenhängend
+    und wegen \cref{folg:12.8b} ist $\deg(p)=1$, $p$ ist also
     bijektiv.
 
-    Nach \todo{Was ist das?}{12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
+    Nach \cref{bem:12.2} ist $p$ offen $\Rightarrow p^{-1}$
     ist stetig. $\Rightarrow p$ ist Homöomorphismus.  $\qed$
 \end{beweis}
 
@@ -800,7 +803,7 @@ $p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
     Sei $z \in \tilde{X}, y_z: I \rightarrow \tilde{X}$ ein Weg von
     $\tilde{x_0}$ nach $z$.
 
-    Sei $\delta_Z$ \underline{die} Liftung von $p \circ \gamma_z$
+    Sei $\delta_Z$ die eindeutige Liftung von $p \circ \gamma_z$
     nach $y$ mit $\delta_2(0) = y_0$.
 
     Setze $\tilde{p}(z) = \delta_Z(1)$.

documents/GeoTopo/Readme.md

@@ -49,16 +49,12 @@ Was noch kommen soll
 ====================
 
 1. Alle `TODOS` auflösen
-    * "Punkt" suchen
-    * Checken, ob alle Seitenumbrüche / Bildgrößen stimmen
+  * "Punkt" suchen
+  * Checken, ob alle Seitenumbrüche / Bildgrößen stimmen
 2. Reviews (Mathematik, LaTeX und Bilder)
 3. A5-Version drucken
-  * In `GeoTopo.tex`...
-      * ... replace `a4paper` by `a5paper`,
-      * ... replace `oneside` by `twoside` and
-      * ... replace `\usepackage[...]{hyperref}` by `\usepackage{nohyperref}`
-  * In `titlepage.tex`: replace `10cm` by `4cm`
-  * Momentan sind es ca. 60 Seiten in A4. In A5 sind es ca.
+  * In `GeoTopo.tex`: `\AFivefalse` → `\AFivetrue`
+  * Momentan sind es ca. 89 Seiten in A4. In A5 sind es ca. 142 Seiten.
 4. Version für Sehgeschädigte:
   * min `12pt`, besser `14pt`
   * nicht `article`, `book`, `report` sondern `extarticle`

documents/GeoTopo/figures/inversion-am-kreis.tex

@@ -3,21 +3,24 @@
     \tkzSetUpLine[line width=1]
     \tkzInit[xmax=1.2,ymax=1,xmin=-1.2,ymin=0]
     \pgfmathsetmacro{\Radius}{1}
-    \tkzDefPoints{0.9/0.7/Z, 0/0/O, 0/1/i}
+    \tkzDefPoints{2.0/1.0/Z, 0/0/O, 0/1/i}
 
     %% Konstruktion von 1/ \overline{z} und -1/ \overline{z}
     \tkzTangent[from with R = Z,/tikz/overlay](O,\Radius cm)  \tkzGetPoints{T1}{T2}
     \tkzInterLL(T1,T2)(O,Z) \tkzGetPoint{dZ}
     \tkzDefPointBy[reflection = over O--i](dZ) \tkzGetPoint{ndZ}
+    \tkzDefPointBy[symmetry = center O](dZ) \tkzGetPoint{other}
     %%
 
     \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=orange](O,\Radius cm)(0,180)
     \tkzAxeXY
 
-    \tkzDrawPoints(Z, dZ, ndZ)
-    \tkzLabelPoint[right](Z){$Z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
-    \tkzLabelPoint[left](dZ){$\frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{r} \cdot e^{-\iu \varphi}$}
-    \tkzLabelPoint[below left](ndZ){$-\frac{1}{\overline{z}}$}
+    \tkzDrawPoints(Z, dZ, ndZ, other)
+    \tkzLabelPoint[left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
+    \tkzLabelPoint[below](other){$-\frac{1}{\overline{z}}$}
+    \tkzLabelPoint[below right](dZ){$\frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{r} \cdot e^{\iu \varphi}$}
+    \tkzLabelPoint[above left](ndZ){?}
     \tkzDrawSegments[dashed](O,Z)
     \tkzDrawSegments[dashed](O,ndZ)
+    \tkzDrawSegments[dashed](O,other)
 \end{tikzpicture}