Verbesserung des WSW-Kongruenzsatz-Beweises von Henrieke.

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -378,12 +378,15 @@ schneiden sich.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}
-    Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A') = A$, $\varphi(B') = B$
-    und $\varphi(C')$ liegt in der selben Halbebene bzgl. $AB$ wie $C$. Diese
-    Isometrie existiert wegen \cref{axiom:4}.
+    Sei $\varphi$ die Isometrie mit $\varphi(A') = A$, $\varphi(A'C'^+) = AC^+$
+    und $\varphi(AB^+) = AB^+$. Diese Isometrie existiert wegen \cref{axiom:4}.
+
+    $\Rightarrow C \in \varphi(A'C'^+)$ und $B \in \varphi(A'B'^+)$.
+
+    $d(A',C')= d(\varphi(A'), \varphi(C')) = d(A, \varphi(C')) \xRightarrow{\ref{axiom:3.1}} \varphi(C') = C$
+
+    $d(A',B')= d(\varphi(A'), \varphi(B')) = d(A, \varphi(B')) \xRightarrow{\ref{axiom:3.1}} \varphi(B') = B$
 
-    Wegen \cref{bem:sws.ii} ist $\varphi{A'C'^+} = AC^+$ und wegen
-    \cref{bem:sws.iii} sowie \ref{axiom:3.1} ist $\varphi(C') = C$.
     Also gilt insbesondere $\varphi(\triangle A'B'C') = \triangle ABC$. $\qed$
 \end{beweis}