Übungsaufgabe 1 hinzugefügt

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@@ -254,7 +254,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
     und $U_y$ um $y$ gibt, sodass $U_x \cap U_y = \emptyset$.
 \end{definition}
 
-\begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]
+\begin{bemerkung}[Trennungseigenschaft]\label{Trennungseigenschaft}
     Metrische Räume sind hausdorffsch, da 
     \[d(x,y) > 0 \Rightarrow \exists \varepsilon: \fB_\varepsilon(x) \cap \fB_\varepsilon(y) = \emptyset\]
     Ein Beispiel für einen topologischen Raum, der nicht hausdorfsch ist,
@@ -487,22 +487,23 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
     als topologischer Raum mit der Teilraumtopologie zusammenhängend ist.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{beispiel}
-    $\mdr^n$ ist mit der euklidischen Topologie zusammenhängend,
-    denn:
-
-    Angenommen, $\mdr^n = U_1 \cup U_2$ mit $U_i$ offen, $U_i \neq \emptyset$
-    und $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ existiert.
-
-    Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$
-    und $y$. Dann ist $U_1 \cap [x,y]$ die Vereinigung von offenen
-    Intervallen. Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$,
-    aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von 
-    $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen.
-\end{beispiel}
+%\begin{beispiel}
+%
+%\end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}[Zusammenhang von Räumen]
     \begin{enumerate}
+        \item $\mdr^n$ ist mit der euklidischen Topologie zusammenhängend,
+            denn:
+
+            Angenommen, $\mdr^n = U_1 \cup U_2$ mit $U_i$ offen, $U_i \neq \emptyset$
+            und $U_1 \cap U_2 = \emptyset$ existiert.
+
+            Sei $x \in U_1, y \in U_2$ und $[x,y]$ die Strecke zwischen $x$
+            und $y$. Dann ist $U_1 \cap [x,y]$ die Vereinigung von offenen
+            Intervallen. Dann gibt es $z \in [x,y]$ mit $z \in \partial (U_1 \cap [x,y])$,
+            aber $z \notin U_1 \Rightarrow z \in U_2$. In jeder Umgebung von 
+            $z$ liegt ein Punkt von $U_1 \Rightarrow$ Widerspruch zu $U_2$ offen.
         \item $\mdr \setminus \Set{0}$ ist nicht zusammenhängend, denn
               $\mdr \setminus \Set{0} = \mdr_{< 0} \cup \mdr_{> 0}$
         \item $\mdr^2 \setminus \Set{0}$ ist zusammenhängend.
@@ -660,8 +661,8 @@ $\qed$
 
 \begin{beispiel}
     \begin{enumerate}[label=\arabic*)]
-        \item $\mdr$ ist nicht kompakt
-        \item $(0,1)$ ist nicht kompakt\\
+        \item $\mdr$ ist nicht kompakt.
+        \item $(0,1)$ ist nicht kompakt.\\
               $U_n = (\nicefrac{1}{n}, 1-\nicefrac{1}{n}) \Rightarrow \bigcup_{n \in \mdn} U_n = (0,1)$
         \item $\mdr$ mit der Zariski-Topologie ist kompakt und jede 
               Teilmenge von $\mdr$ ist es auch.\xindex{Topologie!Zariski}

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -1,7 +1,27 @@
 \chapter*{Lösungen der Übungsaufgaben}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Lösungen der Übungsaufgaben}
 \begin{solution}[\ref{ub:aufg1}]
-    \todo[inline]{Lösung schreiben}
+    \textbf{Teilaufgabe a)} Es gilt:
+    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item $\emptyset, X \in \fT_X$.
+        \item $\fT_X$ ist offensichtlich unter Durchschnitten abgeschlossen,
+              d.~h. es gilt für alle $U_1, U_2 \in \fT_X: U_1 \cap U_2 \in \fT_X$.
+        \item Auch unter beliebigen Vereinigungen ist $\fT_X$ abgeschlossen,
+              d.~h. es gilt für eine beliebige Indexmenge $I$ und alle
+              $U_i \in \fT_X$ für alle $i \in I: \bigcup_{i \in I} U_i \in \fT_X$
+    \end{enumerate}
+
+    Also ist $(X, \fT_X)$ ein topologischer Raum.
+
+    \textbf{Teilaufgabe b)} Wähle $x=1, y=0$. Dann gilt $x \neq y$
+    und die einzige Umgebung von $x$ ist $X$. Da $y=0 \in X$ können
+    also $x$ und $y$ nicht durch offene Mengen getrennt werden.
+    $(X, \fT_X)$ ist also nicht hausdorffsch.
+
+    \textbf{Teilaufgabe c)} Nach Bemerkung \ref{Trennungseigenschaft}
+    sind metrische Räume hausdorffsch. Da $(X, \fT_X)$ nach (b) nicht 
+    hausdorffsch ist, liefert die Kontraposition der Trennungseigenschaft,
+    dass $(X, \fT_X)$ kein metrischer Raum sein kann.
 \end{solution}
 
 \begin{solution}[\ref{ub:aufg4}]

documents/GeoTopo/Vorwort.tex

@@ -19,7 +19,7 @@ Vielen Dank auch an Frau Lenz, die es mir erlaubt hat, ihre
 Die Kugeloberfläche $S^2$ lässt sich durch strecken, stauchen
 und umformen zur Würfeloberfläche oder
 der Oberfläche einer Pyramide verformen, aber nicht zum $\mdr^2$
-oder zu einem Torus. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
+oder zu einem Torus $T^2$. Für den $\mdr^2$ müsste man die Oberfläche
 unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.
 
 \begin{figure}[ht]
@@ -41,7 +41,7 @@ unendlich ausdehnen und für einen Torus müsste man ein Loch machen.
         \input{figures/plane-r2.tex}
         \label{fig:plane-r2}
     }%
-    \subfigure[Torus]{
+    \subfigure[$T^2$]{
         \input{figures/torus.tex} \xindex{Torus}
         \label{fig:torus}
     }