Weitere Definitionen und Sätze ergänzt

documents/GeoTopo/Definitionen.tex

@@ -39,4 +39,18 @@ Lineare Algebra entnommen:
 	Sei $a<b$ und $f \in\ C[a, b]:=C([a, b])$, weiter sei $y_0 \in \mdr$ und 
 	$f(a) < y_0 < f(b)$ oder $f(b) < y_0 < f(a)$. Dann existiert ein 
 	$x_0 \in [a, b]$ mit $f(x_0) = y_0$.
+\end{satz*}
+
+\begin{definition}\xindex{Eigenwert}\xindex{Eigenvektor}%
+	Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $\mdk$ und $f: V \rightarrow V$ eine 
+	lineare Abbildung.
+
+	$v \in V \setminus \Set{0}$ heißt \textbf{Eigenvektor} $:\Leftrightarrow \exists \lambda \in \mdk: f(v) = \lambda v$.
+
+	Wenn ein solches $\lambda \in \mdk$ existiert, heißt es \textbf{Eigenwert} von $f$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz*}[Binomischer Lehrsatz]\xindex{Lehrsatz!Binomischer}%
+	Sei $x, y \in \mdr$. Dann gilt:
+	\[(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} x^{n-k}y^{k} \;\;\; \forall n \in \mdn_0\]
 \end{satz*}

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -171,6 +171,8 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$.
 \begin{bemerkung}[Eigenschaften der Tangentialebene]%
     \begin{bemenum}
         \item $T_s S$ ist $2$-dimensionaler Untervektorraum von $\mdr^3$.%In Vorlesung: 17.2
+        \item $T_s S = \langle \tilde{u}, \tilde{v} \rangle$, wobei $\tilde{u}, \tilde{v}$
+              die Spaltenvektoren der Jacobi-Matrix $J_F(p)$ sind.
         \item $T_s S$ hängt nicht von der gewählten Parametrisierung ab.%In Vorlesung: 17.3
         \item Sei $S=V(f)$ eine reguläre Fläche in $\mdr^3$, also %In Vorlesung: Bemerkung 17.4
                 $f:V \rightarrow \mdr$ eine $C^\infty$-Funktion, $V \subseteq \mdr^3$
@@ -182,10 +184,11 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^3 \rightarrow \mdr$.
 
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
-        \item $J_F$ ist eine $3 \times 2$-Matrix, die mit einem $2 \times 1$-Vektor
+        \item \label{bew:tangentialebene.a} $J_F$ ist eine $3 \times 2$-Matrix, die mit einem $2 \times 1$-Vektor
               multipliziert wird. Das ist eine lineare Abbildung und aus der 
               linearen Algebra ist bekannt, das das Bild ein Vektorraum ist.
               Da $\rang(J_F) = 2$, ist auch $\dim (T_s S) = 2$.
+        \item Hier kann man wie in \cref{bew:tangentialebene.a} argumentieren
         \item $T_s S = \{x \in \mdr^3 | \exists \text{parametrisierte Kurve } 
           \gamma:[- \varepsilon, + \varepsilon] \rightarrow S 
           \text{ für ein } \varepsilon > 0 
@@ -640,7 +643,7 @@ $s$. Weiter sei $p := F^{-1}(s)$.
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
-\begin{satz}[Satz von Gauß-Bonnet]\xindex{Satz von!Gauß-Bonnet}
+\begin{satz}[Satz von Gauß-Bonnet]\xindex{Satz von!Gauß-Bonnet}%
     Sei $S \subseteq \mdr^3$ eine kompakte orientierbare reguläre Fläche. Dann gilt:
     \[\int_S K(s) \mathrm{d}A = 2 \pi \chi(S)\]
     Dabei ist $\chi(S)$ die Euler-Charakteristik von $S$.

documents/GeoTopo/meta/Mitwirkende.md

@@ -10,13 +10,13 @@ schicken.
 
 * Henrieke: Beweis des SWS-Kongruenzsatzes; ein paar Fehlermeldungen was die Notation in Beweisen und Rechtschreibung angeht.
 * Herrlich, Frank (Prof. Dr): Erstellen der Inhalte und des Aufbaus der Vorlesung. Dieses Skript war ursprünglich nur der Mitschrieb seiner Vorlesung.
-* Johannes: Mitschriebe der Vorlesung
 * Jonathan: Fehlermeldung
 * Lenz, Sandra: Übungsaufgaben und Lösungen (Übungsleiterin)
 * Marco: ein paar Fehlermeldungen
 * Nilan: Mitschriebe von Tutorien; ein paar Fehlermeldungen
 * Randecker, Anja: Übungsaufgaben und Lösungen (Übungsleiterin)
 * Sarah: Einige Übungsaufgaben; Hilfestellung als Tutorin beim Verständnis der Beweise / Inhalte
+* Schickling, Johannes: Mitschriebe der Vorlesung
 * Tânia: Mitschriebe von Vorlesungen; ein paar Fehlermeldungen
 * Thoma, Martin: Erstellen des Grundgerüsts mit Hilfe des Vorlesungsmitschriebs; Beweise; Bilder; Textsetzung; Kontrolle der Korrektheit aller Verbesserungsvorschläge
 * Urhausen, Jérôme: Beweise; Viele Verbesserungen (Notation und Textsetzung); Bilder