Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -70,3 +70,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |07.02.2014 | 11:35 - 11:45 | Definition "operiert durch Homöomorphismen" korrigiert
 |07.02.2014 | 15:00 - 15:30 | Verbesserungen von Jérôme Urhausen, Email vom 08.02.2014, eingefügt.
 |07.02.2014 | 15:30 - 15:45 | Verbesserungen 
+|07.02.2014 | 19:30 - 21:20 | Textsetzung, kleine Fehler und Verbesserung eines Bildes

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -452,7 +452,7 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
             \end{figure}
 
             Sei $X$ wie in \cref{fig:top-raum-kreise}. $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil
-            $\pi_1(U,x) = <a> \cong \mdz, \pi_1(V,x) = <b> \cong \mdz$,
+            $\pi_1(U,x) = \langle a \rangle \cong \mdz, \pi_1(V,x) = \langle b \rangle \cong \mdz$,
             insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$.
         \item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$.
             \begin{figure}[htp]
@@ -548,8 +548,6 @@ Wenn $\pi_1(X,x) = \Set{e}$ für ein $x \in X$ gilt, dann wegen
     $\Rightarrow p(V)$ ist offen.
 \end{beweis}
 
-\todo[inline]{Die Definition von Diskret habe ich mir überlegt. Hatten wir das schon mal? 
-Haben wir Häufungspunkt definiert?}
 \begin{definition}\xindex{diskret}%
     Sei $X$ ein topologischer Raum und $M \subseteq X$.
 
@@ -684,7 +682,7 @@ $p:Y \rightarrow X$ Überlagerung, $X,Y$ wegzusammenhängend.
 $p$ stetig und surjektiv, zu $x \in X \exists$ Umgebung $U$, so dass
 $p^{-1}(U) = \bigcup V_j$
 
-$p|V_j: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
+$p|_{V_j}: V_j \rightarrow U$ Homöomorphismus.
 
 \begin{bemerkung}%Bemerkung 12.6 der Vorlesung
     Wege in $X$ lassen sich zu Wegen in $Y$ liften.

documents/GeoTopo/Kapitel4.tex

@@ -98,7 +98,7 @@ aufgestellt.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{beweis}\leavevmode
-    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+    \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item \enquote{$\subseteq$} folgt direkt aus der Definition von $PR^+$ und $PR^-$\\
               \enquote{$\supseteq$}: Sei $Q \in PR \Rightarrow P, Q, R$ 
               sind kollinear.\\
@@ -996,7 +996,8 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
             $\sigma(z_3) = \infty$ (gibt es?)
 
             $\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4d}}}{\Rightarrow}\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) = \DV(0, 1, \infty, \sigma(z_4))$\\
-            $\Rightarrow\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty} \Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{infty}$
+            $\Rightarrow\hspace{4mm} \DV(z_1, \dots, z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$\\
+            $\Leftrightarrow \sigma(z_4) \in \mdr \cup \Set{\infty}$
 
             Behauptung folgt, weil $\sigma(\mdr \cup \infty)$ ein Kreis oder
             eine Gerade in $\mdc$ ist.
@@ -1023,19 +1024,19 @@ $\overset{\text{Strahlensatz}}{\Rightarrow} \frac{a}{h_c} = \frac{c}{h_a} \right
 
     also gilt \obda $z_1 = \iu a$ und $z_2 = \iu b$ mit $a,b \in \mdr$ und $a < b$.
     \begin{align*}
-        2d(\iu a, \iu b) &= \ln(\DV(0, \iu a, \infty, \iu b))\\
-                        &= \ln \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)}\\
-                        &= \ln \frac{b}{a}\\
+        2d(\iu a, \iu b)&= \ln \mid \DV(0, \iu a, \infty, \iu b) \mid \\
+                        &= \ln \mid \frac{(0 - \iu b) (\infty - \iu a)}{(0 - \iu a)(\infty - \iu b)} \mid \\
+                        &= \ln \mid \frac{b}{a} \mid\\
                         &= \ln b - \ln a
     \end{align*}
 
     Also: $d(z_1, z_2) \geq 0$, $d(z_1, z_2) = 0 \gdw z_1 = z_2$
 
     \begin{align*}
-        2 d(z_2, z_1) &=\hspace{3mm}\ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
-            &=\hspace{3mm} \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
-            &\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=}\hspace{3mm} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
-            &=\hspace{3mm} 2 d(z_1, z_2)
+        2 d(z_2, z_1) &= \ln \DV(a_2, z_2, a_1, z_1)\\
+                      &= \ln \DV(\infty, \iu b, 0, \iu a)\\
+            &\overset{\mathclap{\crefabbr{bem:15.4b.ii}}}{=}\hspace{5mm} \ln \DV(0, \iu b, \infty, \iu a)\\
+                      &= 2 d(z_1, z_2)
     \end{align*}
 
     Liegen drei Punkte $z_1, z_2, z_3 \in \mdc$ auf einer hyperbolischen

documents/GeoTopo/Kapitel5.tex

@@ -58,15 +58,15 @@
     Gegeben sei ein Kreis mit Radius $r$, d.~h. mit Umfang $2\pi r$.
     Es gilt:
 
-    \[\gamma(t) = (r \cdot \cos \frac{t}{r}, r \cdot \sin \frac{t}{r}) \text{ für } t \in [0, 2\pi r]\]
+    \[\gamma(t) = \left (r \cdot \cos \frac{t}{r}, r \cdot \sin \frac{t}{r} \right ) \text{ für } t \in [0, 2\pi r]\]
     ist parametrisiert durch Bogenlänge.
 
     \begin{align*}
-        \gamma'(t)  &= ((r \cdot \frac{1}{r}) (- \sin \frac{t}{r}), r \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r})\\
-                    &= (- \sin \frac{t}{r}, \cos \frac{t}{r})\\
-        \Rightarrow n(t) &= (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r})\\
-        \gamma''(t) &= (- \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r}, - \frac{1}{r} \sin \frac{t}{r})\\
-                    &= \frac{1}{r} \cdot (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r})\\
+        \gamma'(t)  &= \left ((r \cdot \frac{1}{r}) (- \sin \frac{t}{r}), r \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r} \right )\\
+                    &= \left (- \sin \frac{t}{r}, \cos \frac{t}{r} \right )\\
+        \Rightarrow n(t) &= \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\\
+        \gamma''(t) &= \left (- \frac{1}{r} \cos \frac{t}{r}, - \frac{1}{r} \sin \frac{t}{r} \right )\\
+                    &= \frac{1}{r} \cdot \left (- \cos \frac{t}{r}, - \sin \frac{t}{r} \right )\\
         \Rightarrow \kappa(t) &= \frac{1}{r}
     \end{align*}
 \end{beispiel}
@@ -124,7 +124,7 @@ für eine $C^\infty$-Funktion $f: \mdr^\infty \rightarrow \mdr$.\todo{Wirklich $
     definierte lineare Abbildung.
 
     Dann heißt $T_s S := \Bild(D_p F)$ die \textbf{Tangentialebene}\xindex{Tangentialebene}
-    an $S \in s$.
+    an $s \in S$.
 \end{definition}
 
 \begin{bemerkung}%In Vorlesung: 17.2

documents/GeoTopo/Loesungen.tex

@@ -113,7 +113,8 @@
                 $\SL_n(\mdr) \subseteq \GL_n(\mdr)$ lässt sich mit einer
                 Teilmenge des $\mdr^{n^2}$ identifizieren. Nach \cref{satz:heine-borel}
                 sind diese genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und 
-                abgeschlossen sind. Definiere nun für für $n \in \mdn_{\geq 2}, m \in \mdn: A_m = \text{diag}_n(m, \frac{1}{m}, \dots, 1)$.
+                abgeschlossen sind. Definiere nun für für $n \in \mdn_{\geq 2}, m \in \mdn$:
+                \[A_m = \text{diag}_n(m, \frac{1}{m}, \dots, 1)\]
                 Dann gilt: $\det A_m = 1$, d.~h. $A_m \in \SL_n(\mdr)$,
                 und $A_m$ ist unbeschränkt, da $\|A_m\|_\infty =m \xrightarrow[m \rightarrow \infty]{} \infty$.$\qed$
         \item \textbf{Beh.:} $\praum(\mdr)$ ist kompakt.\\
@@ -303,5 +304,5 @@
 
     Da $d(A',C') = d(A,C) = d(\varphi(A), \varphi(C)) = d(A', \varphi(C))$
     und $d(B', C') = d(B', \varphi(C))$
-    \todo[inline]{da fehlt was}
+    \todo[inline]{Da fehlt was.}
 \end{solution}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
+\markboth{Symbolverzeichnis}{Symbolverzeichnis}
 \twocolumn
-\chapter*{Symbolverzeichnis\markboth{Symbolverzeichnis}{Symbolverzeichnis}}
+\chapter*{Symbolverzeichnis}
 \addcontentsline{toc}{chapter}{Symbolverzeichnis}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 % Mengenoperationen                                                 %
@@ -50,6 +51,7 @@ $X /_\sim\;\;\;$ $X$ modulo $\sim$\\
 $[x]_\sim\;\;\;$ Äquivalenzklassen von $x$ bzgl. $\sim$\\
 $\| x \|\;\;\;$ Norm von $x$\\
 $| x |\;\;\;$ Betrag von $x$\\
+$\langle a \rangle\;\;\;$ Erzeugnis von $a$\\
 
 $S^n\;\;\;$ Sphäre\\
 $T^n\;\;\;$ Torus\\
@@ -59,7 +61,7 @@ $[\gamma]\;\;\;$ Homotopieklasse eines Weges $\gamma$\\
 $\pi_X\;\;\;$ Projektion auf $X$\\
 $f|_U\;\;\;$ $f$ eingeschränkt auf $U$\\
 $f^{-1}(M)\;\;\;$ Urbild von $M$\\
-$\Rg(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
+$\rang(M)\;\;\;$ Rang von $M$\\
 $\chi(K)\;\;\;$ Euler-Charakteristik von $K$\\
 $\Delta^k\;\;\;$ Standard-Simplex\\
 $X \# Y\;\;\;$ Verklebung von $X$ und $Y$\\

documents/GeoTopo/Vorwort.tex

@@ -59,8 +59,8 @@ Es wird ein sicherer Umgang mit den Quantoren ($\forall, \exists$),
 Mengenschreibweisen ($\cup, \cap, \setminus, \emptyset, \mdr, \powerset{M}$)
 und ganz allgemein formaler Schreibweise vorausgesetzt. Auch die
 Beweisführung mittels Widerspruchsbeweisen sollte bekannt sein und
-der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$ sowie deren Betrag nicht
-weiter schwer fallen.
+der Umgang mit komplexen Zahlen $\mdc$, deren Betrag, Folgen und
+Häufungspunkten nicht weiter schwer fallen.
 Diese Vorkenntnisse werden vor allem in \enquote{Analysis I} vermittelt.
 
 Außerdem wird vorausgesetzt, dass (affine) Vektorräume, Faktorräume, 

documents/GeoTopo/figures/inversion-am-kreis.tex

@@ -3,24 +3,22 @@
     \tkzSetUpLine[line width=1]
     \tkzInit[xmax=1.2,ymax=1,xmin=-1.2,ymin=0]
     \pgfmathsetmacro{\Radius}{1}
-    \tkzDefPoints{2.0/1.0/Z, 0/0/O, 0/1/i}
+    \tkzDefPoints{2.0/1.5/Z, 0/0/O, 0/1/i}
 
     %% Konstruktion von 1/ \overline{z} und -1/ \overline{z}
     \tkzTangent[from with R = Z,/tikz/overlay](O,\Radius cm)  \tkzGetPoints{T1}{T2}
     \tkzInterLL(T1,T2)(O,Z) \tkzGetPoint{dZ}
-    \tkzDefPointBy[reflection = over O--i](dZ) \tkzGetPoint{ndZ}
-    \tkzDefPointBy[symmetry = center O](dZ) \tkzGetPoint{other}
     %%
 
     \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=orange](O,\Radius cm)(0,180)
+    \tkzMarkAngle[size=1mm](Z,dZ,T1)
+    \tkzLabelAngle[pos=0.06](Z,dZ,T1){$\cdot$}
     \tkzAxeXY
 
-    \tkzDrawPoints(Z, dZ, ndZ, other)
-    \tkzLabelPoint[left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
-    \tkzLabelPoint[below](other){$-\frac{1}{\overline{z}}$}
+    \tkzDrawPoints(Z, dZ, T1)
+    \tkzLabelPoint[above left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
     \tkzLabelPoint[below right](dZ){$\frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{r} \cdot e^{\iu \varphi}$}
-    \tkzLabelPoint[above left](ndZ){?}
     \tkzDrawSegments[dashed](O,Z)
-    \tkzDrawSegments[dashed](O,ndZ)
-    \tkzDrawSegments[dashed](O,other)
+    \tkzDrawLine[dashed, add=0 and 0.5](Z,T1)
+    \tkzDrawSegments[dashed](T1,dZ)
 \end{tikzpicture}

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -68,7 +68,6 @@
 \def\gdw{\ensuremath{\Leftrightarrow}}
 
 \def\atlas{\ensuremath{\mathcal{A}}}
-\DeclareMathOperator{\rang}{rg}
 
 \def\GL{\ensuremath{\mathrm{GL}}}
 \def\SL{\ensuremath{\mathrm{SL}}}
@@ -88,7 +87,7 @@
 \DeclareMathOperator{\conv}{conv}
 \DeclareMathOperator{\IWS}{IWS}
 \DeclareMathOperator{\DV}{DV}
-\DeclareMathOperator{\Rg}{Rg}
+\DeclareMathOperator{\rang}{Rg}
 \DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
 \newcommand{\iu}{{i\mkern1mu}} % imaginary unit
 \newcommand{\kappanor}{\kappa_{\ts{Nor}}}

tikz/inversion-am-kreis/inversion-am-kreis.tex

@@ -9,25 +9,23 @@
     \tkzSetUpLine[line width=1]
     \tkzInit[xmax=1.2,ymax=1,xmin=-1.2,ymin=0]
     \pgfmathsetmacro{\Radius}{1}
-    \tkzDefPoints{2.0/1.0/Z, 0/0/O, 0/1/i}
+    \tkzDefPoints{2.0/1.5/Z, 0/0/O, 0/1/i}
 
     %% Konstruktion von 1/ \overline{z} und -1/ \overline{z}
     \tkzTangent[from with R = Z,/tikz/overlay](O,\Radius cm)  \tkzGetPoints{T1}{T2}
     \tkzInterLL(T1,T2)(O,Z) \tkzGetPoint{dZ}
-    \tkzDefPointBy[reflection = over O--i](dZ) \tkzGetPoint{ndZ}
-    \tkzDefPointBy[symmetry = center O](dZ) \tkzGetPoint{other}
     %%
 
     \tkzDrawArc[R,line width=1pt,color=orange](O,\Radius cm)(0,180)
+    \tkzMarkAngle[size=1mm](Z,dZ,T1)
+    \tkzLabelAngle[pos=0.06](Z,dZ,T1){$\cdot$}
     \tkzAxeXY
 
-    \tkzDrawPoints(Z, dZ, ndZ, other)
-    \tkzLabelPoint[left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
-    \tkzLabelPoint[below](other){$-\frac{1}{\overline{z}}$}
+    \tkzDrawPoints(Z, dZ, T1)
+    \tkzLabelPoint[above left](Z){$z = r \cdot e^{\iu \varphi}$}
     \tkzLabelPoint[below right](dZ){$\frac{1}{\overline{z}} = \frac{1}{r} \cdot e^{\iu \varphi}$}
-    \tkzLabelPoint[above left](ndZ){?}
     \tkzDrawSegments[dashed](O,Z)
-    \tkzDrawSegments[dashed](O,ndZ)
-    \tkzDrawSegments[dashed](O,other)
+    \tkzDrawLine[dashed, add=0 and 0.5](Z,T1)
+    \tkzDrawSegments[dashed](T1,dZ)
 \end{tikzpicture}
 \end{document}