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@@ -42,7 +42,7 @@ aufgestellt.
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\begin{definition}\xindex{Ebene!euklidische}%In Vorlesung: Definition 14.2
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Eine \textbf{euklidische Ebene} ist ein metrischer Raum $(X,d)$
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- zusammen mit einer Teilmenge $G \subseteq \powerset{X}$, sodass die
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+ zusammen mit einer Teilmenge $\emptyset \neq G \subseteq \powerset{X}$, sodass die
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Axiome~\ref{axiom:1}~-~\ref{axiom:4} erfüllt sind:
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\begin{enumerate}[label=§\arabic*),ref=§\arabic*]
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\item \textbf{Inzidenzaxiome}\xindex{Inzidenzaxiome}:\label{axiom:1}
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@@ -50,7 +50,7 @@ aufgestellt.
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\item Zu $P \neq Q \in X$ gibt es genau ein $g \in G$ mit
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$\Set{P, Q} \subseteq g$.
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\item $|g| \geq 2 \;\;\; \forall g \in G$
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- \item $X \in G$
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+ \item $X \notin G$
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\end{enumerate}
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\item \textbf{Abstandsaxiom}\xindex{Abstandsaxiom}: Zu $P, Q, R \in X$ gibt es \label{axiom:2}
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genau dann ein $g \in G$ mit $\Set{P, Q, R} \subseteq g$,
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@@ -529,13 +529,13 @@ Sei im Folgenden \enquote{IWS} die \enquote{Innenwinkelsumme}.
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Sei $\alpha$ ein Innenwinkel von $\triangle$.
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\begin{behauptung}
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- Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit \todo{Was steht hier?}
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- $\cos(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel
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+ Es gibt ein Dreieck $\triangle'$ mit
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+ $\IWS(\triangle') = \IWS(\triangle)$ und einem Innenwinkel
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$\alpha' \leq \frac{\alpha}{2}$.
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Dann gibt es für jedes $n$ ein $\triangle_n$ mit $\IWS(\triangle_n) = \IWS(\triangle)$
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- und Innenwinkel $\leq \frac{\alpha}{2^n}$. Für $\frac{\alpha}{2^n} < \varepsilon$
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- ist dann die Summe der \todo{Was steht hier?} anderen Innenwinkel
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+ und Innenwinkel $\alpha' \leq \frac{\alpha}{2^n}$. Für $\frac{\alpha}{2^n} < \varepsilon$
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+ ist dann die Summe der beiden Innenwinkel
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um $\triangle_n$ größer als $\pi \Rightarrow$ Widerspruch zu
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\cref{folgerung:14.10}.
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\end{behauptung}
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Martin Thoma