Verbesserungen von Marco eingefügt (Danke!); Beispiel 3.2 erstellt

documents/GeoTopo/Arbeitszeit.md

@@ -60,3 +60,4 @@ in dem Erstellen dieses Skripts steckt:
 |03.02.2014 | 14:15 - 15:00 | Textsetzung
 |03.02.2014 | 18:35 - 19:10 | Verbesserungen
 |04.02.2014 | 09:50 - 11:40 | Digitalisieren der Vorlesung von 04.02.2014
+|04.02.2014 | 18:15 - 19:30 | Verbesserungen von Marco eingefügt (Danke!); Beispiel 3.2 erstellt

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -87,21 +87,36 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
         \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Basis} der Topologie $\fT$,
               wenn jedes $U \in \fT$ Vereinigung von Elementen aus $\fB$
               ist.
-        \item $\fB \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis}, wenn jedes
-              $U \in \fT$ Vereinigung von endlich vielen Durchschnitten
-              von Elementen aus $\fB$ ist.
+        \item $\calS \subseteq \fT$ heißt \textbf{Subbasis} der Topologie $\fT$, wenn jedes
+              $U \in \fT$ Vereinigung von endlichen Durchschnitten
+              von Elementen aus $\calS$ ist.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{beispiel}
-    Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
-    \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
-    ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
+    \begin{bspenum}
+        \item Gegeben sei $X = \mdr^n$ mit euklidischer Topologie $\fT$. Dann ist
+              \[\fB = \Set{B_r(x) | r \in \mdq_{> 0}, x \in \mdq^n}\]
+              ist eine abzählbare Basis von $\fT$.
+        \item Sei $(X, \fT)$ ein topologischer Raum mit 
+              $X = \Set{0,1,2}$ und $\fT = \Set{\emptyset, \Set{0}, \Set{0,1}, X}$.\\
+              Dann ist $\calS = \Set{\emptyset, \Set{0,1}, \Set{0,2}}$ eine Subbasis von 
+              $\fT$, da gilt:
+              \begin{itemize}
+                \item $\emptyset \in \calS$
+                \item $\Set{0} = \Set{0, 1} \cap \Set{0,2}$
+                \item $\Set{0,1} \in \calS$
+                \item $X = \Set{0,1} \cup \Set{0,2}$
+              \end{itemize}
+              Allerings ist $\calS$ keine Basis von $(X, \fT)$, da
+              $\Set{0}$ nicht als Vereinigung von Elementen aus $\calS$
+              erzeugt werden kann.
+    \end{bspenum}
 \end{beispiel}
 
 \begin{bemerkung}
-    Sei $X$ eine Menge und $\fB \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
-    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\fB$ Subbasis ist.
+    Sei $X$ eine Menge und $\calS \subseteq \powerset{X}$. Dann gibt es
+    genau eine Topologie $\fT$ auf $X$, für die $\calS$ Subbasis ist.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}\xindex{Spurtopologie|see{Teilraumtopologie}}\xindex{Teilraum}\xindex{Teilraumtopologie}\xindex{Unterraumtopologie|see{Teilraumtopologie}}%

documents/GeoTopo/Kapitel2.tex

@@ -558,7 +558,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     \begin{defenum}
         \item $v_0, \dots, v_k$ sind \textbf{in allgemeiner Lage} $\gdw$ es gibt keinen $(k-1)$-dimensionalen
               affinen Untervektorraum, der $v_0, \dots, v_k$ enthält
-              \gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear abhängig.
+              \gdw $v_1 - v_0, \dots, v_k - v_0$ sind linear unabhängig.
         \item $\conv(v_0, \dots, v_k) = \Set{\sum_{i=0}^k \lambda_i v_i | \lambda_i \geq 0, \sum_{i=0}^k \lambda_i = 1} $
     \end{defenum}
 \end{definition}
@@ -703,7 +703,7 @@ $\partial X$ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n-1$.
     $a_n(K)$ die Anzahl der $n$-Simplizes in $K$.
 
     Dann heißt 
-    \[\chi(K) := \sum_{k=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\]
+    \[\chi(K) := \sum_{n=0}^{\dim K} (-1)^n a_n(K)\]
     \textbf{Eulerzahl} (oder Euler-Charakteristik\index{Euler-Charakteristik|see{Eulerzahl}})
     von $K$.
 \end{definition}

documents/GeoTopo/Symbolverzeichnis.tex

@@ -38,6 +38,7 @@ $\Sym(X)\;\;\;$ Symmetrische Gruppe
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section*{Weiteres}
 $\fB\;\;\;$ Basis einer Topologie\\
+$\calS\;\;\;$ Subbasis einer Topologie\\
 $\fB_\delta(x)\;\;\;$ $\delta$-Kugel um $x$\\
 $\fT\;\;\;$ Topologie\\
 

documents/GeoTopo/shortcuts.sty

@@ -51,6 +51,7 @@
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 \def\fB{\mathfrak{B}}%Für Basis
+\def\calS{\mathcal{S}}%Für Subbasis
 \def\fT{\mathfrak{T}}%Für Topologie
 \renewcommand{\qed}{\hfill\blacksquare}
 \newcommand{\qedwhite}{\hfill \ensuremath{\Box}}