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@@ -1,5 +1,5 @@
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% Original Source: http://mitschriebwiki.nomeata.de/data/SS10/Ana2Bachelor.tex
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-\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm,chapterprefix=true,headings=twolinechapter]{scrbook}
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+\documentclass[a4paper,oneside,DIV15,BCOR12mm,chapterprefix=true,headings=onelinechapter]{scrbook}
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\usepackage{mathe}
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\usepackage{saetze-schmoeger}
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@@ -14,7 +14,7 @@
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\hypersetup{
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pdfauthor = {Die Mitarbeiter von http://mitschriebwiki.nomeata.de/ und GitHub-Beiträge},
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pdfkeywords = {Analysis},
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- pdftitle = {Analysis I}
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+ pdftitle = {Analysis II}
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}
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\begin{document}
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@@ -2819,7 +2819,7 @@ Klar: $y(x_0) = y_0$. Also löst $y$ das AwP.
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\index{Lipschitz-Bedingung!lokale}\index{lokal!Lipschitz-Bedingung}
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Es sei weiterhin $D \subseteq \MdR^{n+1}$. Sei $f: D \to \MdR^n$ eine Funktion.
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\begin{enumerate}
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-\item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{Lipschitz-Bedingung (LB) bezüglich \boldmath \(y\)}
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+\item $f$ genügt auf $D$ einer \textbf{Lipschitz-Bedingung bezüglich \boldmath \(y\)}
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\[
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:\iff
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\exists L \ge 0:
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@@ -2830,7 +2830,7 @@ Es sei weiterhin $D \subseteq \MdR^{n+1}$. Sei $f: D \to \MdR^n$ eine Funktion.
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\[
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:\iff
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\forall a \in D \exists \text{Umgebung } U_a:
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- f_{|_{D \cap U}} \text{ genügt einer LB bzgl. } y
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+ f_{|_{D \cap U}} \text{ genügt einer Lipschitz-Bedingung bzgl. } y
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\]
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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@@ -2871,7 +2871,7 @@ wenn $(g_k)$ eine Cauchy-Folge in $(C(I,\MdR^n), \|\cdot \|_\infty)$ ist.
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\textbf{Bezeichnung:} EuE = Existenz und Eindeutigkeit.
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\index{Existenz und Eindeutigkeit}
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\begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version I)]
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-Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D:= I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer LB bezüglich $y$. Dann ist das
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+Sei $I = [a,b], x_o \in I, y_0 \in \MdR^n, D:= I \times \MdR^n, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$. Dann ist das
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\begin{align*}\text{AwP}
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\begin{cases}
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y'=f(x,y)\\
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@@ -2983,7 +2983,7 @@ auf \(J\) genau eine Lösung.
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\textbf{Ohne} Beweis:
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\begin{satz}[EuE-Satz von Picard-Lindelöf (Version III)]
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-Es sei $D \subseteq \MdR^{n+1}$ \textbf{offen}, $(x_0, y_0) \in D, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer \textbf{lokalen} LB bezüglich $y$.
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+Es sei $D \subseteq \MdR^{n+1}$ \textbf{offen}, $(x_0, y_0) \in D, f\in C(D, \MdR^n)$ und $f$ genüge auf $D$ einer \textbf{lokalen} Lipschitz-Bedingung bezüglich $y$.
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Dann hat das
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\begin{align*}
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@@ -3055,8 +3055,9 @@ Neben (S) betrachten wir auch noch das zu (S) gehörige \textbf{homogene System}
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\begin{align*}
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y'=A(x)y\tag{H}
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\end{align*}
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-und das \textbf{AwP}
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+und das
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\begin{align*}
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+\text{AwP}
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\tag{A}
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\begin{cases}
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y'=A(x)y+b(x)\\
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