Klausur 6, Aufgabe 2: F_1 ist eine Kontraktion bewiesen

documents/Numerik/Klausur6/Aufgabe2.tex

@@ -48,18 +48,19 @@ einen Bereich, der nicht erlaubt ist (das erlaubte Intervall ist klein;
 Rechenungenauigkeit)
 
 $F_1$ ist auf $[0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta = \frac{1}{2}$:
+
+Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ex. ein $\xi \in (a,b)$ mit $ 0 \leq a < b \leq 1$, sodass 
+gilt:
+
+
 \begin{align}
-    \|\frac{1}{2} e^{-x} - \frac{1}{2} e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
-    \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \frac{1}{2} \cdot \|x-y\|\\
-    \Leftrightarrow \| e^{-x} - e^{-y}\| &\leq \|x-y\|\\
-    \Leftrightarrow \| -e^{-x-y}(e^{x} - e^{y})\| &\leq \|x-y\|\\
-    \Leftrightarrow \|-e^{-x-y} \| \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|\\
-    \Leftrightarrow \underbrace{e^{-(x+y)}}_{\leq 1} \cdot \|e^{x} - e^{y}\| &\leq \|x-y\|
+    \frac{F(b) - F(a)}{b-a} &= f'(\xi) \\
+    \Leftrightarrow \frac{F(b) - F(a)}{b-a} &= - \frac{1}{2} e^{- \xi} \\
+    \Leftrightarrow \frac{\|F(b) - F(a)\|}{\|b-a\|} &= \frac{1}{2} \frac{1}{e^{\xi}} < \frac{1}{2 e^a} \\
+    \Leftrightarrow \|F(b) - F(a)\| &< \frac{1}{2 e^a} |b-a|\\
+    \Rightarrow \forall x, y \in [0,1]: |F(x) - F(y)| &< \frac{1}{2} |x-y|
 \end{align}
 
-TODO: Beweis ist noch nicht fertig. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
-anwenden.
-
 $F_2$ ist auf $(0,1]$ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl $\theta$:
 \begin{align}
     \|- \ln (2x) + \ln(2y) \| &\leq \theta \cdot \|x-y\|\\

documents/Numerik/Klausur6/Klausur6.tex

@@ -19,6 +19,7 @@
 \usepackage{lastpage}
 \usepackage{gauss}
 \usepackage{units}
+\usepackage{amsthm}
 \allowdisplaybreaks
 
 \newcommand{\cmark}{\ding{51}}%
@@ -34,7 +35,7 @@
   	}
 	\pagestyle{fancy}
 	\lhead{\@title}
-	\rhead{Seite \thepage von \pageref{LastPage}}
+	\rhead{Seite \thepage{} von \pageref{LastPage}}
 }
 \makeatother