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documents/GeoTopo/Arbeitszeit.txt

@@ -10,4 +10,4 @@ Datum      | Uhrzeit
 14.12.2013 | 13:00 - 14:45
 15.12.2013 | 20:30 - 21:20
 16.12.2013 | 15:00 - 15:30
-17.12.2013 | 07:30 - 07:45, 14:30 - 15:40, 16:30 - 18:00
+17.12.2013 | 07:30 - 07:45, 14:30 - 15:40, 16:30 - 18:00, 22:00 - 23:00

documents/GeoTopo/Kapitel1.tex

@@ -152,7 +152,7 @@ Auch gibt es Mengen, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition} \xindex{Quotiententopologie}
-    Sei $X$ topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
+    Sei $X$ ein topologischer Raum, $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $X$,
     $\overline{X} = X /_\sim$ sei die Menge der Äquivalenzklassen,
     $\pi: x \rightarrow \overline{x}, \;\;\; x \mapsto [x]_\sim$.
 
@@ -552,7 +552,7 @@ sodass $\pi$ stetig wird.
 \end{beweis}
 
 \begin{korollar}\label{zusammenhangVereinigung}
-    Sei $X$ topologischer Raum, $A, B \subseteq X$ zusammenhängend.
+    Sei $X$ ein topologischer Raum und $A, B \subseteq X$ zusammenhängend.
 
     Ist $A \cap B \neq \emptyset$, dann ist $A \cup B$ zusammenhängend.
 \end{korollar}

documents/GeoTopo/Kapitel3.tex

@@ -217,17 +217,9 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
         \item Abgeschlossenheit folgt direkt aus der Definition von $*_G$
         \item Assoziativität folgt aus Korollar~\ref{kor:assoziativitaet-von-zusammensetzen-von-wegen}
         \item Neutrales Element $e = [\gamma_0], \gamma_0(t) = x \;\;\; \forall t \in I$.
-
-        $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
-
-        \begin{figure}
-            \centering
-            \input{figures/todo.tex}
-            \caption{Bis auf Parametrisierung sind $\gamma_0 * \gamma$ und $\gamma$ das selbe}.
-            \label{fig:weg-zusammengesetzt-mit-neutralem-weg}
-        \end{figure}
+              $e * [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] * e$, da $\gamma_0 * \gamma \sim \gamma$
         \item Inverses Element  $[\gamma]^{-1} = [\overline{\gamma}] = [\gamma(1-t)]$, 
-            denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
+              denn $\overline{\gamma} * \gamma \sim \gamma_0 \sim \gamma * \overline{\gamma}$
     \end{enumerate}
 \end{beweis}
 
@@ -310,13 +302,6 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     \end{enumerate}
 \end{korollar}
 
-\begin{figure}
-    \centering
-    \input{figures/todo.tex}
-    \caption{Situation aus Korollar~\ref{korr:11.5}}
-    \label{fig:kor-bem-11.5}
-\end{figure}
-
 \begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item $f_*$ ist wohldefiniert: Seien $\gamma_1, \gamma_2$ homotope
@@ -406,25 +391,11 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     Wegen um $x$, die ganz in $U$ oder ganz in $V$ verlaufen.
 \end{satz}
 
-\begin{figure}
-    \centering
-    \input{figures/todo.tex}
-    \caption{Situation aus Satz~\ref{thm:seifert-van-kampen}}
-    \label{fig:satz-seifert-van-kampen}
-\end{figure}
-
 \begin{beweis}
     Sei $\gamma: I \rightarrow X$ ein geschlossener Weg von $x$.
     Überdecke $I$ mit endlich vielen offenen Intervallen, die ganz in 
     $\gamma^{-1}(U)$ oder ganz in $\gamma^{-1}(V)$ liegen.
 
-    \begin{figure}
-        \centering
-        \input{figures/todo.tex}
-        \caption{Situationsskizze}
-        \label{fig:intervalle-auf-01}
-    \end{figure}
-
     \Obda sei $\gamma(I_1) \subseteq U, \gamma(I_2) \subseteq V$, etc.
 
     Wähle $t_i \in I_i \cap I_{i+1}$, also $\gamma(t_i) \in U \cap V$.
@@ -438,18 +409,18 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
         \item
             \begin{figure}
                 \centering
-                \input{figures/todo.tex}
+                \includegraphics[width=0.2\linewidth, keepaspectratio]{figures/todo/topologischer-raum-x.png}
                 \caption{Topologischer Raum $X$}
                 \label{fig:top-raum-kreise}
             \end{figure}
 
-            $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil
+            Sei $X$ wie in Abb.~\ref{fig:top-raum-kreise}. $\pi_1(X,x)$ wird \enquote{frei} erzeugt von $a$ und $b$, weil
             $\pi_1(U,x) = <a> \cong \mdz, \pi_1(V,x) = <b> \cong \mdz$,
             insbesondere ist $a*b$ nicht homotop zu $b*a$.
         \item Torus: $\pi_1(T^2, X)$ wird erzeugt von $a$ und $b$.
             \begin{figure}
                 \centering
-                \input{figures/todo.tex}
+                \input{figures/topology-4.tex}
                 \caption{$a*b = b*a \Leftrightarrow a * b * \overline{a} * \overline{b} \sim e$}
                 \label{fig:torous-a-b}
             \end{figure}
@@ -500,11 +471,11 @@ Für einen Weg $\gamma$ sei $[\gamma]$ seine \textbf{Homotopieklasse}\xindex{Hom
     \end{figure}
 \end{beispiel}
 
-\begin{definition}
+\begin{definition}\xindex{Abbildung!offene}
     Seien $X, Y$ topologische Räume und $f:X \rightarrow Y$ eine 
     Abbildung.
 
-    $f$ heißt offen $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
+    $f$ heißt \textbf{offen} $:\gdw \forall V \subseteq X$ offen: $f(V)$ ist offen in $Y$.
 \end{definition}
 
 \begin{korollar} % Bemerkung 12.2 der Vorlesung
@@ -542,7 +513,7 @@ Haben wir Häufungspunkt definiert?}
     \end{enumerate}
 \end{korollar}
 
-\begin{beweis}
+\begin{beweis}\leavevmode
     \begin{enumerate}[label=\alph*)]
         \item Seien $y_1, y_2 \in Y$.
 

documents/GeoTopo/figures/topology-4.tex

@@ -0,0 +1,60 @@
+\begin{tikzpicture}[thick]
+    \draw[pattern=north east lines] (-3,3) -- (3,3) -- (3,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+    \begin{scope}
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[rotate=90]
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[rotate=180]
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[rotate=270]
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+
+    \node[red]    at (3.3,-1) {$V$};
+    \node[green]  at (3.3,2) {$U$};
+    \node[blue]   at (1.5, 3.2) {$a$};
+    \node[purple] at (-0.4, 1.8) {$b$};
+    \draw[purple] (-1.5,1.5) -- (1.5,1.5);
+
+    \begin{scope}[xshift=6cm, yshift=-2cm]
+        \node[red] at (-0.5,0.5) {$V$};
+        \draw[red,pattern color=red, pattern=north west lines] (-1,1) -- (1,1) -- (1,-1) -- (-1,-1) -- cycle;
+        \draw[red] (-1,0) -- (1,0);
+        \draw[red] (0,-1) -- (0,1);
+    \end{scope}
+
+    \node[blue]   at (4.5, 1.7) {$a$};
+    \node[purple] at (7.5, 1.7) {$b$};
+    \begin{scope}[xshift=5cm, yshift=1cm]
+        \draw[black,fill=white]   (0,0) circle(1.2cm);
+        \draw[black, fill=white]   (2,0) circle(1.2cm);
+        \path[fill=white]   (0,0) circle(1.19cm);
+        \draw[black]  (0,0) circle(0.5cm);
+        \draw[black]  (2,0) circle(0.5cm);
+        \draw[blue,->]   (0,0)+(30:0.7cm) arc (30:390:0.7cm);
+        \draw[purple,<-] (2,0)+(150:0.7cm) arc (150:510:0.7cm);
+    \end{scope}
+\end{tikzpicture}

tikz/topology-4/topology-4.tex

@@ -5,14 +5,62 @@
 \begin{document}
 \begin{tikzpicture}[thick]
     \draw[pattern=north east lines] (-3,3) -- (3,3) -- (3,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
-    \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
-    \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,3) -- (-1,3) -- (-1,1) -- (-3,1) -- cycle;
-    \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (1,3) -- (3,3) -- (3,1) -- (1,1) -- cycle;
-    \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (1,-1) -- (3,-1) -- (3,-3) -- (1,-3) -- cycle;
-    \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
-    \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
-    \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
-    \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
-    \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \begin{scope}
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[rotate=90]
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[rotate=180]
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[rotate=270]
+        \draw[red, pattern color=red, pattern=north west lines] (-3,-1) -- (-1,-1) -- (-1,-3) -- (-3,-3) -- cycle;
+        \draw[->,blue] (-3,-1.5) -- (-2,-1.5);
+        \draw[blue] (-2,-1.5) -- (-1.5,-1.5);
+        \draw[->,blue] (-1.5,-1.5) -- (-1.5,-2.3);
+        \draw[blue] (-1.5, -2.3) -- (-1.5, -3);
+        \draw[green] (-3,-2) -- (-2,-2) -- (-2, -3);
+    \end{scope}
+
+    \node[red]    at (3.3,-1) {$V$};
+    \node[green]  at (3.3,2) {$U$};
+    \node[blue]   at (1.5, 3.2) {$a$};
+    \node[purple] at (-0.4, 1.8) {$b$};
+    \draw[purple] (-1.5,1.5) -- (1.5,1.5);
+
+    \begin{scope}[xshift=6cm, yshift=-2cm]
+        \node[red] at (-0.5,0.5) {$V$};
+        \draw[red,pattern color=red, pattern=north west lines] (-1,1) -- (1,1) -- (1,-1) -- (-1,-1) -- cycle;
+        \draw[red] (-1,0) -- (1,0);
+        \draw[red] (0,-1) -- (0,1);
+    \end{scope}
+
+    \node[blue]   at (4.5, 1.7) {$a$};
+    \node[purple] at (7.5, 1.7) {$b$};
+    \begin{scope}[xshift=5cm, yshift=1cm]
+        \draw[black,fill=white]   (0,0) circle(1.2cm);
+        \draw[black, fill=white]   (2,0) circle(1.2cm);
+        \path[fill=white]   (0,0) circle(1.19cm);
+        \draw[black]  (0,0) circle(0.5cm);
+        \draw[black]  (2,0) circle(0.5cm);
+        \draw[blue,->]   (0,0)+(30:0.7cm) arc (30:390:0.7cm);
+        \draw[purple,<-] (2,0)+(150:0.7cm) arc (150:510:0.7cm);
+    \end{scope}
 \end{tikzpicture}
 \end{document}