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@@ -60,7 +60,7 @@ erstellt einen Fork und kann direkt Änderungen umsetzen.
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\chapter{Der Raum $\MdR^n$}
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Sei $n\in\MdN$. $\MdR^n=\{(x_1, \ldots, x_n) : x_1,\ldots, x_n \in \MdR\}$ ist mit der üblichen Addition und Skalarmultiplikation ein reeller Vektorraum.\\
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-$e_1:=(1,0,\ldots,0),\ e_2:=(0,1,0,\ldots, 0),\ \ldots,\ e_n:=(0,\ldots,0,1) \in \MdR^n$.
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+$e_1 := (1,0,\ldots,0),\ e_2:=(0,1,0,\ldots, 0),\ \ldots,\ e_n:=(0,\ldots,0,1) \in \MdR^n$.
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\begin{definition}
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Seien $x=(x_1, \ldots, x_n), y=(y_1, \ldots, y_n) \in \MdR^n$
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@@ -1858,8 +1858,8 @@ In Analysis III werden wir für gewisse Mengen $A\subseteq\MdR^n$ und gewisse Fu
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$f:A\to\MdR$ folgendes Integral definieren:
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\[\int_A f(x)\text{d}x=\int_A f(x_1,\ldots,x_n)\text{ d}(x_1,\ldots,x_n)\]
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In diesem Paragraphen geben wir "`Kochrezepte"' an, wie man solche Integrale
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-für spezielle Mengen $A\subset\MdR^2$ (bzw. $A\subset\MdR^3$) und stetige Funktionen
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-$f:A\to\MdR$ berechnen kann.
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+für spezielle Mengen $A \subseteq \MdR^2$ (bzw. $A \subseteq \MdR^3$)
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+und stetige Funktionen $f:A \to \MdR$ berechnen kann.
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\renewcommand{\theenumi}{\Roman{enumi}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}
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@@ -1942,7 +1942,7 @@ Normalbereiche bzgl der $x$-$z$- und $y$-$z$-Ebene werden analog definiert.
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\end{definition}
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\begin{satz}[Integral über Normalbereiche im $\MdR^3$]
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-Sei $B$ wie oben und $f:B\to\MdR$ stetig, dann gilt:
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+Sei $B, g_1, g_2$ wie oben und $f:B\to\MdR$ stetig, dann gilt:
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\[\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) = \int_A\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}(x,y)\]
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\end{satz}
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@@ -1957,7 +1957,7 @@ heißt \textbf{Volumen} von $B$.
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\end{definition}
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\begin{beispiele}
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-\item[(1)] Sei $B:=[a,b]\times[c,d]\times[\alpha,\beta]$, dann gilt:
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+\item[(1)] Sei $B:=\overbrace{[a,b]\times[c,d]}^{:= A}\times[\alpha,\beta]$, dann gilt:
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\begin{align*}
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\int_B f(x,y,z) \text{ d}(x,y,z) &= \int_A\left(\int_\alpha^\beta f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}(x,y)\\
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&=\int_a^b\left(\int_c^d\left(\int_\alpha^\beta f(x,y,z) \text{ d}z\right)\text{ d}y\right)\text{ d}x
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@@ -2082,8 +2082,8 @@ Seien $z,w\in\MdC, z=x+iy$ mit $x,y\in\MdR$. Es gilt:
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\item $e^{iy}=\cos y+i\sin y$, insbesondere ist: $|e^{iy}|=1$
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\item $e^z=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$
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\item $ \cos (z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$\\
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-Insbesondere ist für alle $t\in\MdR: \cos(it)=\frac{e^{-t}+e^t}{2},
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-\sin(it)=\frac{e^{-t}-e^t}{2i}$\\
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+Insbesondere ist für alle $t\in\MdR: \cos(it)=\frac{e^{-t}+e^t}{2} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} \infty,
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+\sin(it)=\frac{e^{-t}-e^t}{2i} \xrightarrow{t \rightarrow \infty} - \infty$\\
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Also sind Cosinus und Sinus auf $\MdC$ \textbf{nicht} beschränkt.
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\item $\forall k\in\MdZ:e^{z+2\pi i k}=e^z$
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\item $e^z=1 \iff \exists k\in\MdZ:z=2k\pi i$
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@@ -2099,9 +2099,10 @@ Also sind Cosinus und Sinus auf $\MdC$ \textbf{nicht} beschränkt.
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\item Es gilt:
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\begin{align*}
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e^{z+2k\pi i} &\stackrel{(1)}{=}e^ze^{2k\pi i}\\
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-&\stackrel{(2)}{=}e^z(\cos(2k\pi)+i\sin(2k\pi))\\
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+&\stackrel{(2)}{=}e^z(\underbrace{\cos(2k\pi)}_{=1}+i\underbrace{\sin(2k\pi)}_{=0})\\
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&= e^z
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\end{align*}
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+$\Rightarrow e^z$ ist auf $\mathbb{C}$ nicht injektiv!
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\item
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Die Äquivalenz folgt aus Implikation in beiden Richtungen:
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\begin{enumerate}
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Martin Thoma